精品解析：广西南宁市武鸣区武鸣高级中学2024—2025学年高二上学期12月月考数学试题

武鸣高中2026届高二上学期12月月考试题 高二数学 命题：蓝彬 审题：农桂香 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法及复数相等求解即得. 【详解】由，得，而， 所以，. 故选：C 2. 设，则“”是“为的等比中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断“”和“为的等比中项”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】取，满足，但不成等比数列， 故“”推不出“为的等比中项”； 当为的等比中项时，必有成立， 故“”是“为的等比中项”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 4. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 5. 已知直线与抛物线在第一象限交于点 ，若点到的准线的距离为，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程与抛物线方程联方程组表示出点的横坐标，再根据抛物线的定义结合题意列方程可求出. 【详解】抛物线的准线方程为， 由，得，即， 解得或， 所以点的横坐标为， 因为点到的准线的距离为， 所以，解得. 故选：B. 6. 已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义及通项公式即可得. 【详解】，， 即，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 7. 如图，在长方体中，，为中点，则点到平面的距离为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】以D为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， ，，， 设平面的一个法向量为， ， 令，则，得 ， 所以点到平面的距离为 . 故选：C. 8. 如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由用表示出.根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为. 将渐近线方程化为一般式为，， 由点到直线距离公式可知，所以， 根据题意，则， 设，由双曲线对称性可知， 而，， 由正切二倍角公式可知， 即，化简可得，即， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分； 答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若 为等差数列，它的前n项和为 Sn，则数列 也是等差数列 B. 若为等比数列，则 也是等比数列 C. 若各项均不为的等差数列的项数为，它的偶数项和为 奇数项和为 则 D. 已知等差数列的公差为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】写出的表的式再根据等差数列的定义可判断A；利用等比数列的定义可判断B；利用等差数列求和公式及下标和的性质可判断C，利用整体思想可判断D. 【详解】对于A，若是等差数列，设数列的公差为， 则， 所以， 所以数列是公差为的等差数列，故A正确； 对于B，若是等比数列，则，设数列的公比为，则， 所以数列是公比为的等比数列，故B正确； 对于C，若各项均不为0的等差数列的项数为， 则，故C正确； 对于D，若等差数列的公差为，， 则， ， 所以，故D错误. 故选：ABC 10. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的外接圆面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，结合椭圆定义求解判断A；利用离心率定义判断B；确定三角形形状求解判断CD . 【详解】由，得椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距， 由是椭圆上的点，得，而， 对于A，，，A正确； 对于B，离心率为，B正确； 对于C，，得为直角三角形，， ，C错误； 对于D，由选项C知，的外接圆直径为线段，则该圆半径为，面积为，D正确. 故选：ABD 11. 已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】解：当时， 当时， 对于A, 当时， 故A错， 对于B, 当时，，故B错， 对于C, 当时，，故C错， 对于D, 当时，， ， 当时， 则，故选项正确， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 13. 设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质，也是等差数列计算得出. 【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列， 所以也是等差数列， 因为，， 则构成等差数列， 所以， 解得：， 所以， 所以，即 故答案为： 14. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的右焦点为，过F作直线l交椭圆于 A，B两点，若弦AB 中点坐标为 ，则该椭圆的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据右焦点得出，进而应用中点结合点差法得出，即可得出椭圆面积. 【详解】因为右焦点为,得出， 设点中点为， 所以， 所以， 所以， 所以 所以，所以, 所以 所以该椭圆的面积为 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）在等差数列中，已知求公差； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【答案】（1）；（2）2；. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和求和公式求解； （2）由等比数列前项和的性质得到公比，再利用等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）由，解得. 又， 即，解得. （2）由于 所以. 又， 所以， 即，解得， 故公比为，项数为. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列前项和，属于中档题. 16. 已知，是的三个内角，若向量，，且. （1）求证：； （2）求的最大值. 【答案】（1）证明：由， 即， 故， 整理得， ，即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式可得，整理即可证明； （2）根据余弦定理、诱导公式和两角和的正切公式可得，结合利用基本不等式求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 =. 为三角形的内角，，即 ，当且仅当时等号成立， 故 的最大值为. 17. 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且. （1）求直线AM与直线PN所成角的大小； （2）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 【答案】（1）90°； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式直接计算即可； （2）先计算出平面的法向量，再利用线面角的向量公式列式求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 易得点，，， ∴，， ∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°； 【小问2详解】 点，∴，，， 设平面的法向量为， 则，可得，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，即， 因为，解得. 18. 已知等差数列是单调递增数列，，且，成等比数列，是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求满足的最小的的值. 【答案】（1）；（2）11. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比中项性质可得，，再代入通项公式，即可得答案； （2）先求，再利用裂项相消法求，最后求关于的不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）设的公差为，则 ∴，∵，∴， ∴的通项公式为. （2）由（1）知， ， ， 化为，∴， ∴，∴正整数， ∴满足条件的的最小值为11. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量运算、裂项相消法求和，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 19. 已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q． （ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）易知，，由椭圆对称性可知，不妨设，，，， 根据题意可知直线AM，BM斜率均存在，且，， 所以直线AM的方程为，BM的方程为， 联立直线AM和椭圆方程，消去y可得， 由韦达定理可得，解得，则； 联立直线BM和椭圆方程，消去y可得， 由韦达定理可得，解得，则； 则， ， 所以， 即可知为钝角，以点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）6 【解析】 【分析】（1）由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上，则，有一点在椭圆上，将两点代入椭圆中，解方程组即可求得椭圆C的方程； （2）（i）分别将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出P，Q两点坐标，由数量积可得为钝角，得出证明； （ii）由（i）可写出四边形的面积为，再利用基本不等式以及函数单调性即可得出面积的最大值为6. 【小问1详解】 由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上， 则，有一点在椭圆上， 设点在椭圆上， 则，方程组无解，所以点在椭圆上 代入，可得，，即椭圆方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（i）四边形APBQ面积为 ， 设，，则，当且仅当时等号成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点M的坐标为， 由对称性可知，即当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6． 【点睛】方法点睛：证明点和圆的位置关系时，可利用向量数量积的正负判断与直径所对圆周角的大小即可得出结论；在求解四边形面积的最值时，首先可用一个变量表示出面积的表达式，再根据函数单调性或基本不等式求出最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武鸣高中2026届高二上学期12月月考试题 高二数学 命题：蓝彬 审题：农桂香 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设，则“”是“为的等比中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 5. 已知直线与抛物线在第一象限交于点 ，若点到的准线的距离为，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 6. 已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，为中点，则点到平面的距离为 A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分； 答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若 为等差数列，它的前n项和为 Sn，则数列 也是等差数列 B. 若为等比数列，则 也是等比数列 C. 若各项均不为的等差数列的项数为，它的偶数项和为 奇数项和为 则 D. 已知等差数列的公差为，则 10. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的外接圆面积为 11. 已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为________． 13. 设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 ____. 14. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的右焦点为，过F作直线l交椭圆于 A，B两点，若弦AB 中点坐标为 ，则该椭圆的面积为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）在等差数列中，已知求公差； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 16. 已知，是的三个内角，若向量，，且. （1）求证：； （2）求的最大值. 17. 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且. （1）求直线AM与直线PN所成角的大小； （2）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 18. 已知等差数列是单调递增数列，，且，成等比数列，是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求满足的最小的的值. 19. 已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q． （ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $