2025年中考一轮复习数学专题：二次函数

2025年中考一轮复习数学专题：二次函数 一、选择题 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线图像经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 6．若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④，其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（　　）m． A． B． C． D． 二、填空题 9．若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为　 　． 10．与抛物线的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是的抛物线的函数表达式是　 　. 11．二次函数在范围内的最小值为　 　． 12．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是　 　．　 13．如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为　 　． 三、解答题 14． 如图， 已知拋物线 经过点 . （1） 求 的值及此抛物线的顶点坐标. （2） 试判断点 是否在此函数图象上. 15．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q. （1）求抛物线的解析式. （2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标. 16．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具。 （1）若设该种品牌玩具的销售单价为 元 ，诮将销售利润 表示成销售单价 的函数。 （2）在（1）问条件下， 若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 应定为多少元？ （3）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润. 17．已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值与最小值之差； （3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 18．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 参考答案 1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．B 9． 10．y=-2(x-1)2+2或y=-2x2+4x 11．1 12． 13．4 14．（1）解： 抛物线 经过点 . 把 代入 ， 得 ， 则 ， 顶点坐标为 （2）解：将 代入得， ， 点 在函数图象上 15．（1）解：根据题意，得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. （2）解：如图所示， ∵PQ∥y轴， ∴当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形. ∵当x=0时， y=-x2+2x+3=3，y=x+2=2， ∴C(0，3)，D(0，2). ∴CD=1. 设Q(m，-m2+2m+3)，则P(m，m+2). ∴PQ=(-m2+2m+3)-(m+2)=1， 解得m1=0，m2=1. 当m=0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形， ∴m=1，m+2=3. ∴点P的坐标为(1，3). 16．（1）解：设该种品牌玩具的销售单价为 元 ， 销售利润 w 表示成销售单价 x 的函数为： （2）解：依题意 ， 解得： 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润 （3）解：， 当 取得最大值， 销售价格定为 65 元时， 可获得利润 12250 元 17．（1）解：函数，为常数）的图象经过点，， ，， 将点代入可得：，解得：， ，； （2）解：， 当时， ①仅当时，取得最小值，此时； ②仅当时，取得最大值，此时； ， 当时，求的最大值与最小值之差为9； （3）解：， 当时，则在时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， 当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 18．（1）解：当时，， ， 将和代入，得：， 解得， ； （2）解：由抛物线的对称性可得， ， ， ， 矩形的周长为， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：如图， 当时，点A，B，C，D的坐标分别为，，，， ∴矩形对角线的交点P的坐标为， ∵直线平分矩形的面积， ∴点P是和的中点， ∴， ∵， ∴线段平移后得到的线段是，线段的中点Q平移后的对应点是P， 由平移知，， ∴是的中位线， ∴， 即抛物线向右平移的距离是4个单位． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$