河南省开封市河南大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

一、单选题 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】C 【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，所求切线的方程为.综上所述，所求切线方程为或. 7.【答案】D 【详解】解：以为一组基底， 则，， ，所以.故选：D 8.答案 C 二、多选题 9.【答案】ABC 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 对于B，离心率为，故B正确； 对于CD，因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误． 10.【答案】ABD 【详解】对于A，由与，两式作差可得，即， ∴公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为， 圆的圆心， 由圆的性质可得的中垂线为，可得的中垂线方程为， 即，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离，半径为， 则，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径， 则到直线的距离的最大值为，故D正确． 11.【答案】BD 【详解】由题意可得， 又平面， 所以平面， 在中，，边上的高为， 所以，故A错误； 对于B，在中，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设点到平面的距离为， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误； 由B选项知，，则，所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 又因为平面，则，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12.【答案】1 13.答案： 14.【答案】 【详解】因为,所以,所以椭圆方程为, 设,椭圆的上、下顶点, 所以且，所以，所以 即得.故答案为：. 四、解答题 15．【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理得， 因为，所以， 即，即． 因为，所以．因为，所以． （2）． 因为，所以①． 因为，所以②． 联立①②可得，解得（负根舍去）， 故的面积为． 16. 【答案】（1） （2）或． 17．【详解】（1）菱形中，则为等边三角形， 又O是AC的中点，则， 又平面ABC⊥平面，平面平面，平面， 平面，又面，则面面. （2）由（1）知平面，又，O是AC的中点，则， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，设，则，，， 所以，，， 设平面法向量， 则， 令，，得， 设平面法向量，则， 令，，可得， 所以，由，解得， 故直线OB与平面所成角的正弦值 18.【详解】（1）由题意得解得，故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得，则. ，解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 19．【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为．过点的圆O的切线方程为或．    （2）①设点，则， ， ，，， 又，化简得， P为圆O上任意一点，，又，，解得，常数． ②由①知，，，点，圆， 设，M是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解，化简得有解， 即直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， 化简得：，解得．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$高中部 校训：文明 求真 2024-2025 学 年 上 学 期 期 中 考 试 数学 试 题 命题人：李水勤 审题人：杜进场 分 值：150 分 时 长：120 分钟 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1．过 (2, ), (5, 5)A t B  两点的直线的倾斜角是135，则 t （ ） A．2 B． 2 C．4 D． 4 2．已知空间向量  6, ,a x y ，  2,1, 3b    .若 //a b r r ，则 x y （ ） A．12 B．10 C． 10 D． 12 3. 若椭圆 2 2 1 4 x y m   的焦距为 2，则实数m的值为（ ） A．3 B．3 或 5 C．5 或 8 D．8 4．已知点  2,1P 是圆 2 2 2 4 3 0x y x k     外的一点，则 k的取值范围是（ ） A．  3, B．  ,3 C． 2 ,3 2        D． 1 ,3 2       5．椭圆M 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过点 1F 且与长轴垂直的直线交椭圆M 于A， B两 点．若 2ABF△ 为等边三角形，则椭圆M 的离心率为（ ）． A． 3 3 B． 1 2 C． 3 2 D． 2 2 6． 设直线 2 0x ay   与圆 2 2: ( 2) 16C x y   相交于 ,A B两点，且 ABCV 的面积为 8，则 a （ ） A． 2 B． 1 C．1 D． 2 7．如图，在三棱锥 P ABC 中， PAC 是边长为 3 的正三角形，M 是 AB上一点， 1 2 AM MB   ， D为 BC的中点， N为 PD上一点且 2 3 PN PD   ，则 MN （ ） A．5 B．3 C． 5 D． 3 8. 已知 ），（ 21M ，N 是曲线 092622  yxyxC： 上的 动点，P是直线 022  yx 上的一个动点，则 PNPM  的最 小值是（ ） A. 117  B. 17 C. 153  D. 53 二、多选题（每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分） 9．设 1 2,F F 是椭圆 2 2 1 16 12 x y   的两个焦点， P是椭圆上一点，且 1 2 2PF PF  ．则下列说 法中正确的是（ ） A． 1 25, 3PF PF  B．离心率为 1 2 C． 1 2PFF 的面积为 6 D． 1 2PFF 的面积为 12 10．圆 2 21 : 2 0x y xO    和圆 2 2 2 : 2 8 0O x y x y    的交点为 ,A B，则有（ ） A．公共弦 AB所在直线方程为 2 0x y  B．线段 AB中垂线方程为 2 2 0x y   C．公共弦 AB的长为 2 5 5 D． P为圆 1O 上一动点，则 P到直线 AB距离的最大值为 5 1 5  11．在边长为 2 的正方体 ABCD A B C D    中，M 为 BC边的中点，下列结论正确的有（ ） 2 A． AM 与D B 所成角的余弦值为 10 10 B．过A，M ，D¢三点的平面截正方体 ABCD A B C D    的截面面积为 3 C．当 P在线段 A C 上运动时， PB PM  的最小值为 3 D．若Q为正方体表面 BCC B 上的一个动点，E，F 分别为 AC的三等分点，则 QE QF 的最小值为 2 2 三、填空题：每小题 5 分，共 15 分. 12．已知直线  1 : 1 2 0l x m y m     与直线 2 : 2 8 0l mx y   平行，则m  . 13.在棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD  中， E为线段 11BA 的中点， F 为线段 AB的中 点，则直线 FC到平面 1AEC 的距离是 . 14.已知椭圆 2 2 2 2 1 y x a b   （ 0a b  ）的长轴长为 4，离心率为 3 2 .若A，B分别是椭圆的上、 下顶点， 1F ， 2F 分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上一点，且 1 2 PA PB     ，则 1 2PFF 的 面积为 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在 ABCV 中，角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c，且 sin cos sin cos 3 cosa A B b A A a C  ． (1)求角C的大小； (2)若 3a  ，且 1AB AC    ，求 ABCV 的面积． 16. 已知      2,1 , 0,5 , 1, 2A B C  ，圆M 是 ABC 的外接圆． （1）求圆M 的方程； （2）若直线 l过点  1, 5 ，且被圆M 截得的弦长为 6，求直线 l的方程． 17．如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，平面 ABC⊥平面 1 1ACC A ，侧面 1 1ACC A 为菱形， 2AC  ， 1 60A AC  ，底面 ABC为等腰三角形， AB BC ，O是 AC的中点． (1)证明：平面 1 1OA B 平面 ABC； (2)若平面 1AOB 与平面 1 1OBC 的夹角余弦值为 10 4 ， 求直线 OB 与平面 1 1OBC 所成角的正弦值． 18.如图，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     过点  3,1P ，焦距为 4 2 ，斜率为 13 的直线 l与 椭圆C相交于异于点 P的 ,M N两点，且直线 ,PM PN 均不与 x轴垂直. (1)求椭圆C的方程； (2)若 10MN  ，求MN的方程； (3)记直线 PM 的斜率为 1k ，直线 PN的斜率为 2k ， 证明: 1 2k k 为定值. 19．已知圆 O 的方程为 2 2 4x y  ． (1)求过点  2, 1 的圆O的切线方程； (2)已知两个定点  , 2A a ，  ,1B m ，其中 Ra ， 0m  ．P为圆O上任意一点， PA n PB  （ n 为常数）， ①求常数 n的值； ②过点  ,E a t 作直线 l与圆 2 2:C x y m  交于M 、N两点，若M 点恰好是线段 NE的中点， 求实数 t的取值范围．