第五讲抛物线的概念与性质-重点强化提升讲义-2025届高三数学一轮复习

第五讲抛物线的概念与性质 ( 知识 归纳 ) 一、抛物线的定义 1. 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线. 2. 这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线. 二、抛物线的标准方程及其简单几何性质 Comment by un Y: 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 坐标原点 离心率 e=1 参数p的 几何意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越大 三、抛物线的标准方程 1. 求抛物线的标准方程的步骤 (1)定位：根据题中条件确定抛物线的焦点位置并设出方程. (2)定量：求出方程中p的值，从而求出方程. 2. 求抛物线标准方程的两种常用方法 (1)定义法：先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，若符合，再根据定义求出方程. (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数的值. 四、抛物线的几何性质 1. 抛物线的几何性质与抛物线的标准方程密切相关，通过先定性(开口方向)，再定量(焦准距p)建立它们的联系. 2. 抛物线与双曲线的一支都是开口的不封闭的光滑曲线，但它们有本质的区别，双曲线有渐近线，而抛物线没有. 作图时通常用有无渐近线来区分它们. 3. 与椭圆、双曲线比较，抛物线性质的特点 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，显然它可以无限延伸，但没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心. (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，还有一条准线. (4)抛物线的离心率是确定的(e=1). 4. 抛物线的通径 (1)抛物线的通径：过焦点且与对称轴垂直的直线与抛物线交于两点M1，M2，线段M1M2叫作抛物线的通径，将x=代入y2=2px(p>0)，得y=±p，故抛物线y2=2px (p>0)的通径长为2p. (2) 通径的几何意义：通径长为2p，p越大，通径越长，抛物线的开口越大；反之，p越小，通径越短，抛物线的开口越小. 五、抛物线的焦点弦问题 有关抛物线焦点弦的结论 如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，则有： (1)|AB|=x1+x2+p=； (2)x1x2=，y1y2=-p2，·=-p2； (3)|AF|=，|BF|=； (4) +=； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)以AB为直径的圆与准线相切； (7)A，O，B'共线，A'，O，B共线； (8)∠A'FB'=90°； (9)S△AOB=； (10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上. ( 考点讲解 ) 题型一：抛物线概念 1．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：B 2．（2024·广西·三模）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 3．（2024·江西·一模）已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ． 【答案】2 【分析】求出准线方程，由抛物线定义列方程求解即可. 【详解】抛物线准线方程为，则点P到C的焦点距离为，所以． 故答案为：2. 4．（2024·河北唐山·模拟预测）已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 【答案】3 【分析】结合图形，由抛物线定义可将M到与的距离之和转化为，后由点到直线距离公式可得答案. 【详解】由题，抛物线焦点为，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C. 过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为. 由抛物线定义知，又，则. 当且仅当三点共线时，最短时， 而为F到直线距离， 所以. 所以点M到与的距离之和的最小值为3. 故答案为：3. 题型二：抛物线中距离问题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径， 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 . 【答案】2 【分析】设，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距离即可． 【详解】设，则点到直线的距离为 , 当，即当时， 抛物线 上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为. 故答案为：2． 3．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得点的坐标，再求得关于直线的对称点，借助三点共线求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线，设， 则，解得，显然，不妨设， 关于直线的对称点为，则 因此，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 4．（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案. 【详解】设， 则， 化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆， 抛物线的焦点，准线方程为， 则 ， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 题型三：抛物线的焦点或准线及焦半径公式 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知点到抛物线的准线的距离为3，则的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得的值，从而得到焦点坐标. 【详解】抛物线的准线方程为， 由题意可知，解得， 所以的焦点坐标为， 故选：B． 2．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为1 C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2 D．存在点，使得为等边三角形 【答案】B 【分析】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A；求解三角形的面积判断B；利用．判断C；判断的位置，推出三角形的形状，判断D． 【详解】由题意抛物线过点，可得，所以抛物线方程为，所以准线方程为，A错误； 可以计算，B正确； 当时，点到的焦点的距离为2，C错误； 为等边三角形，可知的横坐标为：，当时，纵坐标为：， 则，则为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点不存在，所以D错误． 故选：B． 3．（多选）（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】AC 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则 ． 【答案】10 【分析】由题意作出大致图像，得到为中点，结合成等差数列，得到，由共线向量求出点代入抛物线方程求得点坐标，求出. 【详解】由题意可知：，设，准线方程 如图： ∴点为中点，即， 又∵成等差数列，∴， ∴，即， ∴，又∵在抛物线上，∴，∴， ∴. 故答案为：10. 题型四：抛物线的标准方程 1．（2024·上海徐汇·一模）下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程及焦点坐标即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为：，焦点坐标为， 由题意得，所以， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：. 2．（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为． 故选：C． 3．（2024·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 4．（2024·四川成都·模拟预测）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为 【答案】8 【分析】分别求出抛物线的焦点和椭圆的右顶点坐标，得，即可求解． 【详解】因为抛物线（）的焦点为， 且椭圆的右顶点为， 由题意可得：，解得． 故答案为：8. 题型五：求抛物线的轨迹方程 1．（多选）（2024·江西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的标准方程为 B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为 C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7 【答案】BCD 【分析】根据三角形的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A．，抛物线的标准方程为，故A错误； B．抛物线的焦点为， ，，则，， 代入，得，整理得， 所以点的轨迹方程为，B正确； C．由于，所以三点共线，设直线的倾斜角为， ，，解得， 同理可得，依题意，即， ，所以为锐角，所以，C正确； D．设直线的方程为， 由消去并化简得， 设，则 ， ，则， ， 所以当时，，， 满足. 所以D正确．    故选：BCD 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 4．（2024·全国·一模）已知点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线与线段的垂直平分线交于点. （Ⅰ）求点的轨迹的方程； （Ⅱ）若直线：与曲线交于两点，点是曲线上一点，且点的横坐标，若，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【详解】分析：(Ⅰ)由题意可知，，结合抛物线的定义可知轨迹的方程是. (Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程可得，直线与抛物线相交可得，设，由题意可得，，则，据此可得，故，结合韦达定理可得，结合纵坐标的范围可得实数的取值范围是. 详解：(Ⅰ)由题意可知，， 所以点的轨迹方程是以点为焦点的抛物线， 其轨迹的方程是. (Ⅱ)与联立得， ， 因为直线与曲线交于两点， 所以，解得， 设，则， 由，得， 设，， 则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 因为， 所以， 即， 所以， 当时，， 当时，, 所以实数的取值范围是. 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 题型六：根据抛物线的方程求参数 1．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由的外接圆与抛物线C的准线相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再由题意，列出方程求解得p的值，然后利用正弦定理可求得结果 【详解】因为的外接圆与抛物线C的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为，所以圆的半径为， 又因为圆心在OF的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为， 则圆心到准线的距离为，解得， 在中，由正弦定理得，其中R是外接圆半径， 即，所以, 故选：D    2．（2024·福建福州·模拟预测）已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果. 【详解】将点代入，可得， 故的焦点到其准线的距离为1． 故选：B. 3．（2024·河南郑州·二模）抛物线的准线方程为，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可. 【详解】依题可知， 则， 故答案为：. 4．（2024·河南·模拟预测）已知圆，抛物线.若对于上任意一点，使得对圆上的任意两点A，B，总有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得为圆的切线时最大，设直线分别与圆M切于点，设,满足，求解的最小值即可. 【详解】设直线分别与圆M切于点，设，因为对于上任意一点， 使得对圆上的任意两点A，B，总有，所以,即， 所以，即, 设，则， 又， 设，对称轴，， 当，即时，在时当时，此时满足题意， 当时，若时在时不合题意， 所，即，所以时， 在时当时， 即,化简得，解得， 所以， 综上：， 故答案为：.    【点睛】本题关键分析出为圆的切线时最大，设直线分别与圆M切于点，设,满足，转化为求的最值. 题型七：抛物线简单几何性质 1．（2024·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案. 【详解】由题意知,设，则, 所以当时,，又因为圆的半径为1，所以. 故选：B.    2．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，设，显然当时，，当时，， 要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．    设，，，则，即， 解得． ，故，即， ，故， 当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为． 故选：B. 3．（多选）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（    ） A．若，则曲线的图象为一条抛物线 B．若，则曲线的方程为 C．当时，对于任意的，，都有 D．当时，对于任意的，，都有 【答案】AC 【分析】设曲线上的点，由题意求出的方程，分、化简后逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，设曲线上的点，由题意可得， 化简得，当时，为抛物线， 当时，，因为，所以，而，显然不成立， 综上，若，则曲线的图象为一条抛物线，故A错误； 对于B，若，设曲线上的点， 由题意可得， 化简得，当时，为抛物线， 当时，为一条射线，故B错误； 对于C，若，设曲线上的点， 由题意可得， 化简得， 因为， 当时，， 为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，， 当时，， 为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，， 且与关于对称,其图象大致如下， 因为，两点的纵坐标相同， 根据对称性可得，故C正确； 对于D，若，设曲线上的点， 由题意可得， 因为， 所以， 又，所以无解，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线上的点，求出点的轨迹方程，数形结合求出答案. 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ． 【答案】 【分析】令圆为且，讨论、，并依此为前提讨论、、，数形结合判断是否任意圆与抛物线交点个数不超过3个，即可得答案. 【详解】令圆为且，抛物线， 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有1个公共点，    若，它们没有公共点，    若，它们恒有2个公共点，    所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设； 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有3个公共点，    若，它们恒有2个公共点，    若，它们可能0个或2个或4个公共点，    所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：讨论，，结合的取值、数形结合判断圆与抛物线交点个数. 题型八：抛物线的范围及对称性 1．（2024·全国·模拟预测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得点的坐标，进而可得抛物线方程，根据直线与抛物线方程联立可得交点，进而根据焦半径公式以及对称性即可求解. 【详解】由正方形ABCD的面积为64，得正方形ABCD的边长为8， 根据对称性可得，，，， 将代入，得，所以抛物线的方程为． 故， 故，，设，直线的方程为， 联立，得，解得或（舍）， 故，． 由对称性可知，． 故选:B． 2．（多选）（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 3．（2024·河南·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程求出交点坐标，进而求出点的坐标，再借助抛物线定义求出长. 【详解】抛物线的焦点为，由，解得或， 即点或，当点时，直线，即， 由，得，因此， 显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，， 所以. 故答案为： 4．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可知且轴，设设，，结合抛物线方程分析求解. 【详解】由题意可知，且轴， 设，，则，可知， 所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为． 故答案为：. ( 巩固提升 ) 1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的准线方程直接得出结果. 【详解】抛物线C：的标准方程为， 所以其准线方程为. 故选：C 2．（2024·贵州毕节·三模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入抛物线方程求出，再将抛物线方程化为标准方程，即可得出准线方程. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为， 所以抛物线C的准线方程为. 故选：D. 3．（2024·四川成都·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 5．（2024·贵州贵阳·二模）抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】借助抛物线定义计算即可得. 【详解】抛物线的准线为， 由抛物线定义可得，故， 则，即到轴的距离为. 故选：B. 6．（2024·新疆·二模）已知抛物线，点在抛物线上，则（    ） A．1或2 B．2 C．2或 D． 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程，即可求解. 【详解】因为点在抛物线上，所以， 整理得，解得或． 故选：C 7．（2024·四川·一模）设抛物线：（）的焦点为，点（）是上一点．已知以为圆心的圆与轴相切，与线段相交于点，，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可求，故可求，故可得准线方程. 【详解】由已知，点在抛物线上，则，即①，其中, 如图所示，过作直线的垂线，为垂足，且与轴交于， 易知，，故，得， 抛物线的准线方程为：． 故选：B． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆与抛物线，椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的准线时椭圆的左焦点可求出，由椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，可知，化简可得关于方程，求解即可. 【详解】根据题意知，抛物线的准线经过椭圆的左焦点可得， 椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，所以， 由， 化简整理可得， 解之可得，或(舍)， 所以可得. 故选：A 9．（多选）（2024·海南海口·模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的标准方程确定的值，得抛物线方程与焦点坐标，再由抛物线定义求得的坐标，确定直线的斜率与的面积，逐项判断即可得答案. 【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；    由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得， 所以，故C不正确； 则的面积，故D正确. 故选：ABD. 10．（2024·河南新乡·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则 【答案】ABD 【分析】设，根据弦长公式即可判断A；过点分别作准线的垂线，垂足分别为，设，根据抛物线的定义求出，进而可求出，即可判断B；设，联立方程，利用韦达定理即可判断C；由，得，根据点在轴的上方，得，再结合抛物线的定义即可判断D. 【详解】设， 对于A，若，则直线， 联立，得，则， 所以，故A正确； 对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 不妨设，则， 则，故B正确； 对于C，易得直线的斜率不为零，设， 联立，得，则为定值， 所以点的纵坐标之积与无关，故C错误； 对于D，由，得， 即，即， 由， 得，， 因为点在轴的上方，所以， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（2024·全国·二模）若抛物线上一点与焦点的距离等于，则该点与焦点所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及三角形性质可得直线的倾斜角，进而可得斜率. 【详解】 设抛物线的焦点为，为抛物线上与点的距离等于的点， 过作准线的垂线，垂足为，过作，为垂足， 所以，， 所以，则， 设直线的倾斜角为，则或， 故所求直线的斜率为， 故答案为：. 12．（2024·全国·二模）已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ． 【答案】 【分析】先求抛物线焦点坐标，根据三角形重心坐标公式可得，由抛物线焦半径，结合三角形重心的性质，可求三边中线长之和. 【详解】如图：    依题意知，设，， 因为为的重心，所以，即． 由抛物线的定义可知，所以边的中线长为， 同理可得边和边的中线长分别为，. 所以三边中线长之和为． 故答案为： 13．（2024·山西长治·模拟预测）已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ . 【答案】 【分析】根据题意可知，，根据题意，列出方程求解即可. 【详解】如图所示，因为抛物线所以， 因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以， 所以， 又因为双曲线的一条渐近线， 所以， 因为，所以 即，化简得， 又因为，联立解得 故答案为：. 14．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ． 【答案】50 【分析】通过抛物线的焦点坐标，直线的斜率和直线的垂直关系，求出对角线；再利用两对角线垂直的四边形面积公式，即可求得. 【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为． 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得，所以． 设，则，， 故． 因为，所以， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得．所以． 设，则，， 故． 所以四边形的面积为． 故答案为：50. 15．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直可求的坐标，利用对称可得抛物线的方程； （2）先求出的坐标，利用数量积得的表达式，结合二次函数可得最值. 【详解】（1）∵，点N与点F不重合，∴，∴． ∵点F关于点M的对称点为P， ∴，（中点坐标公式）． ∴，得， ∴抛物线E的标准方程为． （2）由（1）知， 易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入，整理得，， ， 设，则． ∵， ∴， 当时，取得最大值，为． 16．（2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，根据斜率公式代入上式，进行化简即可得曲线方程； （2）方法一、二，设出直线的方程为，与曲线方程联立，由韦达定理可得，结合向量关系求解；方法三，由题，的中点即的中点，由点差法可得弦中点坐标与弦所在直线的斜率的关系，列式运算得解. 【详解】（1）设点，由题意知. 直线的斜率分别， 所以， 化简得 点的轨迹方程为. （2）方法一，设， 由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得， ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法二：设，由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得. ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法三：设，由题意知直线的方程为，所以. 因为，所以线段的中点为， ，又因为，所以点也是的中点， 联立方程组， ①-②得，即， 所以， 又因为，所以， 解得. ( 走进高考 ) 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 3．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 4．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 5．（多选）（2024·广东江苏·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 6．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    7．（多选）2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 8．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 11．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【详解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲抛物线的概念与性质 ( 知识 归纳 ) 一、抛物线的定义 1. 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线. 2. 这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线. 二、抛物线的标准方程及其简单几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 坐标原点 离心率 e=1 参数p的 几何意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越大 三、抛物线的标准方程 1. 求抛物线的标准方程的步骤 (1)定位：根据题中条件确定抛物线的焦点位置并设出方程. (2)定量：求出方程中p的值，从而求出方程. 2. 求抛物线标准方程的两种常用方法 (1)定义法：先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，若符合，再根据定义求出方程. (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数的值. 四、抛物线的几何性质 1. 抛物线的几何性质与抛物线的标准方程密切相关，通过先定性(开口方向)，再定量(焦准距p)建立它们的联系. 2. 抛物线与双曲线的一支都是开口的不封闭的光滑曲线，但它们有本质的区别，双曲线有渐近线，而抛物线没有. 作图时通常用有无渐近线来区分它们. 3. 与椭圆、双曲线比较，抛物线性质的特点 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，显然它可以无限延伸，但没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心. (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，还有一条准线. (4)抛物线的离心率是确定的(e=1). 4. 抛物线的通径 (1)抛物线的通径：过焦点且与对称轴垂直的直线与抛物线交于两点M1，M2，线段M1M2叫作抛物线的通径，将x=代入y2=2px(p>0)，得y=±p，故抛物线y2=2px (p>0)的通径长为2p. (2) 通径的几何意义：通径长为2p，p越大，通径越长，抛物线的开口越大；反之，p越小，通径越短，抛物线的开口越小. 五、抛物线的焦点弦问题 有关抛物线焦点弦的结论 如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，则有： (1)|AB|=x1+x2+p=； (2)x1x2=，y1y2=-p2，·=-p2； (3)|AF|=，|BF|=； (4) +=； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)以AB为直径的圆与准线相切； (7)A，O，B'共线，A'，O，B共线； (8)∠A'FB'=90°； (9)S△AOB=； (10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上. ( 考点讲解 ) 题型一：抛物线概念 1．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·三模）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 3．（2024·江西·一模）已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ． 4．（2024·河北唐山·模拟预测）已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 题型二：抛物线中距离问题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 2．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 . 3．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 4．（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 . 题型三：抛物线的焦点或准线及焦半径公式 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知点到抛物线的准线的距离为3，则的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为1 C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2 D．存在点，使得为等边三角形 3．（多选）（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于 题型四：抛物线的标准方程 1．（2024·上海徐汇·一模）下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为 题型五：求抛物线的轨迹方程 1．（多选）（2024·江西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的标准方程为 B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为 C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 4．（2024·全国·一模）已知点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线与线段的垂直平分线交于点. （Ⅰ）求点的轨迹的方程； （Ⅱ）若直线：与曲线交于两点，点是曲线上一点，且点的横坐标，若，求实数的取值范围. 题型六：根据抛物线的方程求参数 1．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（2024·河南·模拟预测）已知圆，抛物线.若对于上任意一点，使得对圆上的任意两点A，B，总有，则的取值范围是 . 题型七：抛物线简单几何性质 1．（2024·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 2．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（    ） A．若，则曲线的图象为一条抛物线 B．若，则曲线的方程为 C．当时，对于任意的，，都有 D．当时，对于任意的，，都有 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ． 题型八：抛物线的范围及对称性 1．（2024·全国·模拟预测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 3．（2024·河南·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 4．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． ( 巩固提升 ) 1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州毕节·三模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 5．（2024·贵州贵阳·二模）抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 6．（2024·新疆·二模）已知抛物线，点在抛物线上，则（    ） A．1或2 B．2 C．2或 D． 7．（2024·四川·一模）设抛物线：（）的焦点为，点（）是上一点．已知以为圆心的圆与轴相切，与线段相交于点，，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆与抛物线，椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（2024·海南海口·模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 10．（2024·河南新乡·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则 11．（2024·全国·二模）若抛物线上一点与焦点的距离等于，则该点与焦点所在直线的斜率为 ． 12．（2024·全国·二模）已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ． 13．（2024·山西长治·模拟预测）已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ . 14．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ． 15．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值． 16．（2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. ( 走进高考 ) 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 5．（多选）（2024·广东江苏·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 6．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形   7．（多选）2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 8．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 11．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$