精品解析：福建省漳州市第三中学2024-2025学年高二上学期12月阶段考试数学试卷

漳州三中2024—2025学年12月阶段考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 70 3. 已知两条直线，平行，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 4. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 在数列中，，则（ ） A. 260 B. 860 C. 1011 D. 2022 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C. 当时，直线与直线垂直 D. 若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，，若数列的前50项和为1275，则（ ） A. 是常数列 B. 是等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过双曲线的左顶点，且与直线垂直的直线方程为______. 13. 已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是______. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为y＝－2x＋3. （1）若直线与平行，且过点，求直线的方程； （2）若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知圆经过点，，且直线平分圆． （1）求圆的方程； （2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，，若，求的值． 18. 已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 19. 如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”.若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”. （1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，其前项和为，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2024—2025学年12月阶段考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，， 所以直线的倾斜角. 故选：D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则，解得. 故选：B. 3. 已知两条直线，平行，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的判定列方程求参数，注意验证即可. 【详解】由题：两条直线平行， 则，解得：或2， 当时，直线平行， 当时，直线重合（舍）， 所以. 故选：A 4. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 5. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】把圆化为标准方程，找到圆心和半径，利用圆的弦长公式即可求解的值． 【详解】解：由圆 即，则， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由弦长公式可得，解得， 故选：C． 6. 在数列中，，则（ ） A. 260 B. 860 C. 1011 D. 2022 【答案】C 【解析】 【分析】由变形得出其周期为6，即可结合周期及对数运算性质化简求值可得答案. 【详解】，两式相除得， 故数列是以6为周期的周期数列， 又， 故 ， 故选：C. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C. 当时，直线与直线垂直 D. 若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的性质以及直线间的位置关系判断每一个选项即可. 【详解】由直线方程，若，即直线过定点，所以选项A正确； 时，，令则，令则，显然截距不相等，故选项错误； 时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为，所以直线与直线垂直，故选项正确； 若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，所以选项D错误. 故选： 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】直线与抛物线联立方程组，求出点，的坐标，由，求得，进而求得，即可判断ABC，求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【分析】如图，，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立得，解得：，． 由，得，故A错误； 由于，则，故C错误； 同理，故B正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BD． 11. 已知数列满足，，若数列的前50项和为1275，则（ ） A. 是常数列 B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分析可得即可判断A，根据及等差数列的定义判断B，根据并项求和结合等差数列求和运算可得，判断C，由赋值结合求得，再由赋值求得判断D. 【详解】，则， 又，， 对A：， 故，即是常数列，正确； 对B：，则， 故是以公差为16的等差数列，正确； 对C：可得： ，解得，C错误； 对D：由，令，则，解得， 由，令，则，解得，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过双曲线的左顶点，且与直线垂直的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线左顶点坐标、所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】由双曲线方程知，其左顶点为， 根据直线垂直关系知，所求直线的斜率为2， 所以所求直线为，则. 故答案为：. 13. 已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则，则， 若，则或， 当时，则，则或； 当时，则，则； 综上所述：m所有可能的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为y＝－2x＋3. （1）若直线与平行，且过点，求直线的方程； （2）若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设的方程为，代入点得出所求方程； （2）设的方程为，求出在坐标轴上的交点，进而由面积公式得出. 【小问1详解】 由直线与平行，可设的方程为， 将代入，得， 即得，所以直线的方程为 【小问2详解】 由直线与垂直，可设的方程为， 令，得，令，得， 故三角形面积， 所以，解得，所以直线的方程是或 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据等差数列以及等比数列定义结合数列的单调性求得和，即可求数列与数列的通项公式； （2）利用等差、等比前项和公式并分组求和即可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，得， 即， 即，解得或. 当时，，不满足单调递增， 当时，，满足单调递增， 所以. 又，所以， 所以， 即数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 利用等比、等差数列前项和公式可得， 数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以数列的前项和 即. 17. 已知圆经过点，，且直线平分圆． （1）求圆的方程； （2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，，若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知求出的中垂线方程，再由圆经过、两点，可得圆心在线段的中垂线上．联立两直线方程求得圆心坐标，则圆的方程可求； （2）令，则直线方程可写成：．联立直线方程与圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量的数量积运算求解的值，可得值． 【详解】（1）线段的中点，， 故线段的中垂线方程为， 即． 圆经过、两点， 故圆心在线段的中垂线上． 又直线平分圆， 直线经过圆心． 联立，解得圆心的坐标为，而圆的半径， 圆的方程为：． （2）设直线，点， 联立，得 ，得 则， 解得（舍），或 所以 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，同时考查了平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，是中档题． 18. 已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】（1） （2）直线恒过轴上的一个定点 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程； （2）设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标. 【小问1详解】 由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以直线恒过轴上的定点. 19. 如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”.若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”. （1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，其前项和为，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）或 （3）不能，理由如下： 记中所有非负项之和为，负项之和为， 因为数列为“阶可控摇摆数列”，则，得， 故，所以， 若存在，使得，即， 则，且， 假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为， 则， 因为，所以， 所以； 又，则， 所以； 即与不能同时成立. 故数列不为“阶可控摇摆数列”. 【解析】 【分析】（1）根据“归化数列”定义以及等比数列前项和公式计算可得； （2）根据“归化数列”定义以及等差数列前项和公式解方程即可求出通项公式； （3）记中所有非负项之和为，负项之和为，若数列为“阶可控摇摆数列”，可得，再由前项和的值得出矛盾即可得出结论. 【小问1详解】 设成公比为的等比数列，显然， 则有，得，解得， 由，得， 解得， 所以数列或为所求6阶“归化数列”； 【小问2详解】 设等差数列的公差为，由， 所以，所以，即， 当时，与归化数列的条件相矛盾， 当时，则， 所以，即， 所以， 当时，由， 所以，即， 所以， 故或； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合“归化数列”和“阶可控摇摆数列”的定义，利用已有的数列知识进行求解即可得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $