2025年中考数学一轮复习学案 专题07：二元一次方程组

专题07：二元一次方程组-2025年中考数学一轮复习题 知识梳理 二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 跟踪训练 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•清镇市期末）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．7 2．（2024秋•朝阳区校级期末）关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 3．（2024秋•罗湖区期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则x﹣y的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024秋•安徽期末）已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•于洪区期末）甲、乙两种商品原来的单价和为300元．因市场变化，甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了10%．设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•高新区期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•高新区期末）是方程ax+y＝1的解，则a＝ 　 　． 8．（2024秋•惠来县期末）关于x、y的方程组，则x+y的值为 　 　． 9．（2024秋•顺义区期末）为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 　 　分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 　 　． 10．（2024秋•东西湖区期末）魔术师请李明默想一个一位数，然后把这个数乘2，再加5，再乘50，再加1774，最后再减去自己的出生年份，把运算的结果告诉他，他就能知道李明默想的那个一位数和李明2024年的年龄．若李明运算的结果是612，则李明2024年的年龄是　 　岁．（注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年1月﹣12月出生的人，2024年都是24岁） 11．（2024秋•肥西县期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则x﹣y的值是 　 　，m﹣n的值是 　 　． 12．（2024秋•碑林区校级期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元．一个79人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费2315元．设该旅游团租住三人间客房x间，两人间客房y间，请列出满足题意的方程组 　 　． 三．解答题（共6小题） 13．（2024秋•城关区期末）解方程组． （1）； （2）． 14．（2024秋•海珠区期末）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘以6，再加上5，再乘以2，再减去这张牌点数的2倍，再减去10，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，红桃的代号是2，梅花的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是72．小亮迅速准确说出这位同学抽出的纸牌是红桃7．你能解释其中的原因吗？ 15．（2024秋•二七区期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1300元． （1）求A、B两种航模每件分别多少元？ （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 16．（2024秋•清镇市期末）某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 （1）求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ （2）若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 17．（2024秋•开州区期末）开州商都新世纪超市用2820元购进A、B两种型号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标价如表所示： 价格类型 A型 B型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 （1）求这两种型号的热水袋各购进多少个？ （2）在销售过程中，A、B型热水袋均按标价九折出售，但在B型热水袋卖出m个后，恰逢“双十一”，商场决定剩余B型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全部售出后超市共获得800元的利润，求m的值． 18．（2024秋•城阳区期末）胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？ （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 专题07：二元一次方程组-2025年中考数学一轮复习题 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A A D D 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•清镇市期末）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．7 【解答】解：把和代入方程ax﹣y＝b得：， 把②代入①得：a＝5， ∴a﹣b＝5﹣2＝3， 故选：C． 2．（2024秋•朝阳区校级期末）关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 【解答】解：把代入关于x、y的方程组得： ， 把①代入②得：n＝3， ∴3m+n ＝3×2+3 ＝6+3 ＝9， 故选：B． 3．（2024秋•罗湖区期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则x﹣y的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：由题意得：x﹣2+0＝y+2+0， ∴x﹣y＝4， 故选：A． 4．（2024秋•安徽期末）已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ②﹣①，得2x﹣4y＝﹣4k+3， ∴x﹣2y， ∵x﹣2y＝1， ∴， 解得k， 故选：A． 5．（2024秋•于洪区期末）甲、乙两种商品原来的单价和为300元．因市场变化，甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了10%．设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵甲、乙两种商品原来的单价和为300元， ∴x+y＝300； ∵甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了10%， ∴（1﹣5%）x+（1+20%）y＝300×（1+10%）． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 6．（2024秋•高新区期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设木长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•高新区期末）是方程ax+y＝1的解，则a＝ 　2　． 【解答】解：把代入方程ax+y＝1中，得2a﹣3＝1， 解得a＝2， 故答案为：2． 8．（2024秋•惠来县期末）关于x、y的方程组，则x+y的值为 　﹣3　． 【解答】解：将两个方程相加得：3x+3y＝﹣9， 则x+y＝﹣3， 故答案为：﹣3． 9．（2024秋•顺义区期末）为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 　2　分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 　8　． 【解答】解：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意得：， 解得：， ∴胜一场积2分，负一场积1分， 设某球队参加10场比赛，积分为18分，胜场数为m，则负场数为（10﹣m）， 由以上结果得：2m+（10﹣m）＝18， 解得：m＝8， 故答案为：2；8． 10．（2024秋•东西湖区期末）魔术师请李明默想一个一位数，然后把这个数乘2，再加5，再乘50，再加1774，最后再减去自己的出生年份，把运算的结果告诉他，他就能知道李明默想的那个一位数和李明2024年的年龄．若李明运算的结果是612，则李明2024年的年龄是　12　岁．（注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年1月﹣12月出生的人，2024年都是24岁） 【解答】解：设李明默想的一位数为m，出生年份为n， 则（2m+5）×50+1774﹣n＝612， 整理得：n＝100m+1412， ∵m是一位整数，n是整数， ∴符合题意的值为m＝6，n＝2012， 则2024﹣2012＝12， 即李明2024年的年龄是12岁， 故答案为：12． 11．（2024秋•肥西县期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则x﹣y的值是 　﹣3　，m﹣n的值是 　3　． 【解答】解：根据题意得：x+1＝y+（﹣2），m+（﹣2）＝n+1， ∴x﹣y＝﹣3，m﹣n＝3， 故答案为：﹣3，3． 12．（2024秋•碑林区校级期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元．一个79人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费2315元．设该旅游团租住三人间客房x间，两人间客房y间，请列出满足题意的方程组 　　． 【解答】解：设租住三人间x间，租住两人间y间，由题意，得 ， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 13．（2024秋•城关区期末）解方程组． （1）； （2）． 【解答】解：， ∵由①，得x＝y+3③， 把③代入②，得3（y+3）﹣8y＝14， 去括号，得3y+9﹣8y＝14， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入③，得x＝﹣1+3＝2， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ①+②，得4x＝20， 解得：x＝5， 把x＝5代入①，得2×5﹣y＝7， 解得：y＝3， ∴方程组的解为． 14．（2024秋•海珠区期末）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘以6，再加上5，再乘以2，再减去这张牌点数的2倍，再减去10，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，红桃的代号是2，梅花的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是72．小亮迅速准确说出这位同学抽出的纸牌是红桃7．你能解释其中的原因吗？ 【解答】解：设同学抽到的牌的点数为m，花色为n， 由题意得（6m+5）×2﹣2m﹣10+n＝72， 整理得：10m+n＝72， ∵m是1～13中的整数，n是1～4的整数， ∴m＝7，n＝2， 即这位同学抽出的纸牌是红桃7． 15．（2024秋•二七区期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1300元． （1）求A、B两种航模每件分别多少元？ （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【解答】解：（1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模200元，每件B型航模300元； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：200×0.9m+300×0.9n＝990， ∴m． 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 16．（2024秋•清镇市期末）某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 （1）求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ （2）若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 【解答】解：（1）设该蔬菜经营户批发x kg黄瓜，y kg茄子， 根据题意得：， 解得：． 答：该蔬菜经营户批发10kg黄瓜，30kg茄子； （2）根据题意得：（4﹣3）×10+（3﹣2）×30 ＝1×10+1×30 ＝10+30 ＝40（元）． 答：他可以赚40元． 17．（2024秋•开州区期末）开州商都新世纪超市用2820元购进A、B两种型号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标价如表所示： 价格类型 A型 B型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 （1）求这两种型号的热水袋各购进多少个？ （2）在销售过程中，A、B型热水袋均按标价九折出售，但在B型热水袋卖出m个后，恰逢“双十一”，商场决定剩余B型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全部售出后超市共获得800元的利润，求m的值． 【解答】解：（1）设A种型号的热水袋购进x个，B种型号的热水袋购进y个， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的热水袋购进36个，B种型号的热水袋购进24个； （2）由题意得：36×（50×0.9﹣35）+m×（100×0.9﹣65）+（24﹣m）×（100×0.8﹣65）＝800， 解得：m＝8． 18．（2024秋•城阳区期末）胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？ （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 根据题意得：， 解得， 答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨； （2）可以通行， ∵装载10套设备的卡车总质量为10×1.2+3×10×0.8+8＝12+24+8＝44（吨）， 44吨＜49吨， ∴可以通行． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$