2025年江苏省扬州市九年级中考数学模拟训练试卷

2025年江苏省扬州市中考数学模拟训练试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次， 数据765000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2. 下列计算正确的是（    ） A．（a2）3＝a6 B．a2•a3＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．2x+3y＝5xy 3. 已知、是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 4 . 如图，A是的直径，弦于点，连接，， 则弦的长为（    ） A．6 B． C．12 D． 5 . 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C， 若CD＝4，则菱形OABC的面积为（    ） A．15 B．20 C．29 D．24 6 . 如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F， 若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过正方形的顶点和， 已知点的坐标为，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限； ②函数图像一定不经过第三象限； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，y随x的增大而增大． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．② D．③④ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算的结果为 ． 10. 若，，则代数式的值是 ． 11. 如图，在中，是中位线，若，则 ． 12. 分式方程的解为 ． 13 .如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段， 已知S阴影＝1，则S1+S2＝ ． 14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）． 15. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”， 它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成． 如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c， 若，则每个直角三角形的面积为________． 16 . 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E， 分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 作射线交的延长线于点F，，则 ． 17 . 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始， 经过______分钟时，当两仓库快递件数相同． 18 . 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次； 如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE； 如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG， 连接HE，则 ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： (1)； (2)． 20. 解不等式组：，并求出它的正整数解． 21 . 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试， 该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制）， 并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a. 八年级的频数分布直方图如下： （数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； b.八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是： 80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5 c. 七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： (1) 表中m的值为 ； (2) 在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生， 在 年级排名更靠前，理由是 ； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛， 预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选； (4) 若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 22 . 第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片， 求下列事件发生的概率．    (1)第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率． 23 . 为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具， 如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，， 且它们互相垂直，，，如图（2）． （结果精确到．参考数据：，，，，）    (1)求车架档的长； (2)求车链横档的长． 24 .如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．    (1) 若，试说明； (2) 在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 25. 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． (1) 求证：； (2) 若，，求的半径． 26 ．冰墩墩，是年北京冬季奥坛会的吉祥物、 将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔， 装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销． 小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售． 两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1) 第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2) 第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半． 小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 27. 【问题情境】 在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部， 连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）． （1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值． 28 . 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点． 经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省扬州市中考数学模拟训练试卷解答 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次， 数据765000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（    ） A．（a2）3＝a6 B．a2•a3＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．2x+3y＝5xy 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，分别计算即可判断． 【详解】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； 中和不是同类项，D错误． 故选：A． 3. 已知、是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 4 .如图，A是的直径，弦于点，连接，， 则弦的长为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理，解直角三角形，垂径定理；先根据垂径定理得出，再由圆周角定理求出的度数，在中，根据锐角三角函数的定义即可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：是的直径，弦于点， ， ， ， 在中， ，， ． 故选：D． 5 . 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C， 若CD＝4，则菱形OABC的面积为（    ） A．15 B．20 C．29 D．24 【答案】B 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△COD＝×12＝6，得到OD＝3，根据勾股定理得到OC＝＝5，根据菱形的性质得到OC＝OA＝5，则可求解菱形OABC的面积． 【详解】解：∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴， ∴S△COD＝×12＝6． ∵CD＝4， ∴OD＝3． ∴由勾股定理得OC＝＝5． ∵四边形OABC是菱形， ∴OC＝OA＝5． ∴S菱形OABC＝OA•CD＝5×4＝20． 故选：B． 6 . 如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F， 若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易证，然后问题可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 7 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过正方形的顶点和， 已知点的坐标为，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过点作轴于点，轴于点，如图，先根据正方形的性质得到，，再利用等角的余角相等得到，则可判断，所以，，则，然后利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点，如图，    点的坐标为， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 把，分别代入得 ， 解得， 一次函数的解析式为． 故选：C． 8. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限； ②函数图像一定不经过第三象限； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，y随x的增大而增大． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算的结果为 ． 【答案】 【分析】先把和化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 【详解】解：原式=3-2=． 故答案为． 10. 若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 11. 如图，在中，是中位线，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 可证明，则，再用共高三角形面积比等于底之比即可求解． 【详解】解：∵是中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线， ∴点D为中点， ∴， ∵共以为底的高， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 13 .如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段， 已知S阴影＝1，则S1+S2＝ ． 【答案】6． 【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求解． 【详解】∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4， ∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6． 故答案为6． 14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）． 【答案】18π 【分析】根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°， ∴的长＝＝18π（cm）， 故答案为：18π． 15. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”， 它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成． 如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c， 若，则每个直角三角形的面积为________． 【答案】96 【解析】 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 16 . 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E， 分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 作射线交的延长线于点F，，则 ． 【答案】 【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17 . 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始， 经过______分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】20 【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 18 . 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次； 如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE； 如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG， 连接HE，则 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线 ∴， ∴ ∴是的中点 ∴是斜边上的中线 ∴ ∴ 设，则 在中，由勾股定理得即 解得 ∴ 如图，作 ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴ ∴ ∴即 解得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先化简绝对值，零指数幂，特殊的三角函数值，乘方，然后进行加减运算即可； （2）先通分，因式分解，然后进行化简即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 20. 解不等式组：，并求出它的正整数解． 【答案】，正整数解为1、2、3、4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后可得其非负整数解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为：1、2、3、4． 21 . 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试， 该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制）， 并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a . 八年级的频数分布直方图如下： （数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； b . 八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是： 80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5 c． 七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： (1) 表中m的值为 ； (2) 在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生， 在 年级排名更靠前，理由是 ； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛， 预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选； (4) 若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 【答案】(1)83.5 (2)①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； (3)88 (4)八年级达到优秀的人数为120人． 【分析】(1)根据八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，即可求出m的值； (2)根据八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论； (3)根据题意可得在抽取的50名学生中，必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图成绩是90至100分的有13人，进而可作出判断； (4)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数． 【详解】（1）八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分， ∴m= = 83.5(分)； 故答案为： 83.5； （2）在八年级排名更靠前，理由如下： ∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分， ∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数， ∴在八年级排名更靠前； 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； （3）根据题意得： ×50=15(人) 则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛， 所以至少达到88分； 故答案为： 88； （4）因为成绩85分及以上有20人， 所以300= 120(人)， 所以八年级达到优秀的人数为120人． 22 . 第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片， 求下列事件发生的概率．    (1)第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是： （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，第一次取出的卡片图案为“琮琮”的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果有： ，，，，，共5种， 取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的概率为． 23 . 为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具， 如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，， 且它们互相垂直，，，如图（2）． （结果精确到．参考数据：，，，，）    (1)求车架档的长； (2)求车链横档的长． 【答案】(1) (2)的长约为 【分析】（1）利用勾股定理解题即可； （2）先过点B作, 得出求出设, 则， ，,, 根据 , 求出的值, 从而得出的长, 最后根据勾股定理即可求出的长. 【详解】（1）解：，且， ∴； （2）过点作, 垂足为, 则 ∵,， ，    ∵, ∴, ， 设, 则， , 则 ， 解得： ， ， 答: 车链横档的长约为. 24 .如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．    (1) 若，试说明； (2) 在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可． （2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 证明：连接、，      由（1）可知 ， 在和中 ． 25. 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． (1) 求证：； (2) 若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）如图：连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明； （2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可． 【详解】（1）证明：连接， 为的切线， ， ， ， ． 又， ， ，即． （2）解：连接， 方法一：由（1）可知，∠CAD=∠CAB， ∴sin∠CAD=sin∠CAB,BC=CE=4, ∴， ∴AB=12， ∴的半径是6. 方法二： 为的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 的半径为6． 26 ．冰墩墩，是年北京冬季奥坛会的吉祥物、 将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔， 装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销． 小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售． 两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1) 第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2) 第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半． 小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个 (2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元 【分析】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个， 由题意可得：， 解得：， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个； （2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元， 由题意可得：． ∵， 随的增大而增大． 网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半， ， 解得：， 当时，取得最大值，此时， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元． 27. 【问题情境】 在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部， 连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）． （1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值． 【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝． 【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算； ②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可． 【详解】（1）k＝1， 理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE， ∴△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS） ∴EC＝DB，即k＝1； （2）①k值发生变化，k＝， ∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE， ∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴，∠DAB＝∠EAC， ∴△EAC∽△DAB， ∴，即EC＝BD， ∴k＝； ②作EF⊥AC于F， 设AD＝DE＝a，则AE＝a， ∵点E为DC中点， ∴CD＝2a， 由勾股定理得，AC＝， ∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA， ∴△CFE∽△CAD， ∴，即， 解得，EF＝， ∴AF＝， 则tan∠EAC＝． 28 . 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点． 经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标； （3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴， ∴， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． （3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ①如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$