湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（五）

长郡中学2025届高三月考试卷（五） 数 学 得分 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，) 1.命题p:Vx∈R,a.x2+2x十5>0为真的一个充分不必要条件是 地 Aa<号 B.a>1 D.>号 2 装 长 2.已知复数z千一2一为虚数单位，则复数x在复平面内所对应的 点位于 A第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 箭 3.在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为BC的中点，则向量AE在向量 岸 AC上的投影向量是 A.HAC BAG c是ad D.AC 4.已知圆M:x2+y2=16与圆N:x2+y2-4x一my十n=0的公共弦与直 线x一2y=0垂直，且垂足为(2,1)，则圆N的半径为 A.5 B.√T C.2 D.25 5.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay).历史上，求圆周率 π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡 西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长 和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术 数学试题（长郡版）第1页（共8页） 平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方 式是 A3n如g+amg】 6n2+am识） n c3nsag+tamg D.(in 6.近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创 新高，充分展示了国内文旅消费潜力.甲、乙、丙、丁四位同学打算去北 京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去 1人，则甲、乙都去北京的概率为 A号 B话 c弱 D壳 7.定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=f(x)十2x,且当x20时，f(x) >2x-1,则不等式f(2x-1)-f(x)<3x2-5x十2的解集为 A.(-o∞，1) B(传) c(-}+∞ D.(-o,-3U1,+o∞) 8如图，在一个有盖的圆锥容器内放人两个球体，已知该圆锥容器的底面 圆直径和母线长都是3，则 A这两个球体的半径之和的最大值为3士图 2 B这两个球体的半径之和的最大值为号 C.这两个球体的表面积之和的最大值为(6十3√3)π D.这两个球体的表面积之和的最大值为9 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分.) 9.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an一1，则下列结论正确的是 A.S2=2 B.数列{an}为等比数列 C.an=2m D.若bn=ogan+log:a.+2 则数列伍，)的前10项和为品 数学试题（长郡版）第2页（共8页） 10.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的 抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一 种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y=2x+2引y 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有 A.曲线C围成的图形有4条对称轴 B.曲线C围成的图形的周长是4√2π C.曲线C上的任意两点间的距离不超过5 D.若T(a,b)是曲线C上任意一点，|4a十36-18的最小值是11一 5√2 11.定义在R上的函数f(x)同时满足①f(x十1)一f(x)=2x+2,x∈R; ②当x∈[0,1]时，|f(x)川≤1，则 A.f(0)=-1 B.f(x)为偶函数 C.存在n∈N",使得f(n)>2024n D.对任意x∈R,|f(x)|<x2+|x+3 选择题答题卡 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11得分 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12,已知双曲线C苔-芹=1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为F,R,过 F1作一条渐近线的垂线，垂足为Q,延长FQ与双曲线的右支相交于 点P,若FP=3FQ,则双曲线C的离心率为 13.一条直线与函数y=lnx和y=e的图象分别相切于点P(x,y)和点 Q(x2,y2),则(x一1)(x2十1)的值为 14.质点每次都在四边形ABCD的顶，点间移动，每次到达对角顶点的概率 是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在A点，经过n 次移动到达C点的概率为 数学试题（长郡版）第3页（共8页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA十tanC 2√36 =a-8-2 (1)求C (2)若c=3,D为边AB的中点，CD=1,求a一b. 数学试题（长郡版）第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) f(x)=(z'+az)lnx+zr,aER (1)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)若a∈R,试讨论f(x)的单调性， 数学试题（长郡版）第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，BD平分∠ABC,∠ADC=120°，AD⊥ AB,CD⊥BC,△PAB为正三角形，PD=BD. (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD; (2)设E为PD上一点，AB=2,四棱锥E-ABCD的 体积为号，求平面ABE与平面PAD夹角的余 弦值. 数学试题（长郡版）第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C苦+芳-1的左，右焦点分别为R,F,点P(为)为椭 圆C上异于顶点的一动点，∠F1PF2的角平分线分别交x轴y轴于点 M,N. （若=号求PF: (2)求证：为定值： (3)当△FPN的面积取到最大值时，求点P的横坐标xo: 数学试题（长郡版）第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T= {a一bl|a、b∈S,a≠b),如果min(T)=1,则称集合S为一个n元规 范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和. (1)判断A={-0.1,一1.1,2,2.5}、B=(-1.5,-0.5,0.5,1.5}哪个 是规范数集，并说明理由； (2)任取一个n元规范数集S,求证：min(S)十|max(S)|≥n一l; (3)当S={a1,a2,…,a202s}遍历所有2023元规范数集时，求S的范数 f的最小值， 注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数. 数学试题（长郡版）第8页（共8页）长郡中学2025届高三月考试卷（五） 数学参考答案 题号 2 3 7 9 10 11 答案B D A B B D BD ABD ACD 一，选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1.B【解析】依题意，首先a>0,其次△=4-20a<0,解得a>行，故其子集即可，故选B 2D【解折]度数=品：2得P)2+可=1-台-吉=号一昌，共在复华西内所对应的点 2+i (号，一9）位于第四象限。 3.A【解析】法一：由题意可知：A店-6，D=4,A店.AD=0, 且AC=A+A市，A花=AB+B-A+2AD, 则花.A花=(+A·(A+2A)=序+号A市=44， AC=(AB+AD)=AB+AD=52, 所以向童证向笔心上的议利的量是之正)心-背配 法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0,0),E(6,2),C(6,4),AE=(6,2),AC-(6,4), 所以的登症在的正上的报影有量为正-心-昌配 IACI 4.B【解析】因为圆M:x+y=16与圆N:x2+y-4x-my十n=0, 所以它们的公共弦方程为4x十my一m一16-0. 因为公共弦与直线x一2y=0垂直，所以4一2m=0,解得m=2. 将点(2,1)的坐标代入4r十2y一n-16=0,可得n=-6, 国N:x2+y2一4x-2y-6=0可化为(x一2)2+(y-1)2=11,故圈N的半径为√/11. 5.A【解析】设圆半径为R,如图，AB是共外切正6n边形的一边，设外切正6m边形的边长为a, 易知∠AOB=360°_60° 6n21 显然，AB边上的高为R(R-1),则a=2Ran30 图中CD显然为圈的内接正6m边形的一边，设内接正6m边形的边长为，则b=2Rsin30, ÷.2元=6u6b=3a+3b=6nRan30°+6 nRsin30°=6mtan30°+6nsin30, 2 x=3aang+3g-3n(如g+m） 6.B【解析】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有C·A=36(种)方案.因为甲、乙都去北京，则丙、丁 分别去成都或责阳，所以有2种方案，故甲，乙都去北京的概率为品=8 7.B【解析】设g(x)=(x)一x2十x. :f(-x)=f(x)+2x,g(-x)=f(-x)一x2-x=f(x)+2x-x2-x=g(x),.g(x)为R上的函数 当x≥0时，f(x)>2x-1,g(x)=f(x)-2x+1>0, 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一o0,0)上单调递减。 由f(2x-1)-f(x)<3x2-5.r+2,得f(2x-1)-(2x-1)2+(2x-1)<fx)-x2+x, 即g2x-1)<g),所以2x-1<x,即(2x-1D<2,解得}<r<1, 即不等式2x-1)-fx)<3r-5x+2的解集为(}1. 数学参考答案（长那版）一1 8.D【解析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆雏的底面相切， 过底面圆的直径作戴面，如图所示，过，点O作OF⊥AB,垂足为F,过点)作O'E⊥AB,唐足为E, 过点O作OD⊥OF,垂足为D.设圆O的半径为R,圆O的半径为r,当下面的球与上底面相切时， R取得最大值， 此时R为该圈的内切球半径，等边三角形的边长为3，内切球半径为受n30°=， 故OB=1,故R的最大值为2，且取最大值时，0,0，B三点共线， 设0E=r,则0B=2,则2r+r+2=1,解得=G所以R∈[日]re[合，]， OD =R-r,OO=R+r,OD=EF =AB-AFI-BE=3-3R-/3r. 因为OD2+OD:=OJ12,所以(R-r)+(W3-√3R-3r)=(R+r),① 整理科3球+2，一6R+3(r-2+1D=0,解释R=1-专-号3一2Z表R=1-青+号3一27（合去 令画-R+-1-青-号V32F+-1+g-号v-2,[日2] r0m=2V3=2_3+红.令画数gm=2√3r-2-3+4r,g)=3=十>0，所以g)是增画数 3√3r-27 V3r-27 又国为g(合)<0,8号)>0，所以36∈[言号]使8)=0， 所以re[合)时，g<0,r∈（号]时，g>0,即r[合）时f<0r∈(n,]时，f>0, 所以)在[行)上单调适减，在(，吃]上单润递增。 因为f信）-）一号，所以fm一号，即这两个球体的半径之和的最大值为号，故A,B错误 由①可得R+=-号[(R+ry-6(R+)+3], 这两个球体的表面积之和为4x(R+2)=一2x[(R十r)-6(R十r)十3]. 令x-R+≤号，函数y=-2x2-6x十3)在(0，号]上单调递增， 所以=-2x×[(号》广一-6×号+3]-1g,即这两个球体的表面积之和的最大位为1g,故C错误，D正确， 另法：显然R+r<,故稀膝A.B又怀厌+P)<R+<3,稀除C,故选D 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，） 9.3D【解析】当n-1时，由S。=2an-1,得S,=a1=2a1-1,解得a1=1, 当n≥2时，a.=S.-S.1-2a.-1-(2a.1-1)=2a。-2a.-1, 即an=2a。1,即数列a。)是以1为首项，2为公比的等比数列， 则a,=2a:=2.S=3,所以A.C错误，B正骑：又6=0ga4i1ga:一（中万1中' 1 1 11 所以线到a的前10项和为(1-》+（合吉）十+（品引）=1-司品，D正确 10.ABD【解析】曲线C:x2+y2-2x+2y, 当x≥0，≥0时，曲线C的方程可化为(x-1)十(y-1)2=2, 当≤0,0时，曲线C的方程可化为(x十1)十(y一1)=2， 当x≥0，y0时，曲线C的方程可化为(x一1)十(y十1)=2， 当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为(x十1)十(y十1)2=2， 所以曲线C的图象如图所示，对于A:由图可知曲线C围成的图形有4条对称轴， 4x131-18-0 故A正确：对于B:曲线C由4个半圆组成，其周长为2X2πX√2=4v2π，故B正确； 对于C:由图可知曲线C上任意两点间的最大距离为4r=4v2>5,故C错误： 对于D:Ta,b)到直线4x+3y-18=0的距离d=4a+3动-18， 5 而（1，D到直线4红十3y-18=0的距离为4+3-18=旦 5 51 数学参考答案（长那版）一2 由国的性质得南线C上一点到直线r十3y一18=0的距离最小为号一2， 故4a十3b-18的最小值为11一5v2,故D正确. 11.ACD【解析】对于A.f(x+1)-f(x)=2x+2,令x=0,则f(1)-(0)=2,即f(1)=(0)+2, 又x∈[0,1]时，|f(x)|≤1，即-1≤f(x)≤1， -1f0)<1-10,得-1f0≤-1，即0)=-1，故A正确： 可知{-1≤f1)≤1， 1-1≤f(0)+2≤1， 对于B,由选项A可得f1)=f(0)十2=1，又令x=一1得f(0)一f(一1)=0，解得f(一1)=一1， 故f(一1)≠f(1),所以函数f(x)不是偶函数，故B错误： 对于C,因为f(x+1)-f(x)=2x+2,当n≥2，n∈N”时， f(n)-[f(n)-fn-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+Lf(2)-f1)]+f1) =2m+2m-2+…+2X2+1=2+m-1+…+2)+1=2X1=1)n+2)+1=7+n-1, 2 又f(1)=1满足上式，所以f(n)=n十n一1，n∈N°， 令n=2024,则f(2024)=2024十2023>2024×2024， 所以存在n∈N°，使得f(n)>2024n,故C正确： 对于D,令g(x)=f（x)一x2-x, 则g(x+1)-g(x)=f(x十1)-(x+1)2-(x十1)-f(x)+x2+x=f(x十1)-f(x)-2x-2=0, 即g(x十1)=g(x),即g(x)是以1为周期的周期函数，因为当x∈[0,1门时，f(x)≤1， 则g(x)|=|f(x)-x2-x≤|fx)|+|x2十x≤3， 当且仪当x=1且f(1)与2异号时等号成立，但f(1)=1,故f(1)与2同号， 故等号不成立，故|g(x)<3, 结合周期性可知对任意x∈R,均有g(x)|<3, 所以f(x)|=|g(x)+x+x≤|g(x)十x2+|x<x2+x+3,故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12雪【解折]风南线的方程为号苦-1。>0,6>0)，一条渐远线方程为b红ay-0, 2 设F(-c,0),可得FQ1=二b=c=b. va+b c 若F1P-3FQ,则PF1-3h,由双曲线的定义可得PF2|-PF|-2a=3b-2a, 在直角三角形QF,0中，0F=c,cs∠OP,Q-, 在△PFF中，cos∠PF,E=FE+PE-|PF 2XF,F×PF, =(2c)2+(36)2-(36-2a) 2×(2)×(36) =cos∠OF,Q-6 即有42-4a2+12ab-12, 所以6+12612沙，即会-多 则-√+()-√+(= 2 18-2【解折】令f)=h工g)=e,所以f)=子g)=e, 则y=血x在点P(a)处的切线方程为y一lh西-（红-x), 即y-x十ln一1y=e在点Q()处的切线方程为y一e=e(x一)，即y=e-x十e÷(1一)， 由已x -西-1=品1-4解得6吊 (lnx1-1=c(1-x2), 所以-名-16异因国-+)-(-是+1）=-2 4.是+(-2)” 【解析】设移动n次后，点P移动到A,B,C,D的概率分别为am,b,cn,d, 则a=0.6=6=2d=是a+6+c十d,=1, 数学参考答紫（长郡版）一3 a=+2c+d 6=7+7c+2d- 41 1 所以6+d=2a-1+6-1c-+d-)=26-d.=2d-6, 又么-d-0,所以6-d,所以6-d.- a=+2… 所以2=a-+c-…所以a=g+2(3-a-)pa.=音24a-}=-2(a-1） 6=g+2a… 又a一一子，所以a一}是以一子为首项，以一之为公比的等比数列， 故a4-()”'a-+号（八 又a+e=合所以6，=(》”=+(-) 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.） 2w3 15.【解析1)因为sin B sincA9-sin Acos Csn CosA-0A+=anA+amC=会 cos Acos C cos Acos C cos Acos C 236 3sin B -2bccos A ccos A sin Ccos A' 所以、1 cosC=- ctmC=一5，所以C-= 3 小+…44小+…4…6分 (2)由于：=号Ci+C-}(Ci+Ci)=(Ci+Ci+2C成.Ci=d++2 alos=1, 故d+:+2 bC=4,又由余弦定理有2=d2+-2 abcos C=9,而cos C=cos2r= 1 3 2 故有ad+=a++2 abeos C+d+8-2 abcos C_.4+9_=3 2 2 2十22 410分 ab--2abcos C2abcos Cabos C5 2 222 11分 所以a-6=a-=v+6-2=√2-2x8-√昼-5 ……13分 16.【解折11若a=0,则)）=2nx十71)=，… …1分 又广(.x)-2xlnx十x+x=2x(lnx+1),故(1)=2， …3分 所以f在1=1处的切线方程为)y一是=2x一1D, 唧4江-2y-3=0.…5分 (2)f(x)=(2.r+a)lnx+x+a+x=(2x+a)(lnx+l),x∈(0，+o∞)， 当a≥0时，2xta>0,令了x)>0,即hx+1>0,解得x>,令了x)<0,解得0<x<, 所以)在(0，)上单调递减，在（台十o）上单调运增：…8分 当a=-2时，f(x≥0，fx)在(0，十o0)上单调道增；…。 ……10分 当-受<，即-是<a<0时，令f)>0,解得0<x<-号或>令f)<0,解得-号<<日 所以f代)在(0，一受）（合十∞）上单词递增，在（一号，）上单词递减：…12分 当-号>。即a<-名时，令了✉>0，解得0<或>-号令f<0,解得K-号 数学参考答案（长那版）一4 所以x)在(0，是)，(-2+∞)上单调递增，在(。一)上单调递减. …11分 综上：当a≥0时，fx)在(0，)上单调递减，在（日，十∞）上单调递增； 当-<a<0时)在(0，-），（日十）上单调递增，在(-2，）上单调递减： 当a=-2时，f(r)在(0，十∞)上单调递增： 当a<-是时，f在(0，）(-号，十o∞）上单澜地增，在(，-2)上单调递减.…15分 17.【解析】(1)因为BD平分∠ABC,且AD⊥AB,CD⊥BC,又BD=BD, 所以△ADB2△CDB,所以AD=CD,又∠ADC=120° 所以∠ADB=∠CDB=60°，所以BD=2AD,AB=√3AD, 所以PD=BD=2AD,……3分 因为△PAB为正三角形，所以PA=AB=√3AD. 在△PAD中，PD=AD+PA, 所以AD⊥PA, 因为PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 所以AD平面PAB, …6分 又图为ADC平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD. …7分 (2)设，点E到平面ABCD的距离为h, 则Vem=}5amh=·25m·h=×2X×2X后Xh= 3 解得五-停。 如图，取AB的中，点O,连接OP,O℃，AC, 则POLAB,且P0-AB-5, 周为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB, 所以PO⊥平面ABCD,所以PD=3ED, 因为OCC平面ABCD,所以PO⊥OC, 因为△ADB≌△CDB,所以AB=CB, 又因为∠ABC=2∠ABD=60°， 所以△ABC为等边三角形， 所以0CLAB,且0C-AB-3. …10分 故可以O为原点，OB,C,OP所在直线分别为x,y,g轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xy2, 则A-1.00.B10.0.D-1,290）,P0.0n5.E(-号4号） 所以ni=2.00.Ai-(o.25.0）a正-（得，4g5,）Ad=1.0w. 设平面ABE的法向量为m=(x,y,x), 鹰心 2x=0, 令y=3,则x=0,之=一4， 故m=(0,3,-4)为平面ABE的一个法向量，…13分 设平面PAD的法向量为n=(a,b,c), {x十3x=0, 则n·AP-0即12W3 n…Ai=0,8y=0, 令x=3,则y=0,x=一√3， 6x2. 3,0。一)为平西PAD的一个法向量，所以c0s(m,nm丹 所以平面ABE与平面PAD夹角的余弦值为号.…15分 数学参考答案（长郡版）一5 18【解折10由已知释F(-1,0),草+学=1→g=3-3 4 刘PR,=V+1+=2+2 …3分 所以当=名时，PR=是 ……5分 PF MF. (2)设M(m,0),在△FPF:中，PM是∠FPF:的角平分线，所以 PF. MF' 由1)知PF,=2+2, 同理P=-1)+=2-之， 7分 1 2+2 即 2 -品=所以M宁0小， 这P作PHLx箱子H,所以微-架=是 10分 (3)记△FPN的面积为S,由(2)可得， S号RM·+号-君+√只4-6)-g6+44-共中5(-2,0U0.2,13分 12 别S=。一3（6+2-2 6/4-x 当x∈（一2,0）U(0w3一1)时，S>0,S单调递增： 当x∈(w3一1,2)时，S<0,S单调递减. 所以当江。=√3一1时，S最大。…17分 19.【解析】1)对于祭合A:因为|2.5一2=0.5<1，所以集合A不是规范数集；…2分 对于集合B:因为B={-1.5,-0.5,0.5,1.5}, 又-1.5-(-0.5)=1，-1.5-0.5|=2,1-1.5-1.5=3,1-0.5-0.5|=1,1-0.5-1.5|=2， |0.5-1.5=1, 所以B的相伴数集T={1,2,3》,即mi(T)=1,故集合B是规范数集.…5分 (2)不妨设集合S中的元素为x1<x<<x,即min(S)=x,max(S)=xm, 因为S为规范数条，则ViEN”,l≤i≤n-1,x1一x≥1，且36∈N,1≤≤一1，使得1一x=1, 当x≥0时，则|min(S)|+|max(S)|=x1+|x,|=十x=(x2-)+(一2)+…+(x。-x。1)+2x≥n 一1十2x1≥n一1，当且仅当不+1一知-1且x石1=0时，等号成立；…7分 当x,≤0时，期min(S)十|max(S)|-|五|十|xn|-一马一xn一(2一x)十（一x)十…+(x。一x。-1)一2x,≥ n一1一2xm刀-1，当且仅当x1一工=1且x=0时，等号成主；…9分 当<0，x>0时，则min(S)+|max(S)|=|x|+x.|=一x十x。=(x2一西)十(x-x2)十…十(x一x-1) ≥一1，当且仅当1一x=1时，等号成立， 综上所述：min(S)十max(S)≥n-1.…11分 (3)不妨设a1<a<awe, 因为S为规范数集，则Vi∈N,1≤2022，a+1一a,≥1，且3i∈N”,1≤≤2022，使得a4+1-a=1, 所以对于S,=(a…,ae-二S,同样有jEN”,1≤j≤1011，则a+1一a,≥1， 由(2)的证明过程与结论min(S)十max(S)|≥n-1,可得min(S,)|十max(S,)≥2024-2j,当且仅当a+1 a=1时，等号成立， 即a1+|a划s|≥2022，a:+ae8≥2020，…，a0n+a1on≥2，…14分 所以范数f=a1+ag|+…十aa≥2022+2020+…十2十aot含 _(2022+2)X101+aa2=1012×1011+|aam≥1012X1011, 2 当且仅当aoz=0且a+1一a:=1时，等号成立， 所以范数f的最小值为1012X1011.…17分 数学参考答業（长那版）一6