14.3 第1课时 角的平分线的做法和性质-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

∠AGB=∠CGD, △CDG中， ∠ABG=∠CDG,∴.△ABG≌△CDG(AAS)..AG=CG AB=CD, 11.解：(I)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,∴∠PMA=∠PNB =90,P(2,2),PM=PN=2.在R△AMP和R△BNP中，PAPB, .Rt△AMP≌Rt△BNP(HL)..∠APM=∠BPN,.∠APB=∠APM+ ∠BPM=∠BPN+∠BPM=∠MPN=90°，∴.PA⊥PB;(2)(0,-4);(3)OA OB=(OM+MA)-(BN-ON)=OM+ON=4:(4)OA+OB=4. 模型构建专题（二）全等三角形的基本模型 1.解：(1)AD=BE,.AD十DB=BE十DB,.AB=DE.在△ABC和△EDF (AC=EF, 中，3AB=ED,∴.△ABC≌△EDF(SSS);(2),△ABC≌△EDF,∴.∠C=∠F= BC=DF, 65°.∠A=60°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=55°.2.证明：(1)在△ABE和 I∠E=∠F, △ACF中，∠B=∠C,.△ABE≌△ACF(AAS)..∠EAB=∠FAC AE=AF, ∴.∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB,即∠1=∠2；(2)由△ABE≌△ACF,得 ∠C=∠B, AC=AB.在△ACN和△ABM中，AC=-AB, ..△ACN≌△ABM ∠CAB=∠BAM, (ASA).3.(1)证明：①∠ACB=∠DCE=90°，∴.∠ACB+∠BCE=∠DCE (AC=BC, +∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，了∠ACE=∠BCD, CE=CD, .△ACE≌△BCD(SAS).②.△ACE≌△BCD,.∠CAE=∠CBD..∠CAE +∠EAB+∠ABC=90°，∴.∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°..∠AFB=90°.. AE⊥BD.(2)60°(3)180°-a4.解：，∠BMA=∠BAC=∠ANC,∠BMA +∠ABM=∠BAC+∠CAN,∴.∠ABM=∠CAN,在△ABM与△CAN中， ∠BMA=∠ANC, ∠ABM=∠CAN,.△ABM≌△CAN(AAS),.BM=AN=6,AM=CN=2, AB=CA, ,∴.MN=AM+AN=8.5.(1)AM+BN=MN(2)解：(1)中结论不成立，理 由如下：.∠ACB=∠ACM+∠BCN=90°，∠CAM+∠ACM=90°，..∠CAM ∠CAM=∠BCN, =∠BCN.在△ACM和△CBN中，〈∠AMC=∠BNC,,∴.△ACM≌△CBN AC=CB, (AAS)...AM-CN,CM=BN..MN=CN-CM,.'MN=AM-BN,(1) 论不成立. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的作法和性质 知识储备 1.距离2.(1)已知求证(2)画出图形 基础练综合练素养练 1.A2.解：图略.3.34.105.证明：.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF1 AC,..DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中， BE=CF, ∠BED=∠CFD,∴.△BDE≌△CDF(SAS).∴.DB=DC,即D是BC的中点. DE=DF, 6.中线AD'AB∠BFC名号BD'AB∠BBD A'B'D'7.65°8.109.(1)DC=DB(2)证明：过点D分别作DE⊥AB于 点E,DF⊥AC于点F,则∠DFC=∠DEB=90°.：AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC,.DE=DF.∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∠B= ∠DFC=∠DEB, ∠FCD.在△DFC和△DEB中，{∠FCD=∠B,.△DFC≌△DEB(AAS). DF-DE, .'BD=DC. 微专题三 1.152.23.304.(1)6(2)8 第2课时角的平分线的判定 知识储备 1.角的平分2.内三边 基础练综合练素养练 1.(1)平分线平分线∠POE(2)60°(3)32.证明：：DE⊥AB,DF⊥ AC·∠BED=∠DFC=90.在Rt△DEB和Rt△DFC中，{DBC:R △DEB≌Rt△DFC(HL)..DE=DF.又.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.AD是∠BAC 的平分线.3.B4.125.2:3:46.略7.D8.D9.(1)证明：过点D分 别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.又：BD平分∠ABC, CD平分∠ACM,.DE=DF,DG=DF.∴.DE=DG.∴.AD平分∠EAC,即AD 是△BAC的外角∠CAN的平分线.(2)65°10.证明：(1)过点O作OE⊥AC 于点E.,OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°，.OE=OB.:点O为BD的中 点，.OB=OD,.OE=OD.又∠CEO=∠D=90°，.∴.点O在∠ACD的平分线 上.∴.OC平分∠ACD;(2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE=∠COD,. ∠AOC= Z∠B0E+克∠D0E=号×180=90，∴0A10C,(3)在R△A0B 和△AOE中，8-8R△AOR△AORHL.AE一AB.月可 证Rt△EOC≌Rt△DOC,.EC=DC,,.AE+CE=AB+CD,即AC=AB+CD 重点强化专题（一）构造全等三角形的常用辅助线 1.证明：过点P作PH⊥BA于H,PG⊥BC于G.则∠PHD=∠PGB=∠PGC =90°.BP平分∠ABC,PH⊥BA,PG⊥BC,.PH=PG.在Rt△PDH和Rt △PEG中，PHE:△PDH≌R△PEG(H,∠PDH=∠PEG ∠PDB+∠PDH=180°，∴.∠PDB+∠PEB=180°.2.证明：在BC上取点F, 使BF-BA.连接DR.:BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=号∠ABC=20. ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°.在△ABD和△FBD中， (AB=FB, ∠ABD=∠CBD,.△ABD≌△FBD(SAS).∴.∠ADB=∠FDB=60°，AD= BD=BD, DF.又AD=DE,∠FDC=180°-∠ADB-∠BDF=60°，∴.DF=DE,∠FDC= (FD=ED. ∠ADB=∠EDC=6O°.在△FCD和△ECD中，{∠FDC=∠EDC,∴.△FCD≌ DC=DC. △ECD(SAS)..EC=FC..BC=BF+CF=BA+EC.3.(I)证明：延长AD 至E,使ED=AD,连接CE.AD是△ABC的中线，∴.BD=CD.在△ABD和 BD-CD, △ECD中，∠ADB=∠EDC,.∴.△ABD≌△ECD(SAS)...AB=EC.在△ACE AD=ED, 中，AC+EC>AE,.AC+AB>2AD;(2)在△ACE中，AC-CE<AE<AC+ CE,.AC-AB-2AD-AC+AB.AD5AD<6. 4.证明：延长CE至F,使EF=CE,连接DF.CE是△ACD的中线，∴AE= (AE-DE, DE.在△ACE和△DFE中， ∠AEC=∠DEF,.∴.△ACE≌△DFE(SAS) CE=FE, ∠A=∠ADF,AC=DF.∴.AC∥DF..∠CDF=180°-∠ACD.:∠BDC= 180°-∠ADC,∠ACD=∠ADC,∴.∠CDF=∠BDC.'BD=AC,AC=DF, (CD=CD, DF=BD.在△BCD和△FCD中，∠BDC=∠CDF,∴.△BCD≌△FCD(SAS). BD=FD, ∴BC=CF=2CE,即CE=BC5.【初步探索】EF=BE+DF【拓展延伸】 解：上述结论仍然成立，理由如下：延长FD至H,使DH=BE,连接AH.,∠B +∠ADC=180°，∠ADC+∠ADH=180°，.∠B=∠ADH.在△ABE和14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的作法和性质 知识储备 5.【教材P52习题T1变式】如图，在△ABC中， 1.角的平分线上的，点到角的两边的 相等 BE=CF,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E, 2.证明一个用文字语言叙述的几何命题的一般步 DF⊥AC于点F.求证：D是BC的中点. 骤：(1)明确命题中 知 (2)根据题意 ,并用符号表示已知 和求证，(3)经过分析，找出由已知推出要证的 结论的途径，写出证明过程 01基础练 必备知识梳理○ 知识点一 角的平分线的作法 1.用直尺和圆规作一个角的平 分线的示意图如图所示，则能 N 知识点三命题的证明 说明∠AOC=∠BOC的依据oa 6.(答题模板)证明命题“全等三角形对应边上 是 的中线相等”，下面是根据题意画出的图形， A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 并写出了不完整的已知和求证，请你将过程 2.如图，已知△ABC,用直尺和圆规作∠ABC 补充完整. 的平分线，保留作图痕迹，不写作法 已知：如图，△ABC≌△A'B'C,AD和A'D 分别是△ABC和△A'B'C'的 求证：AD 知识点二角的平分线的性质 B 3.【教材P49“探究”变式】如图，点P是∠AOC 证明：，△ABC≌△A'B'C', 的角平分线上一点，PD⊥OA,垂足为点D, ∴.AB= ,∠B= 且PD=3,则点P到OC的距离是· BC= 又AD,A'D'分别是BC,B'C'边上的中线， ..BD= BC,B'D'=B'C'. ∴.BD= (AB= 第3题图 第4题图 在△ABD和△A'BD'中，∠B= 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分 BD= ∠ACB,DE⊥AC于点E,AE=3,AB=7,则 .△ABD≌△ (SAS). △ADE的周长为 ..AD=A'D'. 33八年级数学·上册 02综合练 膏关健能力提升一 (2)如图2，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°. =180°，∠ABD<90°.求证：DB=DC. 按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F; ②分别以点E,F为圆心，大于号EF的长为 图2 半径画弧，两弧相交于点G;③作射线AG交 边BC于点D,则∠ADC的度数为 G 第7题图 第8题图 8.(2024·南宁期中)如图，AB∥CD,O为 ∠BAC,∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC 于E,且OE=5,则AB与CD间的距离等于 9.(1)如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C= 180°，∠B=90°.可知DC与DB的大小 关系是： 微专题目与角平分线有关的面积问题 解题技巧 2.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥ 已知角平分线上一点到角一边的垂线段，常过 AB,垂足为E.△ABC的面积为10，AB 该点向另一边作垂线段，构造“角平分线的性质”的 6,BC=4.则DE的长为 基本图形， 3.(2024·天水期中)如图， 【相关结论】如图，AD是△ABC △ABC的周长是20，BO, 的平分线，S△ABD:S△ACD=AB: CO分别平分∠ABC, AC=BD:CD. ∠ACB,OD⊥BC于点D, 且OD=3,则△ABC的面积是 【针对练习】 4.(1)如图，AD为△ABC的角平分线，且AB: 1.如图，在平面直角坐标系中，AD是Rt AC=3:2,BC=10,则BD= △OAB的角平分线，已知点D的坐标是 (0,一3)，AB的长是10，则△ABD的面积 为 第4(1)题图 第4(2)题图 (2)【T4(1)变式】如图，△ABC中，AD是 ∠BAC的平分线，E是AB的中点，△ABC 的面积是28，AB=4,AC=3,则△AED的 第1题图 第2题图 面积是 助学助款优质高数34