2025年中考数学一轮复习学案 专题06：一元一次方程 -

专题06：一元一次方程-2025年中考数学一轮复习题 知识梳理 一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 跟踪训练 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•松北区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．3y﹣x＝5 B．x2﹣3＝x+1 C．2a﹣3＝4a D． 2．（2024秋•武汉期末）已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝2，则a＝（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D． 3．（2024秋•三水区期末）如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数a，b，c，以下结论正确的是（　　） A．a＝b+8 B．c＝a+14 C．b﹣a＝c﹣b D．c＝a+b 4．（2024秋•顺义区期末）方程﹣3x+1＝0的解是（　　） A． B． C．x＝3 D．x＝﹣3 5．（2024秋•西山区校级期末）下列等式变形错误的是（　　） A．若a＝b，则ac＝bc B．若ac＝bc，则a＝b C．若a+2c＝b+2c，则a＝b D．若a＝b，则 6．（2024秋•西山区校级期末）数学小组定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝a+b+ab﹣1，例如：2⊗3＝2+3+2×3﹣1＝10．如果2⊗x＝5，则x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 7．（2024秋•西湖区期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了这样一个问题：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．大致意思为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150×12 B．240×12＝150x C．240x＝150（12+x） D．240（12+x）＝150x 8．（2024秋•西山区校级期末）小才从家骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到8分钟，每小时骑12千米就会迟到4分钟，求他家到学校的路程，设他家到学校的路程是x千米，则根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•松北区期末）已知x＝3是方程3x﹣2a＝5的解，则a＝ 　 　． 10．（2024秋•西山区校级期末）关于x的方程ax﹣1＝x+4的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和是 　 　． 11．（2024秋•西山区校级期末）某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排　 　人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 12．（2024秋•海安市期末）传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是 　 　． 4 2 5 m 13．（2024秋•乌鲁木齐期末）一个商店以同样的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服的利润率为 　 　．（利润率100%） 14．（2024秋•海安市期末）若关于x的一元一次方程的解为x＝1，则关于y的一元一次方程ay+b＝2y+c的解为y＝ 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024秋•西山区校级期末）解方程： （1）； （2）． 16．（2024秋•鄠邑区期末）某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，并对成绩优秀的学生进行奖励，该校计划购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元，如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ 17．（2024秋•行唐县校级期末）列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题： 她付的钱怎么比我还少？ 收银台 “元旦”大酬宾 跳绳每根35元 超过10根，享受八折优惠 （1）购买8根跳绳需　 　元；购买12根跳绳需　 　元； （2）购买m根跳绳需多少元？（请你用含有m的式子表示） （3）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 18．（2024秋•大连期末）学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． （1）甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ （2）乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 19．（2024秋•潍坊期末）为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算． 我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0～125 3.25 第二阶梯 126～206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： （1）小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是 　 　元． （2）小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ （3）为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元？ 20．（2024秋•南充期末）随着城市交通的多样化发展，人们的出行更加方便．某城市有一种出租车车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，具体各项目收费标准如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/km 0.5元/分钟 1元/km （注：里程费、时长费分别按行车的实际里程、时间计算，行车里程不超过10km时不收取远途费，超过10km时，超出的部分每千米加收1元远途费） （1）若小军乘坐此种出租车，行车里程为5km，行车时间为8分钟，则他需付车费多少元？ （2）李老师周末外出办事，他乘坐此种出租车20分钟到达目的地，支付车费36元，问他行车里程是多少km？ （3）小凡和小凯各自乘坐此种出租车，小凡比小凯的行车里程少2km，行程结束后反而多付了1元，且两人计费项目也相同，求他们乘车的行车时长相差多少分钟？ 专题06：一元一次方程-2025年中考数学一轮复习题 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A B C C A 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•松北区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．3y﹣x＝5 B．x2﹣3＝x+1 C．2a﹣3＝4a D． 【解答】解：A、含有两个未知数，故不是一元一次方程； B、未知数的次数2，故不是一元一次方程； C、符合一元一次方程的定义； D、分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 2．（2024秋•武汉期末）已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝2，则a＝（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D． 【解答】解：把x＝2代入关于x的方程2x+a﹣5＝0得： 4+a﹣5＝0， a﹣1＝0， a＝1， 故选：A． 3．（2024秋•三水区期末）如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数a，b，c，以下结论正确的是（　　） A．a＝b+8 B．c＝a+14 C．b﹣a＝c﹣b D．c＝a+b 【解答】解：根据图示知：a+8＝b，b+8＝c， 所以c＝a+16． 所以b﹣a＝c﹣b＝8． 观察选项可知，选项C符合题意． 故选：C． 4．（2024秋•顺义区期末）方程﹣3x+1＝0的解是（　　） A． B． C．x＝3 D．x＝﹣3 【解答】解：A．把代入﹣3x+1＝0，左边＝0，右边＝0，∵左边＝右边，∴是方程﹣3x+1＝0的解，故此选项符合题意； B．把代入﹣3x+1＝0，左边＝2，右边＝0，∵左边≠右边，∴不是方程﹣3x+1＝0的解，故此选项不符合题意； C．把x＝3代入﹣3x+1＝0，左边＝﹣8，右边＝0，∵左边≠右边，∴x＝3不是方程﹣3x+1＝0的解，故此选项不符合题意； D．把x＝﹣3代入﹣3x+1＝0，左边＝10，右边＝0，∵左边≠右边，∴x＝﹣3不是方程﹣3x+1＝0的解，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（2024秋•西山区校级期末）下列等式变形错误的是（　　） A．若a＝b，则ac＝bc B．若ac＝bc，则a＝b C．若a+2c＝b+2c，则a＝b D．若a＝b，则 【解答】解：若a＝b，两边同乘c得ac＝bc，则A不符合题意； 若ac＝bc，当c＝0时，a与b不一定相等，则B符合题意； 若a+2c＝b+2c，两边同时减去2c得a＝b，则C不符合题意； 若a＝b，两边同时除以c2+1得，则D不符合题意； 故选：B． 6．（2024秋•西山区校级期末）数学小组定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝a+b+ab﹣1，例如：2⊗3＝2+3+2×3﹣1＝10．如果2⊗x＝5，则x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 【解答】解：∵a⊗b＝a+b+ab﹣1， ∴2⊗x＝2+x+2x﹣1＝5， ∴3x+1＝5， 解得x， 故选：C． 7．（2024秋•西湖区期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了这样一个问题：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．大致意思为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150×12 B．240×12＝150x C．240x＝150（12+x） D．240（12+x）＝150x 【解答】解：依题意，得：240x＝150（12+x）． 故选：C． 8．（2024秋•西山区校级期末）小才从家骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到8分钟，每小时骑12千米就会迟到4分钟，求他家到学校的路程，设他家到学校的路程是x千米，则根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•松北区期末）已知x＝3是方程3x﹣2a＝5的解，则a＝ 　2　． 【解答】解：∵x＝3是方程3x﹣2a＝5的解， ∴9﹣2a＝5， 解得：a＝2． 故答案为：2． 10．（2024秋•西山区校级期末）关于x的方程ax﹣1＝x+4的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和是 　6或2　． 【解答】解：∵ax﹣1＝x+4， ∴x， ∵x＞0， ∴x0， ∴5要为a﹣1的倍数， ∴a＝6或2． 故答案为：6或2． 11．（2024秋•西山区校级期末）某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排　25　人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 【解答】解：设加工的甲部件的有x人，加工的乙部件的有（85﹣x）人． 可得：3×16x＝2×10（85﹣x）， 解得：x＝25， 85﹣x＝85﹣25＝60． ∴加工的甲部件的有25人， 故答案为：25． 12．（2024秋•海安市期末）传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是 　12　． 4 2 5 m 【解答】解：∵第一列及对角线上的三个数之和相等， ∴第二行第二个方格中的数为4+5+m﹣（2+m）＝7； ∵第二行和第三列上的三个数之和相等， ∴第三行第三个方格中的数为5+7﹣2＝10． 根据题意得：4+5+m＝4+7+10， 解得：m＝12， ∴图中字母m表示的数是12． 故答案为：12． 13．（2024秋•乌鲁木齐期末）一个商店以同样的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服的利润率为 　﹣4%　．（利润率100%） 【解答】解：设两件衣服的售价均为a元，盈利的那件的进价为x元，亏损的那件的进价为y元， 根据题意得：a﹣x＝20%x，a﹣y＝﹣20%y， 解得：xa，ya， ∴100%100%＝﹣4%， ∴卖这两件衣服的利润率为﹣4%． 故答案为：﹣4%． 14．（2024秋•海安市期末）若关于x的一元一次方程的解为x＝1，则关于y的一元一次方程ay+b＝2y+c的解为y＝ 　　． 【解答】解：， ， ∵关于x的一元一次方程的解为x＝1， ∴关于y的一元一次方程ay+b＝2y+c的解为：， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 15．（2024秋•西山区校级期末）解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 去分母，得10（3﹣2x）﹣（10﹣2x）＝﹣34， 去括号，得30﹣20x﹣10+2x＝﹣34， 移项、合并同类项，得﹣18x＝﹣54， 将系数化为1，得x＝3； （2）， 去分母，得3（3x+1）﹣（x﹣1）＝6， 去括号，得9x+3﹣x+1＝6， 移项、合并同类项，得8x＝2， 将系数化为1，得． 16．（2024秋•鄠邑区期末）某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，并对成绩优秀的学生进行奖励，该校计划购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元，如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ 【解答】解：根据该校计划购买甲、乙两种奖品共30件，设甲买x件，则乙买（30﹣x）件，根据题意得： 30x+20（30﹣x）＝800， 整理得：10x＝200， 解得：x＝20，30﹣x＝10， 答：甲购买了20件，则乙购买了10件． 17．（2024秋•行唐县校级期末）列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题： 她付的钱怎么比我还少？ 收银台 “元旦”大酬宾 跳绳每根35元 超过10根，享受八折优惠 （1）购买8根跳绳需　280　元；购买12根跳绳需　336　元； （2）购买m根跳绳需多少元？（请你用含有m的式子表示） （3）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 【解答】解：（1）购买8根跳绳需35×8＝280（元）； 购买12根跳绳需35×12×80%＝336（元）； 故答案为：280；336． （2）当m≤10时，需35m元； 当m＞10时，需35×80%m＝28m元． （3）有可能，理由如下： 设小明买跳绳x根，小红买跳绳（x+2）根，根据题意得： 35x＝35×80%（x+2）+7， 解得：x＝9， 9+2＝11（根）， ∴当小明买跳绳9根，小红买跳绳11根时，小红比小明少付款7元． 18．（2024秋•大连期末）学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． （1）甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ （2）乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 【解答】解：（1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要x天， 根据题意得：1， 解得：x＝4． 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天； （2）根据题意得：（1700+300）×4+1700×（5+4） ＝2000×4+1700×9 ＝8000+15300 ＝23300（元）． 答：学校需支付给甲、乙两个工程队共23300元工程费． 19．（2024秋•潍坊期末）为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算． 我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0～125 3.25 第二阶梯 126～206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： （1）小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是 　390　元． （2）小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ （3）为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元？ 【解答】解：（1）根据题意得：120×3.25＝390（元）， ∴小亮家2022年缴费金额是390元． 故答案为：390； （2）设小亮家2023年用水量是x立方米， ∵125×3.25＝406.25（元），125×3.25+（206﹣125）×4.15＝742.4（元），406.25＜676＜742.4， ∴125＜x＜206． 根据题意得：406.25+4.15（x﹣125）＝676， 解得：x＝190． 答：小亮家2023年用水量是190立方米； （3）∵190﹣60＝130（立方米），130＞125， ∴4.15×60＝249（元）． 答：小亮家2024年比2023年缴费金额少249元． 20．（2024秋•南充期末）随着城市交通的多样化发展，人们的出行更加方便．某城市有一种出租车车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，具体各项目收费标准如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/km 0.5元/分钟 1元/km （注：里程费、时长费分别按行车的实际里程、时间计算，行车里程不超过10km时不收取远途费，超过10km时，超出的部分每千米加收1元远途费） （1）若小军乘坐此种出租车，行车里程为5km，行车时间为8分钟，则他需付车费多少元？ （2）李老师周末外出办事，他乘坐此种出租车20分钟到达目的地，支付车费36元，问他行车里程是多少km？ （3）小凡和小凯各自乘坐此种出租车，小凡比小凯的行车里程少2km，行程结束后反而多付了1元，且两人计费项目也相同，求他们乘车的行车时长相差多少分钟？ 【解答】解：（1）根据题意得：2×5+0.5×8 ＝10+4 ＝14（元）． 答：他需付车费14元； （2）设他行车里程是x km， ∵2×10+0.5×20＝30（元），30＜36元， ∴x＞10． 根据题意得：2x+0.5×20+（x﹣10）＝36， 解得：x＝12． 答：他行车里程是12km； （3）设小凡的行车里程为a km，小凡的行车时长比小凯多b分钟，则小凯的行车里程为（a+2）km， 当a≤8时，2a﹣2（a+2）+0.5b＝1， 即0.5b＝5， 解得：b＝10； 当a＞10时，2a+（a﹣10）﹣[2（a+2）+（a+2﹣10）]+0.5b＝1， 即0.5b＝7， 解得：b＝14． 答：他们乘车的行车时长相差10或14分钟． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$