-2025年中考数学一轮复习 专题05：分式与二次根式 学案

专题05：分式与二次根式-2025年中考数学一轮复习题 知识梳理 分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 跟踪训练 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•集美区期末）分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠2 B．x＜2 C．x＞2 D．x＝2 2．（2024秋•城关区期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•平谷区期末）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．x＝﹣2 B． C． D．x≠﹣2 4．（2024秋•黄浦区期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•正定县期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 7．（2024秋•顺义区期末）已知公式，其中R，R1，R2均不为零，且R1+R2≠0．若用含有R1，R2的式子表示R，则R为（　　） A．R1+R2 B． C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•平谷区期末）分式和的最简公分母是 　 　． 9．（2024秋•西山区校级期末）若2，则　 　． 10．（2024秋•长宁区校级期末）化简：　 　． 11．（2024秋•梁溪区校级期末）如果一个三角形的三条边长分别为，那么这个三角形的面积为 　 　． 12．（2024秋•金凤区校级期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 　 　． 三．解答题（共7小题） 13．（2024秋•顺义区期末）计算：． 14．（2024秋•盐田区期末）计算： （1）； （2）． 15．（2024秋•城关区校级期末）先化简，再求值，其中x＝﹣1． 16．（2024秋•门头沟区期末）老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： （1）在“接力游戏”中，从 　 　同学开始出现计算错误，错误的原因是 　 　； （2）请写出正确解答过程． 17．（2024秋•正定县期末）已知a，b，m都是实数，若a+b＝2，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）与 　 　是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 18．（2024秋•嘉定区期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 19．（2024秋•栾城区期末）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小．请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题： （1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22， （5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32… 由此可归纳出结论：（a+b）（a﹣b）＝　 　． （2）根据上面的结论计算： ∵， ∴． 类似的： ∵， ∴　 　； （3）类比应用　 　； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 专题05：分式与二次根式-2025年中考数学一轮复习题 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C B C A D D 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•集美区期末）分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠2 B．x＜2 C．x＞2 D．x＝2 【解答】解：若分式有意义， 则x﹣2≠0， 解得x≠2， 故选：A． 2．（2024秋•城关区期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．由于，所以不是最简二次根式，因此选项A不符合题意； B．由于2，所以不是最简二次根式，因此选项B不符合题意； C.是最简二次根式，因此选项C符合题意； D.a，所以不是最简二次根式，因此选项D不符合题意； 故选：C． 3．（2024秋•平谷区期末）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．x＝﹣2 B． C． D．x≠﹣2 【解答】解：根据题意得，0， ∴2x﹣3＝0且x+2≠0， ∴x， 故选：B． 4．（2024秋•黄浦区期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意． B、原式＝x+y，不符合题意． C、原式＝﹣m+1，符合题意． D、原式，不符合题意． 故选：C． 5．（2024秋•正定县期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，故此选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、3与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 【解答】解：因为2＜a＜3， 所以a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5， 故选：D． 7．（2024秋•顺义区期末）已知公式，其中R，R1，R2均不为零，且R1+R2≠0．若用含有R1，R2的式子表示R，则R为（　　） A．R1+R2 B． C． D． 【解答】解：∵， ∴R，故选项D符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•平谷区期末）分式和的最简公分母是 　a（a﹣1）2　． 【解答】解：的分母是：（a﹣1）2， 的分母是：a（a﹣1）， ∴最简公分母是：a（a﹣1）2， 故答案为：a（a﹣1）2． 9．（2024秋•西山区校级期末）若2，则　3　． 【解答】解：∵， ∴，即y﹣x＝2xy， ∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式 ＝3； 故答案为：3． 10．（2024秋•长宁区校级期末）化简：　　． 【解答】解：∵m＞n＞0， ∴m﹣n＞0，m+n＞0， ∴， 故答案为：． 11．（2024秋•梁溪区校级期末）如果一个三角形的三条边长分别为，那么这个三角形的面积为 　5.5　． 【解答】解：如下图：在△ABC中，设AB，BC，CA， 过A作AD⊥BC于点的，设BD＝x，AD＝h， 则：AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， 即：13﹣x2＝10﹣（x）2， 解得：x， ∴h， S△ABC5.5， 故答案为：5.5． 12．（2024秋•金凤区校级期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 　24　． 【解答】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为50﹣8﹣18＝24． 故答案为：24． 三．解答题（共7小题） 13．（2024秋•顺义区期末）计算：． 【解答】解： ． 14．（2024秋•盐田区期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝32 ； （2）原式＝32﹣（）2+3 ＝9﹣2+3 ＝10． 15．（2024秋•城关区校级期末）先化简，再求值，其中x＝﹣1． 【解答】解：原式＝（） • ， 当x＝﹣1时，原式2． 16．（2024秋•门头沟区期末）老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： （1）在“接力游戏”中，从 　甲　同学开始出现计算错误，错误的原因是 　分子分母没有同乘以（x+2）　； （2）请写出正确解答过程． 【解答】解：（1）在“接力游戏”中，从甲同学开始出现计算错误，错误的原因是分子分母没有同乘以（x+2）； 故答案为：甲，分子分母没有同乘以（x+2）； （2）原式 ． 17．（2024秋•正定县期末）已知a，b，m都是实数，若a+b＝2，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）与 　3　是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 【解答】解：（1）2﹣（5）3， 即5与3是关于1的“平衡数”； 故答案为：3； （2）∵（m）（1）＝﹣2， ∴m1， 解得m＝1， ∴m3134， ∴与不是关于1的“平衡数”． 18．（2024秋•嘉定区期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【解答】解：（1）A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵分式， ∴A+B ＝2， ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”k＝2； （2）①∵分式，， ∴C+D ， ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3， ∴3x2+2x﹣8+G＝3（x﹣2）（x+2）＝3x2﹣12， ∴G＝3x2﹣12﹣3x2﹣2x+8＝﹣2x﹣4， ②∵D， 又∵x为正整数，分式D的值为正整数t， ∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2， 解得x＝1或x＝0（舍去）， ∴x＝1； （3）∵P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2， ∴P+Q， ∴， ∴（3﹣m）x﹣2＝2x﹣6， ∴（1﹣m）x＝﹣4， ∵当1﹣m＝0，即m＝1时，关于x的方程无解， 当1﹣m≠0时，方程有增根x＝3， ∴3（1﹣m）＝﹣4， 解得m， ∴综上所述，m为1或． 19．（2024秋•栾城区期末）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小．请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题： （1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22， （5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32… 由此可归纳出结论：（a+b）（a﹣b）＝　a2﹣b2　． （2）根据上面的结论计算： ∵， ∴． 类似的： ∵， ∴　　； （3）类比应用　　； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【解答】解：（1）（3+2）（3﹣2）＝5×1＝5＝9﹣4＝32﹣22 （5+3）（5﹣3）＝8×2＝16＝25﹣9＝52﹣32…… 以此类推可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2． （2） ， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$