安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024一2025学年度高二年级（上）·期末学情检测 数 学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水 签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在 试题卷、草稿纸上作答无效。 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.直线l:x一√3y一1=0的倾斜角为( A.8 B c D. 2.已知点P是椭圆C:+片=1上一点，F,F:是C的左、右焦点，则1P下，十 |PF2|=( A.√7 B.2v2 C.2W7 D.42 3.已知等差数列{an}中，a2=8,ag=1,则公差d=( A号 B.1 C.-1 D-2 4.已知空间向量a=(3,1,x),b=(一1,0,2)，c=(0,1,1),若向量a,b,c共面，则 实数x的值为( A.-7 B.-5 C.-3 D.-1 5.已知点(2,0)在圆x2+y2一2.x+4y十8=0的外部，则实数m的取值范围为 ( A.(-∞，3) B.(3,+o) C.(-∞，-2)U(2,3) D.(-∞，-2)U(2,+∞) 数学试题第1页（共4页） 6.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S=4,S15=28,则So=( A.12 B.14 C.16 D.18 7.已知O为正方形ABCD的中心，E,F分别为BC,AD的中点，若将正方形 ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A-BD-C的大小为45°，则此时 cos∠EOF的值为( A. B.-1 C2-2 D.2-2 4 4 8.已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，A,B是抛物线C上不同的两点， 且满足∠AFB=牙，设A,B到抛物线C的准线的距离分别为d,d,则 4密的最大值为( A.23 3 B.3 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.记等比数列{an}的前n项积为Tn,且a6,az∈N*,若T2=212,则ag十a,的可 能取值为( A.4 B.5 C.6 D.7 10.已知实数x、y满足方程x2+y2一4x十1=0，则下列说法正确的是() A.Y的最大值为W3 B.Y的最小值为0 C.x2+y的最大值为7+4V3 D.x十y的最大值为2十√6 山.已知双曲线C:一-芳-16>0)的左右焦点分别为R,F,其一条渐近线方 程为y=√3x,点A为C的左支上任意一点，则下列说法正确的是( A.C的离心率为2 B.若AF1⊥x轴，则|AF=3 C.若B(0,2),则AB+AF2的最小值为4√2 D,若点P(一3，)为C的左支上一点，则△PF,E,的内切圆的半径为写 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线1：x+4y一2=0与直线l2:x十m2y十m=0平行，则实数m= 13.在四棱柱ABCD-A1BCD1中，AA1⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB=AD= 2AA,=2,点E,F满足A它=)AB,A方=AD,则直线EF与底面ABCD 所成角的正弦值为 14.若数列{an}满足 L-1=d(n∈N,d为常数)，则称数列{an}为调和数列. aa 已知数列是为调和数列，且+十十…十e=4048,则十x阳的 最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知圆心为C的圆经过O(0,0),M(4,0),N(一2,2)三点. (1)求此圆的标准方程； (2)求直线x一y一2=0被此圆截得的弦长. 16.(15分) 记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=2一1. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tm 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,M为AC的中 点，AB=BC=2,AP=BP=3. (1)求证：AB⊥PM; (2)求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值. 18.(17分) 已知动点P与两定点A(2,0),B(一2,0)连线的斜率之积为一子，记P的轨 迹为曲线E. (1)求点P的轨迹E的方程； (2)设点F(-3,0),点N(3,),求PN+PF到的最大值： (3)过点M(3,0)作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点G.证 明：点G在定直线上 19.(17分) 已知在抛物线C:y2=2p.x(p>0)上有一系列点P(x1,y1),P2(x2y2),·, Pn(xm,yn),n∈N*,以点Pn为圆心的圆Pm与y轴都相切，且圆Pm与圆Pu+1 彼此外切.已知y=2,点P到C的焦点的距离为2,0<y+1<,a,= (1)求抛物线C的方程； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若6。=3，，证明：数列{6，}中任意不同的三项都不能构成 等差数列. 数学试题第4页（共4页）】 2024一2025学年度高二年级（上）·期末学情检测 数学参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B C D A AB ACD ABD 1.【答案】A 【解析】因为1：x一3y一1=0，所以其斜率为号，其倾斜角为吾。 2.【答案D 【解析】由题知a=2v2,由椭圆定义知PF,|十|PF2|=2a=4v2. 3.【答案C 【解析】由题知ag一a2=7d=1一8，解得d=一1. 4.【答案】B 【解析】显然b,c不共线，故可设a=b十沁，即(3,1，x)=m(一1,0,2)+n(0,1,1),所以m= -3,n=1,x=2m十n=-5. 5.【答案C m2-4>0, 【解析】由题知圆(x一m)2+(y十2)2=m2一4，点(2,0)在圆外，则有 解得m<-2 4-4m十8>0， 或2<m<3. 6.【答案】A 【解析】由等比数列前n项和的性质可得，S,S。一S,S一Sn成等比数列，则S。S S 8令即，-8解得S=12或S=一8含去 S0-41 7.【答案D 【解析】如图所示，易知OALBD,OC⊥BD,所以结合已知有OA⊥O艿，O元L 0i,Oi,0i》=,0i.0心=开，易知O=-2(0i+0心，0=号Oi+ OD),设正方形边长为2，所以OA=OB=OC=OD=2,OE=OF=1,cos(OE,O求)= 0元.0i_1Oi.Oi+0i.0i+0心.0i+0心.0d_0-2+2+0=2-2 1OE1·1OF4 1×1 数学答案第1页（共6页） 8.【答案】A 【解析】由抛物线定义知，AF=d,BF=d,因为∠AFB=,所以在△AFB中，由余弦定理 得ABP=d+6-2 dcos红=d片+5+dd,所以d+。) (d1+d2)2 di+d+d dz (d1+d2)2 (d1+d2)2-dd2 dd,又因为d+dP≥4dd,所以a4≤，当且仅当 dd 1-(d,+da d=d时等号度立，所以《七<，号放<2，所以的最大值为 ABI 11 9.【答案】AB 【解析】因为{an}是等比数列，所以T2=a1a2"a12=(a6a,)i=22=4,所以a6a,=4.又a6,a,∈ N*,a6a=4=1×4=2×2,所以a6,a1分别为1,4或4,1或2,2，所以a6十a2=4或5. 10.【答案】ACD 【解析将方程x2+y2一4x+1=0化为标准方程可得(x一2)2十y2=3,故圆(.x一2)2十y2=3的 圆心为C(2,0),半径为=3.设=k,则直线y=k红x与圆(x一2)2+y2=3有公共点，所以 2L≤3，解得一3<≤3，故A正确，B错误：代数式r十y的几何意义为圆(x一2)+ √R2+1 y2=3上的点P(x,y)到原点的距离的平方，又|OPx=OC十r=2+3,所以(x2+y2) (2+√3)2=7+43，C正确；设x十y=t,则直线x+y一t=0与圆(x-2)2+y=3有公共点， 所以2≤3，解得2-6≤1≤2+V6,所以x十y的最大值为2+6，D正确. √2 11.【答案】ABD 【解析】庙x一若=1(6>0)，得a=1.由其一条渐近线方程为y=3,得6=3，所以c V+F=2,离心率为e=台=2，A正确：双曲线C的方程为x2-背=1，当x=一2时y ±3，所以当AF⊥x轴时，AF,=3,B正确：根据双曲线定义可得|AF2一AF,|=2a=2, 所以|AF2|=2+|AF.又B(0,2),F1(-2,0),因此|AB+AF2=|AB引+AF+2≥ |BF|+2=22十2，当A是线段BF1与C的交点时，满足题意，此时|AB引十|AF2的最小值 为2√2+2，C错误；由点P(-3,t)为C的左支上一点，得P(-3,士2√6).由F(-2,0),得 |PF=5,|PF2|=2+|PF|=7,又|FF2=2c=4,因此△PFF2的周长为l=|FF2|+ 数学答案第2页（共6页）》 |PF,+PF=16,易知△PF,F的面积为Sm=号FFX26=46.设△PFF的 内切圆半径为r,则S△，5= =46，解得5D正确 12.【答案】2 m2=4, 【解析】因为直线l1:x十4y一2=0与直线l2:x十m2y十m=0平行，所以 解得m=2. m≠一2. 18【络幻图 【解析】如图，以A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x,y,z轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,1), D(0,2,0),AA=(0,0,1),AB=(2,0,1),AD=(0,2,-1),AE 2AB=(1,0,号)，A市=4A方=(0,2，-)，所以E求=+ AA+A方-(（-1,2，)由题知AA=(0,01)是平面ABCD的一个法向量，设直线EF与 底面ABCD所成角为0，则sin0-|cos(E求，A不1=京.AA /21 EFAA 21 ,即直线EF /21 V16 与底面ABCD所成角的正弦值为会。 14.【答案】2√2 【解析】因为数列 为调和数列，所以x+1一x=d,故{x}为等差数列.由x十x十x号十… +a=4048,得G士)X2024=4048,所以+=4，所以+m=4,放+ 2 x号021=4>2.x4x2021,故x4x221≤2.由于(x4十r22)2=x+x21十2x1x2021=4+2x4x202≤8， 此时x=x221=√2，故x4十x22的最大值为2√2， 15.(13分)【解析】(1)由题知圆心C在线段OM的垂直平分线上，故设圆心C为(2，y).·1分 又OC=CN|,即√22+y=√(2+2)2+(y-2)2,解得y=4,…3分 所以圆心C为(2,4)，半径r=2√5，…5分 所以圆C的方程为：(x一2)2十(y一4)2=20.… 6分 数学答案第3页（共6页）】 (2)则圆心C(2,4)到直线x一y-2=0的距离d=2-一4-2 W1+1 =22,…10分 所以直线被此圆截得的弦长=2√20一(2√2)2=43. 13分 16.(15分)【解析】(1)n=1时，a1=S1=1; 2分 当n≥2时，an=Sn-S-1=2-1-(2"-1-1)=2-1」 …5分 当n=1时，a1=S=1,满足， 听以am=21。… 6分 (2)由题知bn=2n·an=n·2,… 7分 所以Tm=1×21十2X22十3×23+…十n×2,… 8分 2Tn=1X22+2X23+3X2+…+nX2m+1,…8分 两式相减得-T。=2+22+2十…十2"一n×2+1=22）-X2-1.… 1-2 13分 所以T=(n1)2m叶1十2.…15分 17.(15分)【解析】(1)取AB中点N,连接PN,MN,则MN∥BC,而AB⊥BC, 故MN⊥BA.……2分 因为PA=PB,所以PV⊥AB.… 3分 又MN∩PN=N,MN,PNC平面PMV,所以AB⊥平面PMN. 因为PMC平面PMN,所以AB⊥PM.…5分 (2)因为平面PAB⊥平面ABC,PAB∩平面ABC=AB,PN⊥AB,所以PV⊥平面ABC 因为MNC平面PMN,所以PN⊥MN,故PN,AB,MN两两垂直，…7分 以N为原点，AB,MN,PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则V(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2√2)，M(0,1,0),C(1,2,0),BM=(-1,1,0), BC=(0,2,0),PB=(1,0,-22),PC=(1,2,-22).… …9分 设平面PBM的法向量为m=(x,y,之)， m·BM=0,〔-x+y=0, 则 即 取之=1，则m=(2√2,22,1).…11分 m·Pi=0,x-2√2x=0, 设平面PBC的法向量为n=(a,b,c), n·BC=0,2b=0, 则 即 取c=1,则n=(2√2,0,1)，…13分 n·PB=0,a-22c=0, 数学答案第4页（共6页） 所1以Ioxmn)1=调丹 9 =317 3×17 17 即平面PBM与平面PC夹角的余弦值为3 15分 18.17分)【解析】1D)设P(x,).则km一产2x≠2).km十2≠-2》.…1分 由m=得产2‘产2=一子整理得+y=1≠士2. 故点P的轨迹方程E为十y=1(x≠士2). …3分 (2)由(1)知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中a=2,b=1,c=4一1=3，…4分 故点F(一√3,0)为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F(W3,0). 因为3)” <1,所以点N在椭圆内.… 6分 由椭圆的定义得|PN|+|PF|=|PN|+2a-|PF|≤NFI+2a= 3 十4=号，当P,N,F三点共线(F在线段PN上)时取等号， 所以PN+PF的最大值为号. …9分 (3)设直线l的方程为x=ty+3,C(x1,y)、D(x2,2), x=ty+3, 由 +=1 得(t2+4)y+6ty+5=0, 所以y十为=一千1业=中4' 6t 5 10分 所以十为=一号为① 6 11分 由△=(6t)2-20(2+4)=16t-80>0,得t>5或t<-5. 易知直线AC的方程为y=”2红-2，@ 12分 直线D的方程为y三生x十2).圆……………13 13分 联立②③，消去y,得y二，2=少（十2，±号±-士）-+5y,④ 1-2 x2十2'x一22(x1-2)y2(ty+1)ty12+y2 …14分 数学答案第5页（共6页） 125 联立①④，消去，则+名= 6(y+)+5y 6+6y 3%-5y) 6 x-2 6(y十)+y 6-6y 日0-5) -5, 16分 解得x=专，即点G在定直线x=号上. 17分 19.(17分)【解析(1)P(号，2).设地物线C的焦点为F,根据题意可知PP川=号+多=-2，解得 D p=2,…2分 所以抛物线C的方程为y2=4x.… …3分 (2)因为圆P。与圆P+1彼此外切，所以√(xn一xn+1)+(yw,一y+1)=xn十x+1,…4分 则0.一+1)P=(z,十x)2-(x,-x+1)2=4rx1=. 4 …5分 因为0<1<，所以，一y+1=,即1-1= 2 …7分 因为=，所以数列 }是以2为首项，2为公差的等差数列，即=？ 3w2· 故am= n … (3)由题知b,=3市 ,假设数列{b.}中存在不同的三项bm,b,b.能构成等差数列，其中m<t< 1,m,l,n∈N°， ……10分 1 则n-≥1，n-m≥2.1-m≥1,373市=3高一3市→31-30=1-3→2·31-3" =1.… 12分 设n-t=x≥1，t-m=a≥1，则n一m=n-t十t一m=x+a, 得2…31-3m=2…3-3叶0=(2-30)·3，…14分 注意到α≥1→3≥3-→2-3°≤-1，x≥1→33， 则2·3-1一34-m=(2一3)·3≤一3， 这与2·3一‘一3一m=1矛盾，则数列{bn}中不存在不同的三项能构成等差数列.…17分 数学答案第6页（共6页）