精品解析：　北京市石景山区2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷　

2024-2025学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 4. 下列事件是随机事件的是（　） A. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B. 用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C. 投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 5. 下列各式从左到右变形正确的是（　） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 写出一个比大且比小的整数为_____． 11. 一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是________． 12. 如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加条件是_____；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是_______________． 13. 如图，中，，点在上，于点．若，，则_____． 14. 计算结果是_____． 15. 在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为________． 16. 如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 如图，等边三角形，D是内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，求证： 19. 计算： 20. 计算： 21. 已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：是的垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 22. 已知，求代数式的值． 23. 解分式方程：． 24. 如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 25. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 26. 如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：． 27. 在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． （1）如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 28. 对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． （1）（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； （2）点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； （3）过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根；根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 2. 下列图形标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解:、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 4. 下列事件是随机事件的是（　） A. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B. 用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C. 投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】解：A、从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除是必然事件，不符合题意； B、∵， ∴用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形是不可能事件，不符合题意； C、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，符合题意； D、在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式从左到右变形正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数（非零），分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、二次根式的乘法，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C 7. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 【详解】解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，也是典型的“一线三直角”的几何模型，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 写出一个比大且比小的整数为_____． 【答案】2答案不唯一 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ，， ∴， 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2答案不唯一 11. 一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【详解】∵盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，共有9个球， ∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 12. 如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是_____；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是_______________． 【答案】 ①. 或或；（答案不唯一） ②. 或或（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由根据平行线的性质得，由得，根据，，添加相应的条件即可； （2）先证明，再由平行线的性质得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解： ， ， 即， ， ， ∴添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 故答案为：或或； （2）方法一：添加的条件是时， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法二：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法三：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 13. 如图，中，，点在上，于点．若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 14. 计算的结果是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，直接根据平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：13． 15. 在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，分类讨论：当时；当时；当时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， 则， ∴不符合题意，故舍去； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 16. 如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了勾股定理进行计算，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的点．连接交于点Q，连接，根据两点之间线段最短，得出B、P、D在同一直线上时，最小，即最小，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点Q，连接， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴B、P、D同一直线上时，最小，即最小， 是的中点，为等边三角形， ，， ∴， 的最小值， 故答案为：． 三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合计算，先化简二次根式，再计算二次根式乘法和立方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 如图，是等边三角形，D是内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，求证： 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由旋转的性质可得，，由“”可证，可得 【详解】证明：将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 19. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把两个分式合并，再把分子分解因式，然后约分即可得到答案． 【详解】解： ． 21. 已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：是的垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 【答案】（1）见解析 （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角和三角形外角的性质： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再由等边对等角可得，最后根据三角形外角的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：是的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． （等边对对角）． 又， ． 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角． 22. 已知，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出，再把所求分式小括号内的式子通分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 23. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 24. 如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是的中点， ∴， 中，由勾股定理得； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 25. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 【答案】30米 【解析】 【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：引进新设备前工程队每天建造道路30米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 26. 如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长至点，使，连接，证明，得，，再由等腰三角形的性质得，进而证明，然后由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 27. 在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． （1）如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2）补全图形见解析， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）①由，得出； ②作交于，可证得，，进而得出≌，从而，，从而得出，进一步得出结论； （2）作交于，得出，从而，，进而得出，进一步得出结论． 【小问1详解】 ①证明：， ， ， ， ，， ， ； ②如图1，作交于F， ， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：补全图形如下所示： 作交BD于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， 28. 对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． （1）（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； （2）点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； （3）过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）点P，线段． 【解析】 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； 【小问2详解】 解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段长度为； 【小问3详解】 解：如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $