精品解析：贵州省黔西南布依族苗族顶效开发区顶兴学校2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷

黔西南州顶兴高级中学第三次月考试卷 高二数学 姓名：______ 班级：______ 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（总共8小题，每小题5分，合计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及对数函数的单调性化简集合，根据交集得解. 【详解】因为， ， 所以． 故选：A． 2. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 3. 已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线转化为的形式，求出，求出抛物线C的焦点到准线的距离. 【详解】由抛物线可得， 所以，，故抛物线C的焦点到准线的距离是． 故选：B． 4. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数约为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D． 【详解】由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，解得，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确． 故选：B． 5. 已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合渐近线定义计算即可得. 【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，且，，即， 利用可联立求得，， 故双曲线C的方程为：． 故选：D． 6. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 点到直线的距离为 D. 与直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用斜率与倾斜率角的关系，即可求解；对于B，利用方向向量的定义及是直线的一个方向向量，即可求解；对于C，利用点到直线的距离公式，即可求解；对于D，利用直线位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的斜率为，所以直线的倾斜角是锐角，故选项A错误， 对于选项B，易知直线一个方向向量为， 又向量与向量共线，所以选项B正确， 对于选项C，因为点到直线的距离为，所以选项C错误， 对于选项D，直线的斜率为，直线的斜率为， 又，所以直线与直线不垂直，故选项D错误， 故选：B. 7. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 8. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积大小不确定 B. 当时， C. 直线平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A项：以点为顶点，为底面研究三棱锥的体积即可； 对于B项：在矩形内思考即可判断； 对于C项：在矩形中即可判断与的关系，从而判断与平面的关系； 对于D项：利用线面角的定义可作出线面角，再解三角形即可； 【详解】解：对于A项：因为为底面正方形内（含边界）的动点，所以点到平面的距离为1，所以，故A错误； 对于B项：在矩形内，当时，显然与不垂直，故B错误； 对于C项：在平面内，与相交，所以与平面相交，故C错误； 对于D项：连接，因为平面， 所以是在平面内的射影， 所以为直线与平面所成角， 所以在直角三角形中， ，故D正确； 故选：D 二、多选题（总共3小题，每小题6分，合计18分） 9. 已知圆，点，下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆外 B. 点是的定点 C. 已知，过点B作圆的最短弦长为3 D. 过点A作圆的切线，则的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离与半径比较可得到A，根据定点问题可得到B，当弦垂直于时，弦长最短，可求得C，根据点在圆外有两条切线可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，，得出点A在圆外，A正确； B选项，直线，过定点，B正确； C选项，当弦垂直于时，弦长最短， ，最短弦长为，C错误； D选项，点A在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点A，且与圆相切，D错误； 故选：AB． 10. 已知复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. B. 点在第一象限 C. D. 是方程的两个根 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数几何意义得出点坐标，结合直线方程求得参数，判断AB， 求出复数的模判断C，根据根与系数的关系判断D． 【详解】由题意，它在直线上，则，解得，A正确； 有，它在第三象限，B错； ，C正确； ，，而，因此不是方程的两个根，D错， 故选：AC． 11. 设抛物线，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 焦点到准线的距离为8 C. 若，则的最小值为3 D. 以线段为直径的圆与y轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程即可判定A；求出焦点到准线的距离即可判定B；直接求出的最小值判定C；根据题意，利用抛物线的定义与线段中点的坐标公式，算出中点到轴的距离等于长的一半，即可得出以为直径的圆与轴相切，从而判断D． 【详解】抛物线 A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时，抛物线上位于第一象限内的点为， 此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 设到准线的垂线段为，则，当直线垂直准线时， 取最小值为，故C正确； D，抛物线的焦点的坐标为，设点点坐标为,， 则以线段为直径的圆的圆心是,，可得圆心到轴的距离为， 又以线段为直径的圆的半径为，因此以线段为直径的圆与轴的位置关系相切，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（总共5小题，每小题5分，合计15分） 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】， 故答案为：． 13. 直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为____________.（用一般式方程表示） 【答案】或. 【解析】 【分析】要分析截距相等分为两种情形，第一种截距都为0，即过原点；第二种截距都不为0且相等，然后可用截距式直线方程来求解. 【详解】当两截距都为0时，可设直线方程为， 由直线过可得：，解得， 所以此时直线的方程为，整理为一般式可得：； 当两截距都不为0且相等时，可设截距式直线方程为：， 由直线过可得：，解得， 所以此时直线的方程为，整理为一般式可得：； 故综上可得：直线的一般式方程为或. 故答案为：或 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【详解】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 四、解答题（总共5小题，15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分，合计77分） 15. 若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为 （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案； （2）由题可得，后由正弦定理可得，后由正切函数单调性可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理，，又三角形面积为， 则，又由题，则； 【小问2详解】 由（1），，又为锐角三角形， 则. 由正弦定理： . 因在上单调递增，则时，. 则，即. 16. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面. （1）求证：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：由题意知平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定量，得到平面，从而有，再结合条件及线面垂直的判定定理，得到平面，利用线面垂直的性质定理，即可证明结果； （2）法一：利用题设条件，利用等体积法，直接求出到平面的距离为，再利用线面角的定义，即可求解；法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，再利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：取中点为，连结、，因为，点是中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 则，则，，，所以是等腰三角形， 则，又. 设到平面的距离为， 则由得，，解得， 所以直线与平面所成的角的正弦值为， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 法二：取中点为，连结.取中点为，连结. 因为，点是中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为点、分别是、的中点，所以，则. 则，. 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，. 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在，由点到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 依题意可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由勾股定理可知，代入化简得， 解得或. 【小问2详解】 圆，由知在圆外， ①当切线方程的斜率存在时，设方程为， 由圆心到切线的距离，即，可解得， 切线方程为， ②当过斜率不存在，易知直线与圆相切， 综合①②可知切线方程为或. 18. 已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. （1）求双曲线的方程； （2）求直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用点到直线的距离即可求出，结合离心率可以求出； （2）中点弦问题利用点差法求解即可； （3）运用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出三角形的高，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即， 依题意，结合，化简得， 又离心率，所以所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 设，由题意得， 又，，两式相减得， 所以， 又直线l过点,所以直线l的方程为,即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 【小问3详解】 联立，消去y得， 所以， 所以， 又点到直线l的距离， 所以的面积. 19. 如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：因为直线，均不与轴垂直， 所以直线：不经过点和，则且， 由（2）可知，， ， 为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，由求解； （2）设直线的方程为，，，由，利用韦达定理，结合弦长公式求解； （3）利用（2）中的韦达定理，由证明. 【小问1详解】 解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 结合椭圆的几何性质，得， 解得，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 则，. ， 解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点； 当时，直线的方程为，满足题目条件. 所以直线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题第三问的基本思路是先建立模型，再根据点在直线上进行消元，然后利用韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔西南州顶兴高级中学第三次月考试卷 高二数学 姓名：______ 班级：______ 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（总共8小题，每小题5分，合计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 4. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数约为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 5. 已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 点到直线的距离为 D. 与直线垂直 7. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积大小不确定 B. 当时， C. 直线平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 二、多选题（总共3小题，每小题6分，合计18分） 9. 已知圆，点，下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆外 B. 点是的定点 C. 已知，过点B作圆的最短弦长为3 D. 过点A作圆的切线，则的方程为 10. 已知复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. B. 点在第一象限 C. D. 是方程的两个根 11. 设抛物线，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 焦点到准线的距离为8 C. 若，则的最小值为3 D. 以线段为直径的圆与y轴相切 三、填空题（总共5小题，每小题5分，合计15分） 12. 已知，则______． 13. 直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为____________.（用一般式方程表示） 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则______． 四、解答题（总共5小题，15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分，合计77分） 15. 若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为 （1）求； （2）求的取值范围. 16. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面. （1）求证：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程. 18. 已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. （1）求双曲线的方程； （2）求直线的方程； （3）求的面积. 19. 如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $