精品解析：河南省开封市部分学校2024-2025学年高二上学期12月五县联考(期中)数学试题

2024-2025学年五县联考第二次月考 高二年级数学试题卷 （命题人：董莉娟 审核人：陈二盼 考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四面体 的棱长为 ， 是的中点，在上，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降 后，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于 ，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（   ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ） A. -2，4，10，16 B. 16，10，4，-2 C. 2，5，8，11 D. 11，8，5，2 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，若，为上关于原点对称的两点，则（ ） A. 的标准方程为 B. C. D. 四边形的周长随的变化而变化 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点 ，有，则， ，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点， ，，，，则 ，，三点共线 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，则________． 13. 若直线与直线平行，则与之间的距离为___________. 14. 已知抛物线： 的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在 中，，，，记 的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点 且与圆相切的直线的方程. 16. 已知满足，且． （1）求，； （2）证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 17. 已知，是抛物线：上的两点． （1）求抛物线的方程； （2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于， 两点，求的最小值． 18. 如图，在四棱锥 中，平面平面 ，，，， ，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 若有穷数列满足 ，则称为数列． （1）判断下列数列是否为数列，并说明理由． ① ；② ． （2）已知数列中各项互不相等，令 ，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列． （3）已知数列是个连续正整数 的一个排列，若 ，求 的所有取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年五县联考第二次月考 高二年级数学试题卷 （命题人：董莉娟 审核人：陈二盼 考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将标准方程中的1变为0后可求双曲线的渐近线. 【详解】∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是， 整理得． 故选：C． 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的计算公式结合等差数列的性质可求. 【详解】. 故选：D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于 轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点得解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于 轴对称的点的坐标为. 故选：C 5. 已知正四面体的棱长为 ，是的中点，在上，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，再用数量积运算计算即可. 【详解】由正四面体，得， 则，，， 由是的中点，得， 由，得， 则， 所以 ． 故选：C． 6. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降 后，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 8. 已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（   ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似关系可得，再利用直线方程和椭圆方程后可求直线的斜率. 【详解】 因为离心率为，故可设，故， 故椭圆方程为：， 而，，故，因，故. 故直线与 轴不垂直也不重合， 故可设，，，则， 由可得， 因在椭圆内部，故 恒成立，且， 故，因，故， 此时，， 故在第一象限，符合条件，的斜率为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ） A. -2，4，10，16 B. 16，10，4，-2 C. 2，5，8，11 D. 11，8，5，2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可 【详解】设这四个数分别为，，，， 则解得或 所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2. 故选：AB 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，若，为上关于原点对称的两点，则（ ） A. 的标准方程为 B. C. D. 四边形的周长随的变化而变化 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出后求得椭圆方程，故可判断A的正误，利用椭圆定义结合基本不等式可求判断B的正误，利用斜率公式结合椭圆方程计算斜率的乘积后可判断C的正误，利用椭圆定义可判断D的正误. 【详解】由题意得，上顶点为，离心率为，故，， ， 故的标准方程为，显然A正确， 连接，，由对称性得， 结合椭圆的定义得， 故 ， 当且仅当，时取等，故B正确， 设，，而，故， 故，， 故，故C正确， 易知四边形的周长为，为定值，故D错误． 故选：ABC 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，则________． 【答案】60 【解析】 【分析】结合等差数列的性质可求，从而可求代数式的值. 【详解】∵在等差数列中，，∴，解得， ． 故答案为：60 13. 若直线与直线平行，则与之间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，先求出 的值，再利用平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足， 所以与之间的距离， 故答案为：. 14. 已知抛物线： 的焦点为，点是抛物线的准线与 轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】作垂直 轴于点，根据题意利用抛物线的定义与直角三角形的性质分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线， 作垂直 轴于点， 若，则， 不妨设，则， 由勾股定理可知，则， 所以，解得，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在 中，，，，记 的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【小问1详解】 （方法一）直线的方程为 ，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则， 解得 故圆的标准方程为 【小问2详解】 圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 16. 已知满足，且． （1）求，； （2）证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可求，； （2）将题设的递推关系整理为后可证明是等差数列，从而可求的通项公式. 【小问1详解】 依题意，，， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 17. 已知，是抛物线：上的两点． （1）求抛物线的方程； （2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于， 两点，求的最小值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程； （2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 ∵，是抛物线C：上的两点， ∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故抛物线C方程为； 【小问2详解】 由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为， 联立，得，必有 ， 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 18. 如图，在四棱锥 中，平面平面，，，， ，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在， 【解析】 【详解】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值. 试题解析：（1）因为平面平面，， 所以平面，所以， 又因为，所以平面； （2）取的中点，连结，， 因为，所以. 又因为平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以. 如图建立空间直角坐标系，由题意得， . 设平面的法向量为，则 即 令，则. 所以. 又，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设是棱上一点，则存在使得. 因此点. 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得. 所以在棱上存在点使得平面，此时. 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 19. 若有穷数列满足 ，则称为数列． （1）判断下列数列是否为数列，并说明理由． ① ；② ． （2）已知数列中各项互不相等，令 ，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列． （3）已知数列是个连续正整数 的一个排列，若 ，求 的所有取值． 【答案】（1） ①因为 ，所以数列 不是数列； ②因为 ，所以 是数列． （2） 必要性： 若数列是等差数列，设其公差为 ，则， 所以数列是常数列． 充分性： 若数列是常数列， 则 ，即 ， 所以或． 因为数列的各项互不相等，所以， 所以数列是等差数列． 综上可知，数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列 （3） 或 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，即可求解； （2）根据充分必要条件的证明方法，结合等差数列的定义及数列的定义，即可求解； （3）根据数列的定义，可得 不合题意，和 符合题意，再证明 时，不存在 满足题意，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当 时，因为 ，所以 ，不符合题意； 当时，数列为 ，此时 ，符合题意； 当 时，数列为 ，此时 ，符合题意． 下面证当 时，不存在 满足题意． 令 ， 则，且 ， 所以有以下三种可能： ① ② ③ 当时，因为 ， 由（2）知：，，…，是公差为1（或）的等差数列， 当公差为1时，由 得 或 ， 所以 或，与已知矛盾 当公差为时，同理得出与已知矛盾． 所以当时，不存在 满足题意． 其他情况同理可得，不存在 满足题意． 综上可知， 的所有取值为 或． 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $