北京市北京汇文中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期 期中考试 高三年级 数学学科 本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长120分钟.请考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 64 D. 4. 若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数为75分 C. 满意度计分的75%分位数是85分 D. 满意度计分的平均分是76 7. 已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ） A. 4h B. 6h C. 8h D. 12h 9. 直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 数列满足，，给出下列四个结论： ①不存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，25分. 11. 抛物线的焦点坐标为_____________. 12. 函数在一个周期内的部分取值如下表： 1 则的最小正周期为____________；______________. 13. 已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是______________. 14. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）______块． 15. 设函数， （1）若，函数的最小值为____________； （2）若函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 三、解答题共6小题，共85分. 16. 已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. （1）求函数的对称中心坐标； （2）求函数在上的单调递减区间. 17. 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值. 18. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据： 康复时间 只服用药物A 只服用药物B 7天内康复 360人 160人 8至14天康复 228人 200人 14天内未康复 12人 40人 假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率； （2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望： （3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）若恒成立，求的取值范围． 20. 已知椭圆的左焦点为，点，三等分椭圆的短轴，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不垂直的直线与椭圆交于点，，椭圆上是否存在点，使得恒有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. （1）若，，求； （2）若，求证：数列中有无穷多项为0； （3）若，求数列的通项公式. 北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期 期中考试 高三年级 数学学科 本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长120分钟.请考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. 0 ②. 三、解答题共6小题，共85分. 【16题答案】 【答案】（1） （2）， 【17题答案】 【答案】（1） 平面，平面，故； 为等边三角形，为中点，故； ，且平面，故平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 数学期望为1 （3）2 【19题答案】 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值． （3）． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 假设中仅有有限项为0，不妨设，且当时，均不为0，则， 取，则存在，使得，与矛盾. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $