16.1 二次根式 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

16.1 二次根式 一、二次根式的概念 在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。但需要注意，负数没有平方根，所以要使二次根式有意义，被开方数必须大于或等于零。 二、二次根式的性质 1.非负性：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。即，若a≥0，则。 2.一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即，。 三、二次根式的化简 化简二次根式，是指将二次根式化成被开方数中不含能开方的完全平方式的二次根式。能开方的完全平方式被当作剩余根式的系数。若二次根式中被开方数为分式，则可以对分子分母同时乘以分母，对分式根式进行化简，即分母有理化的过程。 巩固课内例1:根式有意义 1．若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．式子有意义，则x的取值范围为 ． 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 巩固课内例2:二次根式的性质化简 1．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．化简：= ． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 巩固课内例3:先化简再求值 1．化简：（     ） A． B．2 C． D． 2．若a＜1，化简＝ ． 3．先化简，再求值：，其中． 类型一、二次根式的认识 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 3．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 类型二、二次根式有、无意义 1．要使二次根式有意义，则的值不可以为（   ） A． B．0 C．2 D．3 2．当式子有意义，则的取值范围是 ． 3．下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、二次根式中的值 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是 ． 3．若求的值． 类型一、二次根式中的非负性 1．的三边，，满足，则的形状是 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．若，满足，则 ． 3．已知：，求的值． 类型二、二次根式中的整数解 1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若是整数，则正整数的最小值是 ． 3．已知a是满足式子有意义的最大整数，试求该式子的值． 类型一、二次根式中的移根化简 1．把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 2．将a因式内移的结果为 ． 3．若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 类型二、二次根式中的数轴化简 1．实数在数轴上对应的点位置如图所示，则化简的结果是（  ）       A． B． C． D． 2．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当时，求M的值． 类型三、复合二次根式的化简 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 1．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 4．函数中，自变量x的取值范围是 5．若有意义，则能取的最小整数值是 ． 6．若x，y为实数，且，则 ． 7．下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 8．已知实数m，n满足，求的立方根． 9．先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)先化简，再求值：，其中 10．若m满足关系式，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1 二次根式 一、二次根式的概念 在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。但需要注意，负数没有平方根，所以要使二次根式有意义，被开方数必须大于或等于零。 二、二次根式的性质 1.非负性：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。即，若a≥0，则。 2.一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即，。 三、二次根式的化简 化简二次根式，是指将二次根式化成被开方数中不含能开方的完全平方式的二次根式。能开方的完全平方式被当作剩余根式的系数。若二次根式中被开方数为分式，则可以对分子分母同时乘以分母，对分式根式进行化简，即分母有理化的过程。 巩固课内例1:根式有意义 1．若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，必须， 解得：， ∵，，，， ∴只有选项A符合题意，选项B、选项C、选项D都不符合题意， 故选：A． 2．式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 【答案】(1)； (2)，且． 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． （1）当函数表达式的二次根式时，根据二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解； （2）当函数表达式分母是分式，分子是二次根式时，根据分式的分母不能为0，二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解， 【详解】（1）解：， ， 解得： 自变量的取值范围为； （2）解：， ，， 解得：，， 自变量的取值范围为，且． 巩固课内例2:二次根式的性质化简 1．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同底数幂的除法、幂的乘法、积的乘方以及二次根式的性质．熟知二次根式的性质及幂的运算法则是解答此题的关键． 根据二次根式的性质及幂的运算法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. 被开方数不能是负数，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项符合题意； D. ，故本选项不符合题意； 故答案为：C. 2．化简：= ． 【答案】4． 【分析】利用公式直接得到答案． 【详解】解： 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握 是解题的关键． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案． 【详解】解∶由题图可知，， ，，，， ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，利用二次根式的性质化简，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握实数与数轴的相关知识并运用数形结合思想是解题的关键． 巩固课内例3:先化简再求值 1．化简：（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用 再根据的正负情况去绝对值符号即可． 【详解】解： 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握是解题的关键． 2．若a＜1，化简＝ ． 【答案】﹣a 【分析】根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可． 【详解】解：∵a＜1， ∴a﹣1＜0， ＝|a﹣1|﹣1 ＝﹣（a﹣1）﹣1 ＝﹣a＋1﹣1 ＝﹣a． 故答案为：﹣a． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，对于的化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，二次根式的性质，关键是能进行准确化简、计算． 先根据单项式乘多项式的法则和多项式乘多项式的法则化简，再将代入进行计算． 【详解】解：∵ ， ∴当时， 原式 ． 类型一、二次根式的认识 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】③④⑥ 【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：③④⑥． 3．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式． 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数. 类型二、二次根式有、无意义 1．要使二次根式有意义，则的值不可以为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值不可以为3． 故选D． 2．当式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了代数式有意义的条件，根据被开方数是非负数和分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且 解得且 故答案为：且 3．下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数大于等于零）及分式有意义的条件（分母不等于零）是解题的关键． （1）利用二次根式有意义的条件求解即可； （2）利用二次根式有意义的条件求解即可； （3）利用分式有意义的条件求解即可； （4）利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：∵要使有意义， ∴， 解得：； （2）解：要使有意义， ∴， ∴； （3）解：∵要使有意义， ∴ ∴； （4）解：∵要使有意义， ∴， ∴． 类型三、二次根式中的值 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，进行解答即可． 【详解】解：∵正数的绝对值是它本身， ∴的绝对值是， 故选：D． 2．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 3．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 类型一、二次根式中的非负性 1．的三边，，满足，则的形状是 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了平方、二次根式、绝对值的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和等边三角形的定义，从而完成求解． 根据非负数的性质可求出，，的值，即可确定三角形的形状． 【详解】解：三角形的三边，，满足 ， ，，． 解得：，，． 该三角形是等边三角形； 故选：B． 2．若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 3．已知：，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查非负性和分式的求值，根据非负性求出的值，代入分式中，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 类型二、二次根式中的整数解 1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 2．若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件和为正整数,得出,即可得出的值. 【详解】解:有意义, ,解得:, 是正整数, , , 是整数, 、 或 解得:、 或 , 正整数的最小值是, 故答案为:. 3．已知a是满足式子有意义的最大整数，试求该式子的值． 【答案】 【分析】根据二次根式意义的条件得出，求出，即可得出a的最大值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式，求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是根据二次根式有意义的条件得出． 类型一、二次根式中的移根化简 1．把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可. 【详解】解：原式=×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键. 2．将a因式内移的结果为 ． 【答案】﹣ 【详解】由题意得：a<0， 故答案是为﹣ . 3．若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法．先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 将代入求得， 则 ． 类型二、二次根式中的数轴化简 1．实数在数轴上对应的点位置如图所示，则化简的结果是（  ）       A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可． 【详解】解： 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键． 2．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】﹣2a 【分析】先根据数轴的定义得出再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：， 故 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当时，求M的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由实数在数轴上对应点的位置确定的符号以及绝对值的大小，进而确定的符号，根据绝对值以及二次根式的化简方法进行计算即可； （2）根据绝对值、算术平方根的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由实数在数轴上对应点的位置可知，，且， ， ． （2）解：， ， ∴， ． 类型三、复合二次根式的化简 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 3．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）符合条件的包装纸箱型号有两种，选择C型号包装纸箱 【分析】本题考查二次计算与化简与应用， （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的、与、的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； （4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可； 解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵，且a，b，m，n均为正整数， ∴， 即， ∴，， 故答案为：；； （3）∵，且x，y均为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x的值为； （4）∵，， ∴底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴两个正方形的长之和：， ∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件， B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， ∴应选择C型号包装纸箱． 1．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、是开三次方，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围以及二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出不等式是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得出，解该不等式即可得出结论． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：D． 3．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，以及代数式求值，根据二次根式性质得到，进而求出值，再代入中求解，即可解题． 【详解】解：由题知， ，， 有，， 即， 当时，有， 解得， 则， 故选：A． 4．函数中，自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式且分母不为可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得且， 解得：且． 故答案为：且． 5．若有意义，则能取的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，可得不等式，解不等式可得，在这个范围内的最小整数为． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 能取的最小整数值是． 故答案为： ． 6．若x，y为实数，且，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，继而解得，则，再代入求值． 【详解】解：由题意得， ∴解得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 7．下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)为任意实数 (3) (4)且 【解析】略 8．已知实数m，n满足，求的立方根． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出n的值，进而求出m的值，再求出的值，即可求出对应的立方根． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵125的立方根是5， ∴的立方根是5． 9．先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)小亮； (2)；8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；． （2）解：原式， ， 原式． 10．若m满足关系式，求m的值． 【答案】4024 【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得，然后根据非负数的性质得到关于和的方程组，然后结合即可求得的值． 【详解】解：由可得， ∴ ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$