精品解析：广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高一上学期阶段性教学质量检测（12月）数学试卷

2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高一（上）质检 数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 若将钟表拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、、，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数图象的大致形状是 A. B. C. D. 6. 已知， ，，那么a，b，c的大小关系是 A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b 7. 已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 8. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知为第二象限角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最大值为6 11. 已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 13. 定义在上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 14. 不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集集合，或， ， （1）求; （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，． （1）当时，求的解集； （2）若的最大值为3，求的值． 17. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 19. 函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数为奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高一（上）质检 数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【详解】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：. 2. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果. 【详解】不等式可化为解得 则成立，反之不可以. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：A 3. 若将钟表拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为，得到5分钟是一周的十二分之一，进而可得答案． 【详解】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为， 将分针拨慢是逆时针旋转，∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为. 4. 已知、、，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错； 对于B选项，因为，则，，， 则，即，B对； 对于C选项，因为，则， 则，即，C错； 对于D选项，因为，当时，，D错. 故选：B. 5. 函数图象的大致形状是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性，排除BD；再由函数值的大致范围，即可确定结果. 【详解】因为， 所以 ， 所以是偶函数，排除BD； 又当时，，所以， 当时，，所以， 故排除D，选C. 故答案为C 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型. 6. 已知， ，，那么a，b，c的大小关系是 A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像和性质,即可比较函数值的大小. 【详解】根据指数函数与对数函数的图像与性质可知 ,即 ,而 ,而 综上可知 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像和性质,根据函数的单调性比较大小,属于基础题. 7. 已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法结合零点的近似值求解. 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 则，解得，所以至少需要操作10次. 故选：C. 8. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出点坐标，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为10. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知为第二象限角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的范围得到的范围，分，和，三种情况，求出答案. 【详解】由，（），得（）， 当时，，（），为第一象限角； 当时，，（），为第二象限角； 当时，，（），为第四象限角. 故选：ABD 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最大值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】直接根据基本不等式求解判断AC；根据分式分离变形转化，再结合基本不等式即可判断B；根据基本不等式“1”的巧用，求最值即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 故的最小值为4，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，无解， 故的最小值大于2，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故C正确； 对于D，若正实数x，y满足，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，利用图象的对称性可判断A选项；由化简可判断B选项；由基本不等式可判断C选项；利用不等式的基本性质可判断D选项. 【详解】对于函数，可得，可得，则， 所以，函数的图象关于直线对称， 由，得， 由，得， 作出函数、、的图象如下图所示： 由对称性可知，点、关于直线对称， 对于A选项，，，A对； 对于B选项，由，可得，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，由可得，则， 这与即矛盾，所以，， ，C对； 对于D选项，因为，，由不等式的基本性质可得，D错. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键分析出函数的图象关于直线对称，以及同底数的指数函数和对数函数的对称性来得出等量关系，再利用不等式的基本性质求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性进行变形，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解． 【详解】解：定义在上的函数满足为偶函数， 所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以恒成立， 所以且， 则且，此时不存在． 故答案为：． 14. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，转化问题为，设，进而结合指数函数的单调性可得，可得，解不等式即可求解. 【详解】由，，得， 即，令， 则，则， 设， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，又， 则，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集集合，或， ， （1）求; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件直接由交集运算求出； （2）在（1）的基础上，由补集定义求出，再由，分和，两种情况求出实数的取值范围． 【详解】（1），或， ， （2）由已知或， 则， 当，时，，满足， 当时，只需，即 , 综上可知. 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 16. 已知函数，． （1）当时，求的解集； （2）若的最大值为3，求的值． 【答案】（1） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得； （2）当时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得然后结合条件即得，当时根据二次函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得. 【小问1详解】 当时，，即． 当时，； 当时，不等式无解； 当时，若，，若，； 所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【小问2详解】 ①当时，， 又，则，当且仅当取等号， 所以，即， 若时，当时，．此时， 所以不满足题意，舍去． ②当时，的对称轴为， 当时，，． 当时，在时增函数，，即（舍去）． 若．当时，，满足题意． 综上，时，的最大值为3． 17. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式； （2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论. 【小问1详解】 解：当时，设，将代入得，解得，此时，； 当时，设（且），将、代入得， 解得，此时，. 综上：. 【小问2详解】 解：因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得， 则，即， 所以，. 所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 19. 函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数为奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），证明如下： 因为， 令，则，得； 令，则，得； ，令， 依题意得，即， 所以是奇函数. （2）由得，即， ，，，则，则， 可得， 即，所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数； （2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：， 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用函数的奇偶性与单调性得到，从而分类讨论即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $