安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

六安二中2025届高三第四次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 在中，，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和，若，且四点共面（为该平面外一点），则（ ） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 8. 已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 函数，不等式对恒成立，满足实数a的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 等比数列中，，则的值为_______． 13. 已知棱长为2的正方体，点P是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN，则的取值范围是_______． 14. 如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为__________. 四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； （3）设，数列的前n项和为．证明：． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角分别为，则球面三角形的面积为. （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； （2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设. ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值，及此时平面AEC截球O的面积. 六安二中2025届高三第四次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）. （2） 【16题答案】 【答案】（1）2 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 因为，由正弦定理得 又，所以 因为为锐角三角形，所以，， 又在上单调递增，所以，即； （2） 【18题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）令， 则 因为， 所以，在区间上单调递减． 令，则， 所以，时，单调递减， 时，单调递增， 所以，， 又，所以，，所以恒成立， 又因为，所以，． 同理可得，， 由（时等号成立）得，，即（时等号成立）， 又，所以，所以恒成立， 又因为，所以，， 所以，区间上存在唯一实数，使得， 所以对任意，存在唯一的实数，使得成立； （3）当时，由（1）可得，在上单调递减． 所以，时，，即． 令，则， 即，即， 令，则，所以， 所以，． 【19题答案】 【答案】（1） （2） ①证明：由余弦定理有： ，且， 消掉，可得. ②， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $