山东省济南市2024-2025学年高二上学期1月期末学习质量检测数学试题

绝密★启用并使用完毕前 2025年1月济南市高二期末学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将1已的姓名考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。 2.回答选挣题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 改动，用橡皮擦平净后，再选涂北他答案标号。回答非选邦题时.将答案写在答题卡上。写在 木试卷上无效. 3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知A(0,1.-1),B(1.0.1),则1AB1= A.2 B.2 C.5 D.6 2.筝比数列{a.}中，若a1=3,a:=6.则5，= A.21 B.24 C.45 D.54 3.抛物线y2=x的焦点坐标为 A0) B.20) c.o}) D.02 4.若直线x+ay-1=0与(a一1)x+2y-1=0平行，则a= A.-1 B.0 C.2 D.3 5,若数列a.}端是an=己。.且a1=2,则a A.-1 B C.1 D.2 6,筛朗号+号=1中，以P1,-山为巾点的弦所在直线的方程为 A.x+2y十1=0 B.x+2y-3=0 C.x-2y-3=0 D.x-2y+1=0 高二数学试题第1页（共4页） 7.如图，两异面直线AB,CD,若AB=BD=3,AC=CD=2,AC⊥AB,AC⊥CD,则AB 与CD所成角的余弦值为 A- c号 D.3 4 8,设双曲线C:号-是1@>0，b>0)的左、右焦点分别为F,F,0为坐标原点，过F 向C的一条渐近线作垂线，垂足为A,若sm∠APR,=子in∠AOF,则C的离心 常为 A.2 B.5 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知圆C:x2+y2一4x一2y+1=0与x轴相交于A.B两点，则 A.圆心C的坐标为(2,1) B.点(0,3)在圆C内 C.圆C与y轴相切 D.AB=23 10.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面a的一个法向 量为(-1,1.1)，则 A.C℃，∥平而a D B.AC,⊥平而a C.平面BB,D,D⊥平面a D.直线AC与平面。所成角的正弦值为 3 11.设曲线下的方程为(x+y2)户=2(x2-y2),P(xy)是下上的动点，则 A.下是中心对称图形 B.当x>0时，曲线P恒在直线y=x的下方 C.若O为坐标原点，则IOPI≤1 D.yet-] 高二数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间向量m=(a,3,一1)，n=(4,1,一3)，若m⊥(m一n),则实数a的值为 13.已知圆(.x-1)2+y2=1与圆(x-3)+y=r2(r>0)外切，则实数r的值为 14.甲、乙玩一种游戏，每轮游戏中，两人从1到10的整数中各选一个，记甲选的数字为a,得 分为x,乙选的数字为b,得分为y.若b>a.则y=0,x=a:若b≤a,则y=b, x=。一b.三轮游戏后，总分多者获胜.已知甲所选的三个数字之和为10，且有两个数字 之差为2.三轮游戏后，甲、乙的总分和为 :若乙想确保获胜，则他应选的三个数 字为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线1：k.x-y+1-2k=0,圆C:x2+y2=1. (1)求【所经过的定点： (2)若1与C相切，求k. 16.(本小题满分15分) 等差数列{a.}中，a1=7,a6=4a: (1)求{a.}的通项公式： (2)若数列仙.}满足6.=3，求化，}的前n项和5. das+l 17.(本小题满分15分) 在正四楼柱ABCD-A,B,C,D,中，已知AA,=3AD,点E,F,G满足BB,=3BE. C1C=3CF,DD1=3D元. B (1)证明：A,E,F,G四点共面： (2)求平面AEFG与平面B,BC℃，夹角的余弦值. 高二数学试题第3页（共4页） 18.(木小题满分17分) 、包知椭侧C:专+父” 方=1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2. (1)求C的方程： (2)过椭圆右焦点F的直线交椭圆于M,N两点·A为椭圆的左顶点，直线AM,AN分别 与直线I:=4交于点P,Q,点T在直线l上，且TF⊥MN, (i)求证：IPT=QTI: (i)记△TMN,△TPM,△TQN的面积分别为S,S:,S,是否存在实数X,使得 S:+S:=λS,若存在.求出入的值，若不存在，说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知A。:a1a:…,a.(n∈N·,n≥3)，B.:b1b:…,b.(∈N·,m≥3)都是由正整 数构成的数列，且数列A。中的项互不相同，若数列A。,B。同时满足下列两个性质，则称B 是A。的“X数列”： ①对任意ij∈N·且1≤i<j≤n,总存在k∈N·且1≤k≤m,使得b:=aa,; ②对任意'，'∈N且1≤'j'≤m,若br<b,,总存在k'∈N且1≤k'≤n,使 bi 得ar一 (1)已知数列A1:1,2,4,判断B,:2,48和B,:1,2,4,8是否为A,的“X数列”； (2)若存在B。是数列Aa1a:a,(a1<a:<a,)的“X数列”，证明：a:是a1a,的 等比中项： (3)若存在B.是数列A.的“X数列”，将数列A.和B.中所有的项按照从小到大的顺序 排列（相同的数不重复排列），构成数列C:,证明C:为等比数列，并求出C,的项数. 高二数学试题第4页（共4页）2025年1月济南市高二期末学习质量检测 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 2 3 5 6 7 8 答案 D C A A B C C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2:13.1:14.10:3,3,3. 四、解答题：共7心分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)由题意可知，直线1的方程为k(x-2)-(y-1)=0, ◇-8解得化子 x=2 所以直线/所经过的定点为(2，)： (2)易知圆心C(0,0),半径r=1.因为直线/与圆C相切， 所以圆心C0,0)到直线/的距离等于半径1， 即八21，整理得3-4k=0,解积k=0或一 V+1 所以当直线与圆C相切时、长=0或长=号 16.【解析】 (I)设首项为a,公差为d, a+2d=7 由题意可知 a=1 a+5d=4a,+4d'解得 d=3' 所以an=3-2: 。1- 3 11 (2)由题意么=(6n-23n+可3n-23n+ 所-引传 =11 3n 3n+13n+1 17.【解析】 (I)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，：轴建立空间角坐标系， 设AD=1,则A4=3,所以41,0,0) 因为BB=3BE,CC=3CF,DD=3DG, 所以E1,1,1),F(0,1,2),G0,0,1). 所以4G=(-1,0,),EF=(-1,0,1), D 所以AG=EF, B 所以A,E,F,G四点共面 (2)因为DC⊥平面B,BCC, 所以平面B,BCC,的一个法向量为m=(0,1,0). 因为A1,0,0),E(1,1,),所以AE=(0,1,1). G 设平面AEFG的法向量为N=(x,y,=), nAG=0m「-x+:=0 n花=0即{+：=0 则 取x=1,则：=1，y=-1,所以n=(1,-1,l) 设平面AEFG与平面BBCC的夹角为O, 则cos0=lcos(m,n以= 01,0)1,-1,5 1×V5 3 所以平面AEFG与平面RBCC夹角的余弦值为 3 18.【解析】 (1)由题意可知2a=4,2c=2,则a=2,c=1,所以b2=3, 所以椭圆C方程为上+。 4+3=1 (2)依题意知直线MN斜率不为零，设N:x=m+I,M(x,男)，N(x,乃)， -2. x=y+1 +号=得：(8m+4广+6m-9 -6m -9 则y+%=3m+4=3m+41 设74,6)，因为F0,0),则k=当 3 所以台1=-1，解得%=-3m,即74，-3m。 3 m 设M:y=2+2,令x=4,得点P的纵坐标，=%，=6 x+2 名+2+3 同理得点Q的纵坐标'。= 6y2 m:+3: 因为 6y一 6y2=6 2m3+3y+2) %+3%+3my乃2+3my+另2)+9 -18m18m =6:3m+43m+4=6.-36m.-6m, -9m218m2 36 3m2+43m2+4 +9 所以T为线段PQ的中点， 所以|TPHTOI: (3)由(2)可知MN=√m2+1以-FT=4-旷+(0-3m=3Wm+1, 所以S=m+-, 因为IPQ=6片， 18y- my+3m2+3(my+3Xm2+3)' 所以S2= 9y- (4-x）= 9(3-my- 2(my+3my2+3列 2Km%+3my2+3列 9(3-m%2y-2 同理S=2m+3m+3列 9 以- 所以S+5=2+3Xm+3 (6-y-少3） 若存在实数入使得S:+S3=S, 则 36-my-my）=2m2+), (my,+3(y5+3列 36 因为m+3m+3)=3m+46-0+)=6 6m2_24m2+1) 3m2+43m2+4 所以2(m2+1)=2(m2+), 所以存在实数元=2，使得S2+S=S: 19.【解析】 3. (1)因为A:1,2,4时，所以1×2=2eB,1×4=4∈B,2×4=8eB: 且2e4,-2e4:》4e4,所以品是4的X数列： 又1x2=2eB,1x4=4eB,2x4=8∈B:但8=8E4, 所以B,不是A的X数列： (2)由条件①可得：a,4,a,4,aa都是B.中的项， 由条件②可得：，9，及都是4中的项， aaa 因为马≤4，所以4=4或=a. 若2=4，即4=1， 因为a=2<g<g=a,所以g=4,即4=a: aaa 所以4=aa=a,即a:是a,4的等比中项： 若=4，则a>1,4=G, 因为a=4<g<a,所以9=a,即4=d: a 所以a,a=a=aG,即4是a,a的等比中项： 综上：4是a,和a的等比中项： (3)(i)当n=3时，不妨设An:a,4,a,且1≤a<4<a, 由(2)可知：4,4，a成等比数列，且=4，或2=a. a 若及=4，则4=1,4，=G: a 此时An为：1，a,a,B.为：42a,G, 此时C,:1,4,G,是首项为1，公比为4等比数列，共4项. 若g=a,则a>1,4=G,a,=d: 此时A为：a,a,a,Bn为：G,a,a,或d,a,a,a 当Bn为：d,a,a时， -4✉ C:a,a,G,4,a是首项为a,公比为a等比数列，共5项： 当Bn为：aG,a,G,a时， C,:a,a,a,a,a,4是首项为a,公比为a等比数列，共6项 (ii)当n≥4时，对于An:a,a,a,a,不妨设1≤4<4<a<…<an, 则aa,4a,a,a,…,aan,a4,anan均为B.中的项， 由条件②可得，90=8，a0=_,02.42 aa aaa aa a aa341 44=4,a4=4均为A中的项， ad a aa a 且%>g>0>0->>44 aa aaa aa 因为数列A中共有n项， z=d' 所以88=a,2=02=a2…,2=4,2 a45 a 故a=dG,a=a,，an=a”. 由-2=0，可得：a=a4=4=a,即n-l=3,可得n=4: aa, 此时An为：a,a,aG,a,B.为：a,a,G,a,a,符合题意， 此时C:a,a,G,,a,a,a是首项为a,公比为a等比数列，共7项. 综上：当a=1时，C是等比数列，项数为4： 当a>1时，C4是等比数列，项数为5或6或7. -5-