导数在函数中的应用 专题训练-2025届高三数学一轮复习

导数在函数中的应用专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数的最小值为，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知实数满足，若一定存在，使得成立，则的最小值为（） A．501 B．1012 C． D． 3．设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，且是的极小值点，则可以是（    ） A． B． C． D． 5．若 为上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，当时，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．有三个零点 C．有两个零点 D．函数为奇函数 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．在内共有3个极值点 D．设，则在上共有12个零点 11．记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若函数，在区间的最大值为8，无最小值，则的取值范围为 ． 13．已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，则的解析式可以为 （写出一个满足条件的解析式即可） 14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为 . 四、解答题 15．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数． (1)证明：为奇函数； (2)求的导函数的最小值； (3)若恰有三个零点，求的取值范围． 18．已知函数． (1)求函数的极值． (2)设，曲线在处的切线为l． （i）证明：除切点外，曲线恒在l的上方． （ii）若，且，证明：． 19．已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． (1)当时求的解析式； (2)当时，判断函数的单调性并说明理由； (3)若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《导数在函数中的应用专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B C A A AB ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果. 【详解】因为， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， ， 故选：B． 2．B 【分析】对式子进行变形得，构造函数，利用导数研究其单调性，结合图象可求得知的最大值. 【详解】已知.即. 令,则，当时，递增;时,递减. 又.结合图象知的最大值为. 即中的最大元素为2，故. 故选：B.    3．C 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 4．C 【分析】根据导数依次判断是不是的极小值点即可. 【详解】对于A，，则， 则，当时，， 所以，函数在上单调递增； 当时，， 所以，函数在上单调递增， 所以不是的极值点，故A错误； 对于B，，则， 则，当时，，， 所以，函数在上单调递增； 当时，，， 所以，函数在上单调递增， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，，则， 则，当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以是的极小值点，故C正确； 对于D，，则， 则，当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以是的极大值点，故D错误. 故选：C. 5．B 【分析】令，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调区间，在同一直角坐标系中作出与，根据题设，数形结合，即可求解. 【详解】因为二次函数的图象为拋物线，开口向上，顶点为，且最小值为， 记，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点，且， 则时总有，与在同一直角坐标系下的图象如图所示， 因为 为上的减函数，由图知， 故选：B. 6．C 【分析】先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象. 【详解】因为，定义域为， 则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 由，故排除A； ，当时，可得， 当时，为增函数，故排除D. 故选：C. 7．A 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 8．A 【分析】当时，不等式恒成立，设，，利用导数研究的零点，并由两个函数有相同零点结合韦达定理，经变形构造出函数，再利用导数求出最小值. 【详解】当时，原不等式化为恒成立， 令，，求导得， 由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 则函数在上有两个零点，记为， 显然当或时，，当时， 要使恒成立，则也是的两个零点， 于是，由，得，即，因此， 令，求导得，由，得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将原不等式恒成立转化为函数，在上有相同的零点是求解的关键. 9．AB 【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B、C，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案． 【详解】，令，解得或1，可得下表： x      1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 对于A，是的极小值点，故A正确； 对于BC，，， 又，， 显然函数在，，分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确，C错误； 对于D，令，，故D错误． 故选： 10．ACD 【分析】对于A，根据函数的奇偶性的定义和判定方法即可判断;对于B，求得，结合，利用导数研究其单调性，可以判断的单调性；对于C，利用导数求得函数在的单调性,结合偶函数可知其极值点的个数；对于D，根据的周期及单调性以及函数零点的判定方法即可求解. 【详解】对于A，函数，定义域为R，关于原点对称， 且，故函数是偶函数，A正确； 对于B，由函数， 可得， 令， 则在单调递增， 又， 所以存在使得， 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，故B错误; 对于C，由函数， 可得， 因为函数是偶函数，不妨设， 令，， 则在单调递增，又， 所以存在使得， 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 在处取得极小值， 又函数是偶函数，所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，故C正确; 对于D，由， 函数周期为，不妨设， 由C可知，存在，在单调递减，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 又 所以在上有3个零点，故在上共有12个零点，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法技巧点睛：对于利用导数研究函数零点与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解; 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围; 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 11．ABD 【分析】根据导数可得，为方程的两个根，进而可判断；，利用换元法设，可得，与相等，进而可判断；由可判断；求出，，根据不等式性质可判断. 【详解】选项A：，， 故由题意可知，为方程的两个根，故，故A正确； 选项B： ， 所以 ， 设，因为，则， 此时函数可化为， 由题意此函数的极值点分别为， 当时，函数单调递增，故，， 故，，故B正确； 选项C：由解得，，， 由题意函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而，故，，故C错误； 选项D：由A可知，，， 因为，故，即，故，故D正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：换元法：换元法是实现数学知识板块之间问题转化的常用方法，所谓换元法，就是通过把某个式子看成一个整体，用新的变量或新形式去替代它，从而使问题简化. 12． 【分析】利用导数求出函数的单调区间，依题意可得且，即可求出的值，从而求出的取值范围. 【详解】因为，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，， 因为在区间的最大值为8，无最小值， 所以且，解得， 则. 故答案为： 13．（答案不唯一） 【分析】举例，根据题意结合导数判断其单调性，进而分析判断 【详解】当时，，且， 当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 14．/ 【分析】先化简，再同构设函数，再结合函数的单调性得出所以，进而得出，根据单调性即可得出最大值. 【详解】由，得， 即，所以，， 令，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 由可得，所以， 令，所以， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再结结合函数单调性解题. 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据，求导，因为，求得，写出切线方程； （2）由（1）知，分， 两种情况，按照求单调区间的步骤求解. 【详解】（1）因为. 所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知， 当时，，在上单调递减， 当时，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：当时， 的单调减区间是，无单调增区间； 当时，的单调减区间是，单调增区间是. 16．(1)函数取得极大值，无极小值； (2) 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题. 【详解】（1）当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； （2）由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 17．(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性即可； （2）由题设可得，应用基本不等式求其最小值； （3）问题化为与在和上各有一个交点，利用导数研究的性质，数形结合确定参数范围. 【详解】（1）由题设，令， 所以， 又定义域为R，所以为奇函数，得证. （2）由题设， 当且仅当，即时取等号， 所以的导函数的最小值为. （3）令，用代换，则， 对于，有， 易知为奇函数，又恰有三个零点，即恰有三个零点，显然， 只需保证在和上各有一个零点即可， 令，则，即与在和上各有一个交点， 由，且，即为奇函数， 令，则，显然上，上， 综上，在R上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示， 又与都过原点，且原点处的切线斜率为， 结合图象知：当时，与在和上各有一个交点， 所以. 【点睛】难点点睛：导数类综合应用问题，综合性较强，计算量大，解答的难点在于第三问的零点问题，解答时将零点问题转化为函数图象的焦点问题，数形结合进行解决. 18．(1)极大值为，无极小值 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导得，求得的根，进而求得函数在根的左路左右两侧的单调性，从而可求极值； （2）（i）利用导数求得函数在处的切线方程，令，利用导数可证，可得结论； （3）利用（2）可得，令，利用导数求得的最小值即可证明结论. 【详解】（1）， ，令，可得． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，有极大值，并且极大值为， 函数无极小值． （2）（i）因为函数，所以． 设曲线在处的切线的斜率为k，则， 又，则曲线在处的切线方程为：，即． 设函数，则． 当时，单调递减；当时，单调递增． 则， 所以． 故除切点外，曲线恒在l的上方． （ii）分别令，且满足， 由（i）知， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 令，可得， 即，得证． 【点睛】关键点点睛：证明（3）问，关键在于利用（2）的结论得到，进而令，再结合导数求得函数的最小值，是一种常用思路与方法． 19．(1)； (2)递减区间为，递增区间为； (3). 【分析】（1）求出的导数，再导数的几何意义求出切线方程得. （2）利用导数的几何意义求出切线，进而求出，再利用导数探讨其单调性. （3）根据给定条件，求出与同号的值即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 则函数的图象在处的切线方程为：，即， 所以的解析式为. （2）由（1）知，，而， 曲线在点处的切线方程为， 则 ， 求导得， 令，求导得 ，令， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故 当时，，则，即恒成立， 函数在上单调递增，而， 则当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，总有成立，即与同号， 则当时，，当时，， 而，由（2）知：， ，若，即，则存在使得时，， 函数在上单调递减，，， 在上单调递减，，不合题意； 若，即或，则存在使得时，， 函数在上单调递增，，， 在上单调递减，，不合题意； 因此，即或， 当时，， ，与当时，矛盾； 当时，， 又，令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，当且仅当时取等号，于是，当且仅当时取等号， 因此当时，恒成立，即恒成立， 所以函数的所有点. 【点睛】方法点睛：导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$