精品解析：河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期综合素质评价四数学试题

2024-2025学年河北省衡水中学高三（上）月考数学试卷（四） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足：，（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|－3<x<3}，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. (－3，－1] B. (－1，3] C. (1，3] D. [3，6] 3. 已知， ，点P满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列中，其前项和为，且，，成等差数列，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，点，，在图象上，若， ，且，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. 有两个零点 D. 函数为奇函数 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于渐近线的直线交两渐近线于A，B两点，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与圆相切，则的值为__________． 13. 已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则______． 14. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，， （1）求证：； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求C的值； （2）若，求的周长的最大值． 17. 已知函数 （1）求的单调区间及最值 （2）令，若在区间上存在极值点，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，左焦点为，点在椭圆上. （1）求C的方程； （2）设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且，证明直线l恒过定点； （3）在的条件下，求的最大值. 19. 已知无穷数列（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为k阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为k阶等比数列. （1）已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式； （2）若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列； （3）已知，令的前n项和为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省衡水中学高三（上）月考数学试卷（四） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足：，（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法求出，可得，再由复数的几何意义可得答案. 【详解】由已知可得，则， 所以的共轭复数在复平面内对应的点为位于第三象限. 故选：C. 2. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|－3<x<3}，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. (－3，－1] B. (－1，3] C. (1，3] D. [3，6] 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出A＝{x|-1≤x≤6}，进而求出阴影部分表示的集合. 【详解】x2－5x－6≤0，解得：-1≤x≤6，所以A＝{x|-1≤x≤6}， 阴影部分表示的集合为B在U中的补集与A求交集，为 [3，6]. 故选：D 3. 已知， ，点P满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意能求出点P的轨迹方程根据题意求出直线AB的方程，再验证圆P的圆心在直线AB的方程上，从而得到点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大，求解即可． 【详解】设，，， ，， 化简得 点P的轨迹方程为： 依题意可得直线AB的方程为，即， 圆P的圆心在直线AB的方程上， 点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大， 面积的最大值为 故选：B 4. 已知数列中，其前项和为，且，，成等差数列，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项得，再降次作差，变形得，再利用等比数列性质即可求出答案. 【详解】∵，，成等差数列，∴， 当时，，， 当时，，∴，即， ∴，∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴，∴，∴， 故选：D. 5. 已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数关系式和函数奇偶性可推导得到是周期为的周期函数，再结合，可求得所求函数值之和. 【详解】由得：， 又为上的奇函数，，， ，即，是周期为的周期函数， ，， . 故选：B. 6. 已知函数的部分图象如图所示，点，，在图象上，若， ，且，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件求出A，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可． 【详解】解：由条件知函数的周期满足，即， 得 由五点法得，即，得， 则， 则，得， 即， 在内的对称轴为， 若， ，且， 则关于对称， 则， 则. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键． 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故，即， 即，即，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据已知条件得到线段之间的关系，继而利用余弦定理求出c，即可求解. 8. 半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案. 【详解】分别取的中点，连接， 根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了空间想象能力，解答的关键是根据几何体的结构特征，作出其截面图，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，即可求得答案. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. 有两个零点 D. 函数为奇函数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B、C，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案． 【详解】，令，解得或1，可得下表： x 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 对于A，是的极小值点，故A正确； 对于BC，，， 又，， 显然函数在，，分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确，C错误； 对于D，令，，故D错误． 故选： 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，，则，解得， 则，，显然不存在，使，即，不共线，A错误； 对于B，，则，解得，即，， ，则与同向的单位向量为，B正确； 对于C，当时，，又与的夹角为锐角， 则，解得，且，即，C正确； 对于D，由，得，即， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于渐近线的直线交两渐近线于A，B两点，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设点，求出，由对称性设出l的方程，与渐近线方程联立求出线段AB长，再分情况计算作答. 【详解】设点，由双曲线对称性，不妨令直线l垂直于渐近线：，即，则， 直线l的方程为：，由解得点A的横坐标， 由解得点B的横坐标， 当时，点B在线段的延长线上，由得， 因此有，整理得，则离心率， 当时，点B在线段的延长线上，由得， 因此有，整理得，则离心率， 所以双曲线C的离心率为或. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与圆相切，则的值为__________． 【答案】－18或8 【解析】 【分析】直接根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， 直线与圆相切，故，解得， 故答案为：－18或8 13. 已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】得到直线线l的方程，联立抛物线方程，得到，从而利用AB的中点到抛物线准线的距离列出方程，求出. 【详解】由题意得，准线方程为， 则直线， 与联立得， 设，则， 则AB的中点到抛物线准线的距离为， 解得. 故答案为：4 14. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】考虑到两曲线关于直线y=x对称，求的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离的二倍，点到直线的距离公式表示出P到直线y=x的距离，然后利用导数可求得最小值． 【详解】函数与函数互为反函数，图象关于对称. 函数上的点到直线的距离为. 设函数，则 因为当时，，当时， 所以当时， 所以 所以最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，， （1）求证：； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：连接BD，直四棱柱中，，则点F在平面内， 因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又底面ABCD为正方形，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，由，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，DA，平面ABCD， 所以，， 又底面ABCD为正方形，所以， 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则，，所以； 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量； 设平面与平面ABCD的夹角为， 则， 所以平面与平面ABCD的夹角余弦值为 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求C的值； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 即，又，所以， 所以，又，即； 【小问2详解】 因为，由余弦定理可知，， 又因为，所以， 所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以周长的最大值为12． 17. 已知函数 （1）求的单调区间及最值 （2）令，若在区间上存在极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为，无最小值； （2）． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最值； （2）对求导，再令，求导得到其单调性，进而求出，结合，，结合函数存在极值点，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 的定义域为， ， 令，解得，即的单调递增区间为； 令，解得，即的单调递减区间为． 故，无最小值； 【小问2详解】 因为， 所以， 令，则， 令，得；令，得；又， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，，． 若在上存在极值点，则或， 解得或， 所以实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 18. 已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，左焦点为，点在椭圆上. （1）求C的方程； （2）设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且，证明直线l恒过定点； （3）在的条件下，求的最大值. 【答案】（1） （2） 证明：由可得，如图， 当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立，整理可得：， ，可得， 且，， 因为， ， 即， 即， 整理可得：，可得或， 即直线l的方程为或， 所以直线l过舍或恒过定点； 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，， 设，， 将代入椭圆的方程可得，可得， 因为，所以， 即，解得或舍， 即直线l的方程为，显然过， 综上所述：直线恒过定点， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得b，c的值，进而求出a的值，即求出椭圆的方程； （2）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，，整理可得参数的关系，求出直线恒过定点的坐标； （3）由（2）可设，求出面积的表达式后根据双勾函数的单调性可求最大． 【小问1详解】 由题意可得，，所以， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设的斜率不为零，设， 由可得， 故， 所以， 故，令， 则，由双勾函数的性质可得， 故，当且仅当时等号成立 故的最大值为 19. 已知无穷数列（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为k阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为k阶等比数列. （1）已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式； （2）若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列； （3）已知，令的前n项和为，，证明：. 【答案】（1） （2）证明：因为为k阶等差数列，则（d为常数）， 则为一次多项式， 猜测是关于n的k次多项式，下用数学归纳法证明： 当时，显然成立； 假设当时，是关于n的m次多项式， 当时，则是关于n的m次多项式， 由是次多项式，故是关于n的k次多项式， 又是一阶等比，则，则， 由是关于n的k次多项式，则是关于n的次多项式，则是阶等差数列. 故是常数列，故是阶等比数列. （3）证明：由， 设， 则， 故， 则，则， 则，得证！ 【解析】 【分析】（1）由新定义得为公差为2，首项为3的等差数列，由等差数列的通项公式求解； （2）设为k阶等差数列，则（d为常数），则为一次多项式，猜测是关于n的k次多项式，用数学归纳法证明即可； （3）设，化简整理得，由裂项相消求和证明结论. 【小问1详解】 由，由， 则为公差为2，首项为3的等差数列， 则，则， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于数列的新定义题型，关键是读懂题目的意思，由新的定义来解决问题，一般地关于数列不等式的证明，可以利用放缩法去证明，或转化为数列的求和问题，利用错位相减法，裂项相消法求和证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $