精品解析：江苏省盐城市射阳中学2025届高三上学期数学学科阶段检测4

2025届高三数学学科阶段检测4 时间：120分钟 分值：150分 命题人： 审核人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知判断元素和集合B的关系，再根据元素及集合的关系判断A，应用集合及集合的基本关系判断B，C，D. 【详解】因为集合， 则，所以，C选项正确； 则可以在集合B中,也可以不在集合B中，所以A,B,D选项错误. 故选：C. 2. 已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，结合充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】因为数列是公差为d的等差数列，若，等价于， 等价于，等价于， 所以是的充要条件. 故选：D. 3. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），且z的虚部为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的模的运算法则、求得，由复数的模计算公式，即可计算答案. 【详解】由，有，即， 由的虚部为，设，则有， 解得，则. 故选：B 4. 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（ ） A. 18种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】按分步乘法计数原理，首先选一人去大学，然后将剩余的三位同学分为两组2，1，再分配到两所学校即可求解. 【详解】第一步选一人去大学，则有（种）， 第二步将剩余的三位同学以一组两人，一组一人进行分组，然后分配到两所学校， 则有（种）， 则不同的报名方法共有（种）， 故选：C. 5. 如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同两点，，，，．若，则过四点的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系可得是二面角的一个平面角，过作平面的垂线和平面的垂线，得交点为外接球球心，利用勾股定理即可求出,由表面积公式即可求解. 【详解】因为二面角的大小为， 如图，所以平面与平面所成角的大小为， 取的中点，的中点，，为，的外心， 取的中点，连接，，则，， 所以是二面角的一个平面角，则， 过作平面的垂线和过作平面的垂线，交于点，即为外接球球心， 所以平面，平面，连接，， 所以易证得：△与△全等，所以， 所以在直角三角形， ， 则过、、、四点的球的表面积为，故B正确． 故选：B． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知结合同角的三角函数关系化简求得，再由同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】因为， ，且，则或， 由，得， 即，解得， 则，则， 又，，故， 解得， 故选：A 7. 已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到，利用离心率的定义化简条件，可得，故可得，解此方程即可求出结果． 【详解】不妨设椭圆的方程为：， 双曲线方程为， 因为，为椭圆与双曲线公共的焦点， 所以； 由椭圆的定义知：， 两边平方得：， 中，设，由余弦定理得： ， 所以，即； 由双曲线的定义知：， 两边平方得：， 在中，由余弦定理得：， 所以，即； 所以，即； 因为，所以，即， 所以，所以，解得， 由于，所以． 故选：C． 8. 已知定义在上的函数，对任意正数x，y满足，且当时，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据变形得到，即，然后任取，从而可证明为增函数，可得到，再利用参数分离可得，再构造函数，利用导数求出的最大值，从而可求解. 【详解】由题意得对于任意正数，都有， 又因为，所以， 即，则得， 任意，则，因为，所以， 当时，，所以，则，所以， 所以函数在上单调递增，所以，且， 所以在时恒成立，即等价于在时恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值， 所以，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. 若均非零向量，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，根据可判断A；根据在方向上的投影向量为可判断B；根据可判断C；根据数量积的运算律可判断D. 【详解】因为，都是单位向量，所以， 所以，即，故A正确； 在方向上的投影向量为，故B正确； 若，则，即，即， 因为，所以，故C错误； 若，则， 所以，即，故D错误. 故选：AB 10. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹长判断B；由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置判断C；将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理求解判断D. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误； 对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理得， 所以，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 11. 已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】依据题意对目标式进行转化，利用导数确定最值即可. 【详解】 由题意得，由勾股定理得， 则，令， 而，故在上单调递增， 设，由两点间距离公式得， 由二次函数性质得当时，取得最小值，此时， 故的最小值为，即，显然B，C，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知展开式中常数项为280，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项式定理 展开式的通项公式，， 再对n分奇数和偶数进行讨论，可解得n的值. 【详解】展开式的通项公式为，，， ①当n为偶数时，则为偶数， 所以当时，此时的展开式中常数项为，此时方程无解； ②当n为奇数时，则为奇数， 所以当时，此时的展开式中常数项为，解得，； 所以. 故答案为：. 13. 已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由点的对称性求出点C的横坐标为，可得函数的周期以及值，由五点作图求出，可得函数的解析式，从而求得N点坐标，由两点间距离求出圆的半径. 【详解】根据函数的部分图象， 由图可知，M，N关于点C对称，易得点C的横坐标为， 的周期，所以， 函数， 结合五点法作图，可得， ，， 故，，即， 所以圆的半径为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的对称性，结合正弦型函数的对称性进行求解. 14. 已知函数，，若，且，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据的单调性及特值，求得，再由，找到和满足的等量关系，再以此化简得到，构造函数，借用导数求最值即可. 【详解】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到和满足的等量关系，进而在化简时减少参数的个数，才容易构造出新的函数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，序号，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）根据数列最大项的性质进行求解即可. 【小问1详解】 设该等差数列的公差为，， 由， 因为成等比数列，所以， 由可得： 【小问2详解】 由上可知：，， 假设否存在最大项， 则有， 因为，所以，所以假设成立，数列是否存在最大项，序号. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求A﹔ （2）若，D为BC的中点，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到，从而得解； （2）先利用余弦定理得到，再根据D为BC的中点，由求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得， 因为，所以，则； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理得，即，解得或（舍去）， 又因为D为BC的中点，所以， 则 ， 所以. 17. 已知函数满足． （1）求的单调区间； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，进而构造函数，利用导数分析其单调性，进而可得，进而得到恒成立，从而求解； （2）转化问题为在区间上恒成立，令，，只需，进而利用导数分析单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 令，则， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 由题意在区间上恒成立， 即恒成立，即在区间上恒成立， 令，，只需， 因为， 令，，有， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 18. 如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）线线平行得到线面平行； （2）证明三条线两两垂直，从建立空间直角坐标系，得到点的坐标后得到向量坐标，然后求得面的法向量，由投影得到点到面的距离； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，设动点坐标，然后得到向量的坐标，由得到向量数量积为0，求得点的坐标，由直线外一点及其在直线上的投影和直线上的点建立等式，求得点的坐标，然后由向量和平面的法向量，求得线面角正弦值，平方后构造双勾函数，函数的单调性得到函数最小值，从而求得线面角正弦值的范围. 【小问1详解】 在四棱锥中，，而平面平面， 所以平面 【小问2详解】 由，，得，折叠后，在四棱锥中，， 由二面角是直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，平面， ∵平面，∴ 以分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面法向量为，则， 令，得， 所求点面距为. 【小问3详解】 以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设，显然， ， ，得出，则， 则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且且，即， 平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19. 已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，已知的斜率之比为． （1）求双曲线的方程； （2）直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由； （3）设和的面积分别为和，求的取值范围． 【答案】（1） （2）直线过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线离心率和焦点坐标，求出的值，即得其标准方程； （2）设,由的斜率之比为求得，由分别写出切线和的方程，利用同构思想即得直线的方程，从而可得定点； （3）利用（2）直线过定点可推得，即得，设，与双曲线方程联立，消元得韦达定理，依题求得的范围，计算并化简得，通过换元，利用函数的单调性即可求得其范围. 【小问1详解】 由题意知，双曲线焦点在轴上，中心在原点，可设其方程为， 由双曲线的离心率为2，可得解得； 又双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点坐标为， 即，故，双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由双曲线方程，可得，设， 所以， 因为的斜率之比为，即， 解得，所以点在直线上，设 ， 则切线方程为：，则切线方程为：，（此处两个切线方程在题后证明） 因点既在直线上又在直线上，则有， 故直线的方程为：，化简可得， 所以直线过定点： 【附】下证：过双曲线上的一点的切线方程为. 证明：对的两边分别求导，可得：， 则切线斜率为， 故过点的切线方程为：，即得，证毕. 【小问3详解】 由（2）得直线过定点，所以，， 所以，点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，所以，， 因为，所以，， 若直线的斜率为0，则直线与双曲线的左支的交点为与已知矛盾； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线与双曲线交点坐标为． 求得切线的方程为，切线的方程为， 此时点的坐标为，与点在第二象限矛盾； 设， 将代入双曲线中得， 由已知，其判别式为：， 则， 由已知，所以， 所以，化简可得，又， 所以或，即的取值范围为． 于是，， 令，则， 故， 函数在上单调递增，所以， 故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与双曲线相交有关的过定点、范围问题，属于难题. 解题关键有二： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； （2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三数学学科阶段检测4 时间：120分钟 分值：150分 命题人： 审核人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），且z的虚部为，则（ ） A. B. C. D. 4. 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（ ） A. 18种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 5. 如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同两点，，，，．若，则过四点的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，对任意正数x，y满足，且当时，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. 若均非零向量，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 10. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 11. 已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知展开式中常数项为280，则__________. 13. 已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为__________. 14. 已知函数，，若，且，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为零等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求A﹔ （2）若，D为BC的中点，求AD. 17. 已知函数满足． （1）求的单调区间； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，已知的斜率之比为． （1）求双曲线的方程； （2）直线否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由； （3）设和的面积分别为和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $