专题 第五章一元一次方程章末重点题型复习（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

第五章 一元一次方程章末重点题型复习 题型一 等式与方程 题型二一元一次方程 题型三 解一元一次方程 题型四 配套问题 题型五 工程问题 题型六 销售盈亏问题 题型七 比赛积分问题 题型八 方案选择问题 题型九 数字问题 题型十 几何问题 题型十一 和差倍分问题 题型十二 水电费问题 题型十三 行程问题 题型十四 比例分配 题型十五 日历问题 题型一 等式与方程 1．下列等式变形，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：等式的性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 根据等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．若，则，变形正确，故选项不符合题意； B．若，则，变形正确，故选项不符合题意； C．若，则，变形正确，故选项不符合题意； D．若，当时，，变形错误，故选项符合题意； 故选：D． 2．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 3．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 4．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键． （1）利用等式的性质，方程两边同时减4，即可求解； （2）利用等式的性质，方程两边同时加3，化简后再同时乘，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同时减4，得：， 得：． （2）方程两边同时加3，得：， 化简，得：， 方程两边同时乘，得． 5．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 6．根据等式的性质解方程： (1)①； ② ； ③； (2)①； ② ； ③； (3) 【答案】(1)①；②；③ (2)①；②；③ (3) 【分析】题目主要考查根据等式的性质解方程，熟练掌握等式的性质是解题关键 （1）①根据等式的性质求解即可；②根据等式的性质求解即可；③根据等式的性质求解即可； （2）①根据等式的性质求解即可；②根据等式的性质求解即可；③根据等式的性质求解即可； （3）根据等式的性质求解即可 【详解】（1）① ； 解：两边加2，得， 即； ②； 解：两边减，得， 即； ③； 解：两边加，得， 两边减1，得； （2）①； 解：两边乘2，得； ②， 解：两边除以5，得； ③， 解：两边除以，得； （3）， 解：两边减，得， 两边加8，得， 两边除以2，得 题型二 一元一次方程 7．若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和绝对值，一元一次方程的未知数的指数为1，一次项系数不为0．根据一元一次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 9．方程与方程的解相等，求a的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的同解方程，解答本题的关键是理解方程的解．先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 【详解】解：由解得， ∴方程的解也是， ∴把代入， 得， 移项，得， 合并同类项，得系数化为1， 得， ∴故的值为4． 10．若是关于的一元一次方程,求的值. 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念和解法，掌握方程的两边都是整式，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义，判断出x的次数为1且系数不为0，求出m的值，再代入即可． 【详解】∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴． 11．是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】本题考查的是判断方程的解； （1）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； （2）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； 【详解】（1）解：当时，方程的左边， 右边， 方程左，右两边的值不相等， ∴不是方程的解； （2）解：当时，方程的左边， 右边，方程左，右两边的值相等， ∴是方程的解． 12．若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 题型三 解一元一次方程 13．解方程时，去分母，得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解方程．利用等式的基本性质，即等式的两边同时乘或除以同一个数（除外），等式的两边仍然相等，去分母即可． 【详解】解：两边同时乘以4得：， 故选：B． 14．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，进而得到求解，即可解题． 【详解】解：，解为， ， ， ， 即， 有， 解得， 故答案为：． 15．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并同类项，未知数的系数化为． （1）先去括号，再移项合并同类项，的系数化为，即可得到答案； （2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，的系数化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键， （1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1求解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得             移项、合并同类项，得             系数化为1，得． （2）解： 解：去分母，得             去括号，得             移向、合并同类项，得             化系数为1，得． 题型四 配套问题 19．2024年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有800名工人，负责生产、两种盲盒． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的3倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由3个盲盒和4个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产10个盲盒或20个盲盒，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套? 【答案】(1)该工厂生产盲盒的工人人数为250 (2)该工厂应该安排480名工人生产盲盒，320名工人生产盲盒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该工厂生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设该工厂安排名工人生产盲盒，名工人生产盲盒，根据盲盒大礼包由3个盲盒和4个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该工厂生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的人数为人． 根据题意，得． 解得 答：该工厂生产盲盒的工人人数为250． （2）解：设该工厂安排名工人生产盲盒，名工人生产盲盒． 根据题意，得． 解得， 则． 答：该工厂应该安排480名工人生产盲盒，320名工人生产盲盒． 20．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)七年级一班有男生28人，女生22人 (2)需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生x人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要m名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生x人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ∴（人）． 答：七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要m名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． 答：需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 21．某工厂现有15木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，现用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和三条桌腿组成，如果1木料可制作30个桌面，或制作60条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，求制作桌面的木料为多少立方米？ (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题： ①如果1木料可制作5个桌面，或制作30条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？ ②如果3木料可制作30个桌面，或制作240条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 【答案】(1)制作桌面的木料为 (2)①用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能使做好的桌面和桌腿恰好配套②用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，根据一张圆桌由一个桌面和三条桌腿组成，列出方程进行求解即可； （2）①设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，根据一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，列出方程进行求解即可； ②设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，根据一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，由题意，得： ， 解得：； 答：制作桌面的木料为； （2）①设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，由题意，得： ， 解得：； ∴， 答：用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能使做好的桌面和桌腿恰好配套； ②设木料制作桌面，则用的木料制作桌腿，由题意，得： ， 解得：， ∴， 答：用木料制作桌面，用的木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子． 22．列方程，解应用题： 木工成楠接了一笔定制餐桌的订单，制作一套餐桌需1张桌子和4把椅子，木材可制作5张桌子，或者制作10把椅子．现有木材，成楠正好将它们全部用完，且桌子与椅子正好配套，问成楠制作了几套餐桌？ 【答案】成楠制作了20套餐桌 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设用的木材制作桌子，则用制作椅子，根据一套餐桌需1张桌子和4把椅子，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设用的木材制作桌子，则用制作椅子，由题意，得： ， 解得：， ∴用的木材制作桌子，共可以制作张桌子； ∴成楠制作了20套餐桌； 答：成楠制作了20套餐桌． 23．七年级一班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少15人． 劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底30个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)每个盒身匹配2个盒底，问怎样分配人数，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)七年级一班有男生25人，女生20人 (2)需要人做盒身，则人做盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要人做盒身，则人做盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人，根据题意得， 解得 ∴ 答：七年级一班有男生25人，女生20人； （2）解：设需要人做盒身，则人做盒底，根据题意得， 答： （人） 答：需要人做盒身，则人做盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 24．某车间为提高生产总量，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的倍多人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产个螺栓或个螺母，个螺栓需要个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)名 (2)名工人生产螺栓，名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍多人”得：，求解即可； （2）设名工人生产螺栓，由“个螺栓需要个螺母”，可得，求解即可； 解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， ∴调入名工人， ∴（名）， 答：调整后车间共有名工人； （2）设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得：， ∴（名）， 答：名工人生产螺栓，名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 题型五 工程问题 25．列一元一次方程解决问题∶ 某部长篇小说分为上、中、下三册．印刷上、中、下三册的工作量之比为．其中，上册由甲车间单独印刷，用了，中册由乙车间单独印刷，用了．上、中两册印刷完成后，下册由甲、乙两车间合印，还需要多长时间可以完成全部印刷工作？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设还需要可以完成全部印刷工作，根据题意列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设还需要可以完成全部印刷工作， 由题意得，， 解得：． 答：下册由甲、乙两车间合印，还需要可以完成全部印刷工作． 26．一项工程，甲队单独完成需要30天，乙队单独完成需要20天，现甲队单独做5天后两队合作． (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费为1500元，乙队每天的施工费为2000元，求完成此项工程需付甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作10天才能完成该工程 (2)需付甲、乙两队共42500元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）由（1）知甲队一共做了15天，乙队一共做了10天，再结合题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作10天才能完成该工程， （2）解：由（1）知甲队一共做了15天，乙队一共做了10天， 所以， 即需付甲、乙两队共42500元． 27．甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 【答案】7个月 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．设甲队还需要个月完成任务，根据合作3天的工作量+甲队单独完成的工作量列方程求解即可． 【详解】解：设甲队还需要个月完成任务．根据题意，得 解这个方程，得 答：甲队还需要7个月完成任务． 28．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需30天．现甲队先单独做5天，接着两队合做，则甲、乙两队合做多少天才能把该工程完成？（列一元一次方程解决问题） 【答案】甲、乙两队还需合作天才能把该工程完成 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲、乙两队还需合作天才能把该工程完，根据工作总量工作效率工作时间，工作总量甲单独的工作量甲乙合作的工作量，列出方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队还需合作天才能把该工程完，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两队还需合作天才能把该工程完成． 29．甲队的8名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的5倍少30件，乙队的10名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的2倍多36件，若两队工人此月完成的总工作量相等． (1)此月人均定额工作量是多少件？ (2)甲乙两队人均实际工作量各为多少件？ 【答案】(1)件 (2)此月人均定额工作量是22件，甲队人均实际工作量是10件，乙队人均实际工作量是8件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设此月人均定额工作量是x件，根据两队工人此月完成的总工作量相等列方程求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设此月人均定额工作量是x件        解得 答：此月人均定额工作量是22件 （2）解：总工作量为（件） 甲队人均实际工作量为（件） 乙队人均实际工作量为（件） 答：甲队人均实际工作量是10件，乙队人均实际工作量是8件 30．为了迎接国家对恩施市教育“均衡验收”，某初中学校急需添置960套课桌椅，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙工厂每天加工的课桌椅套数是甲工厂每天加工课桌椅套数的倍，甲工厂加工完这批课桌椅比乙工厂多用20天．在费用方面需支付甲工厂每天80元，支付乙工厂每天130元． (1)求甲、乙两个工厂每天各能加工多少套课桌椅？ (2)距离“均衡验收”只有50天时间了，为了在验收前新课桌椅能及时到位，学校制定课桌椅加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成，在加工过程中，学校需派一名管理人员每天到厂进行监督与指导，并负担每天5元的午餐补助费．请帮助学校选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【答案】(1)甲工厂每天能加工16套，乙工厂每天能加工24套 (2)选择甲、乙两家工厂合作完成这批课桌椅比较合适，理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案． （1）设甲工厂每天能加工x套课桌椅，则乙工厂每天能加工套课桌椅，等量关系为：甲工厂单独加工完成这批产品的天数=乙工厂单独加工完这批产品的天数． （2）比较三种方案的价钱及相应的天数． 【详解】（1）解：设甲工厂每天能加工x套课桌椅，则乙工厂每天能加工套课桌椅， 依题意得：， 解得：， 检验：是原方程的一个解． 答：甲工厂每天能加工16套，乙工厂每天能加工24套． （2）解：甲工厂单独完成需（天），不符合题意； 乙工厂单独完成需（天），所需费用为（元）； 设他们合作完成这批课桌椅所用时为y天， 则：， 解得：， 所需费用为（元）． ∵， ∴选择甲、乙两家工厂合作完成这批课桌椅比较合适． 题型六 销售盈亏问题 31．开州商都新世纪超市用2820元购进、两种型号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标价如表所示： 价格类型 型 型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 (1)求这两种型号的热水袋各购进多少个？ (2)在销售过程中，、型热水袋均按标价九折出售，但在型热水袋卖出个后，恰逢“双十一”，商场决定剩余型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全部售出后超市共获得800元的利润，求的值． 【答案】(1)购进种型号热水袋36个，购进种型号热水袋24个 (2)8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设购进种型号热水袋个，根据购进种型号热水袋的进价购进种型号热水袋的进价总进价，列出方程求解即可； （2）根据销售种型号热水袋的利润销售种型号热水袋的利润总利润，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设购进种型号热水袋个，则购进种型号热水袋个， 由题意得，， 解得：， 购进种型号：（个）， 答：购进种型号热水袋36个，购进种型号热水袋24个． （2）解：由题意得，， 解得：， 的值为8． 32．2025年第9届哈尔滨亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．某商店现用9600元购进两种毛绒玩具一共100个，其中一个“滨滨”进价90元，一个“妮妮”进价100元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为130元/个、150元/个．当“滨滨”、“妮妮”各卖出个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按标价的八折出售．若购进的吉祥物毛绒玩具全部销售后利润刚好是3440元，求的值． 【答案】(1)购进“滨滨”40个，“妮妮”60个 (2)30 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意． （1）设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个， 根据题意， 解得， ∴， 答：购进“滨滨”40个，“妮妮”60个； （2）解：根据题意，得： ， 解得． 33．春节将至，西安某商场购进某品牌、两款服饰来销售．若款服饰比款服饰每件贵100元，购进2件款服饰和3件款服饰需支付1700元． (1)、两款服饰每件进价分别是多少元； (2)若商场购进、两款服饰各10件，每件均按照600元进行销售．一段时间后，商场准备年底清仓大甩卖，将剩下的服饰按6折销售完，若20件服饰总获利3800元，则商场打折销售的服饰共有多少件？ 【答案】(1)A款服饰每件进价是400元，B款服饰每件进价是300元 (2)商场打折销售的服饰是5件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设A款服饰每件进价是x元，则B款服饰每件进价是元，根据购进2件A和3件B需支付1700元，列出方程，解方程即可； （2）设商场打折销售的服饰是m件，根据总获利为3800元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A款服饰每件进价是x元，则B款服饰每件进价是元，根据题意得： ， 解得， ∴， ∴A款服饰每件进价是400元，B款服饰每件进价是300元； （2）解：设商场打折销售的服饰是m件，根据题意得： ， 解得， ∴商场打折销售的服饰是5件． 34．某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？ (2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售的？ 【答案】(1)该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件 (2)第二次纽荷尔是按原价打九折销售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设该超市第一次购进沃柑x件，则购进纽荷尔件，利用总价单价数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出该超市第一次购进沃柑的数量，将其代入中，可求出该超市第一次购进纽荷尔的数量； （2）设第二次纽荷尔是按原价打y折销售，利用总利润每件的销售利润销售数量（购进数量），可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进沃柑x件，则购进纽荷尔件， 根据题意得：， 解得：， ∴（件）， 答：该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件； （2）解：第一次获得的总利润（元）， 设第二次纽荷尔是按原价打y折销售， 根据题意得：， 解得：． 答：第二次纽荷尔是按原价打九折销售． 35．列方程解应用题：小希便利店第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元，甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件． (1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？ (2)该便利店第二次又购进相同数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元，甲种商品在原售价基础上涨价m元销售，乙种商品售价不变，且两种商品均销售完．若第二次两种商品获得的总利润比第一次获得的总利润多560元，求m的值． 【答案】(1)甲商品每件进价为15元，则乙商品每件进价为20元 (2)2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲商品每件进价为x元，则乙商品每件进价为元，根据用3800元购进了甲、乙两种商品建立方程求解； （2）先求出第一次的总利润，再根据第二次进价和售价的变化算出第二次的总利润，最后根据利润关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设甲商品每件进价为x元，则乙商品每件进价为元， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：设甲商品每件进价为15元，则乙商品每件进价为20元； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴若第二次两种商品获得的总利润比第一次获得的总利润多560元，m的值为2． 36．福州盆地盛产柑桔，福桔是福州市市果，汁多味甜，风味独特．某销售商为了扩大福桔销售量，开设实体店和线上两种销售渠道，包装方式及售价如下表所示，假设用这两种包装方式恰好包装完所有的福桔． 福桔重量 成本（元/盒） 售价（元/盒） 实体店礼盒装 3 15 40 线上礼盒装 5 25 50 (1)销售商第一批购进福桔全部售卖完毕，已知实体店比线上少卖40盒，实体店和线上各售出多少盒？ (2)已知实体店需要支付人工、房租等额外成本，每售卖一盒礼盒装，有10元的利润；而线上销售，需按销售额的向平台支付管理费（其它额外成本忽略不计）． ①若销售商第二批购进福桔，为了使全部售出后的总利润达到4700元，则实体店和线上应各售出多少盒？ ②销售商从第三次开始多批次购买，每批次均购进福桔，为回馈社会，实体店决定每卖出一盒，捐出a元进行助农活动．在线上和实体店全部售出的情况下，从第三批次起，每批次的销售利润始终不变，设实体店售出m盒，求a的值． 【答案】(1)实体店和线上各售出100盒，140盒 (2)①实体店和线上各售出200盒，180盒；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的应用： （1）设实体店售出x盒，则线上售出盒，根据线上和实体店的总重量为1000千克列出方程求解即可； （2）①设实体店售出m盒，则线上售出盒，根据总利润为4700元列出方程求解即可；②设实体店售出n盒，则线上售出盒，据此可得利润为（元），再根据利润不变即可得到答案． 【详解】（1）解；设实体店售出x盒，则线上售出盒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴实体店和线上各售出100盒，140盒； （2）解：①设实体店售出m盒，则线上售出盒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴实体店和线上各售出200盒，180盒； ②设实体店售出n盒，则线上售出盒， ∴销售的利润为 （元）， ∵从第三批次起，每批次的销售利润始终不变， ∴， ∴． 题型七 比赛积分问题 37．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ①根据信息填表（用含有x的式子表示）； 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)①，；②胜6场，平3场 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握理解题意，建立方程是解题的关键． （1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可；②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①由题意得平的场次为场，则积分为分，故填表为： 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②由题意得， 解得：， 所以胜6场，平3场； （2）解：设胜y场，则平场， 由题意得， 解得：， ∵场数不是整数，故不符合题意， ∴这支球队9场比赛的胜场总积不能等于它的平场总积分． 38．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 15 F 11 0 11 11 (1)填空：分析表中信息可知，球队胜一场积_______分，负一场积_______分． (2)求E队已经比完的11场比赛中的胜场数． (3)分析表中信息可知，D队已经赛了11场，积17分，若此次篮球比赛共赛18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)胜了4场 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了了一元一次方程的实际应用． （1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据F球队和A球队的比赛情况，列出方程计算即可． （2）设设E队已经比完的11场比赛中胜了x场．负场，根据题意，得，解方程即可． （3）设D队在18场比赛中胜了x场．若最终积分达到32分则， 解得．进而可得出后面还需胜8场即可，由表中数据可知D队已经比了11场，若全部赛完还需再比7场；而，因此D队积分不可能达到32分． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得：， 则胜一场积2分，负一场积1分， 故答案为：2；1． （2）解：设E队已经比完的11场比赛中胜了x场． ， 解得．． 答：E队已经比完的11场比赛中胜了4场 （3）解：设D队在18场比赛中胜了x场． 若最终积分达到32分，有：， 解得． 即D队在18场比赛中需胜14场最终积分才能达到32分． 由D队已经胜了6场，故后面还需胜8场； 由表中数据可知D队已经比了11场，若全部赛完还需再比7场； 而，因此D队积分不可能达到32分． 39．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分； (2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)她答对了道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者丁得88分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者戊说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分）， 答错1题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 则他答对了道题； （3）解：不可能，理由如下： 设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者戊说他得了80分，是不可能的． 40．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分． (2)参赛者得76分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)参赛者说他得80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)16道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者得76分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分）， 答错1题得：（分）， 故答案为：5，； （2）解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 答：他答对了16道题； （3）解：不可能，理由如下： 设他答对了道题，则答错了道题，， 由题意得：， 解得：，不符合题意， ∴参赛者说他得了80分，是不可能的． 41．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设胜一场积分，则负一场积分，根据队的积分建立方程，解方程即可得； （2）设胜场数为场，则负场数为场，根据某队的胜场总积分等于负场总积分建立方程，解方程求出的值，根据为整数即可得出答案． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分， 由题意得：， 解得， 则， 答：胜一场积2分，负一场积1分． （2）解：某队的胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得，不是整数，不符合题意， 所以某队的胜场总积分不能等于负场总积分． 42．学校组织知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 20 5 70 D 18 7 58 E 15 10 40 (1)每答对1道题得___________分，每答错1道题扣__________分． (2)同学F得76分，他答对几道题？ (3)同学G说他得了81分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)4，2 (2)同学F答对了21道题 (3)同学G不可能得81分，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键． （1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分=总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分； （2）设参赛者答对了x道题，答错了道题，根据答对的得分+加上答错的得分分建立方程求出其解即可； （3）假设他得81分可能，设答对了y道题，答错了道题，根据答对的得分+答错的得分分建立方程求出其解即可，注意y要为整数． 【详解】（1）解：由题意，得，答对一题的得分是：（分）， 答错一题的扣分为：（分）． 故答案为：4，2； （2）解：设参赛者答对了x道题，答错了道题，由题意得： ， ∴， ∴． 答：参赛者得76分，他答对了21道题； （3）解：假设他得81分可能，设答对了y道题，答错了道题， 由题意得， ∴， ∴， ∵y为整数， 而不是整数， ∴参赛者说他得81分，是不可能的． 题型八 方案选择问题 43．习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某研学社组织人员到某博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1800元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是80时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)若上述两种方案的收费是一样的，则参加研学的总人数是多少人？ 【答案】(1)采用方案一的收费为元；方案二的收费为元 (2)采用方案二更省钱，理由见解析 (3)当参加研学的总人数是90人时，采用两种方案的收费是一样的 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当时，两种方案花费的钱，比较即可得解； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：采用方案一的收费为元； 采用方案二的收费为元； （2）解：采用方案二更省钱， 理由如下： 当时，（元）； （元）． ， 采用方案二更省钱； （3）解：根据题意得：， 解得：． 答：当参加研学的总人数是90人时，采用两种方案的收费是一样的． 44．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交500元后，每人再收费280元． 方案二：10人免费，其余每人收费打九五折（九五折即原价的） (1)当参加研学的总人数是（）时，选择方案一需付费_____元，选择方案二需付费______元．（用含的代数式表示） (2)若参加研学的有甲、乙两个团队，且都超过100人，其中甲队人数比乙队人数多10人，但是花费的费用却是一样的多，请你通过计算，判断这样的情况是否存在，若存在，请计算乙队的研学人数；若不存在，请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)当乙队的研学人数为1230时，甲、乙两队的花费的费用可以是一样的多 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据所给的两种优惠方案分别计算出对应的费用即可； （2）根据（1）所求可知两个队选择的方案必然不同，则有甲选方案一，乙选方案二，甲选方案二，乙选方案一两种情况，据此分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，选择方案一需付费元， 选择方案二需付费元， 故答案为：；； （2）解：设乙队有y人，则甲队有人， 由（1）可知，两个方案的费用都随着人数的增加，费用也增加， ∴当两个队的花费相同时，两个队选择的方案必然不同， 当甲选方案一，乙选方案二时，则， 解得； 当甲选方案二，乙选方案一时，则， 解得（舍去）； 综上所述，当乙队的研学人数为1230时，甲、乙两队的花费的费用可以是一样的多． 45．为提倡同学们多参加挥拍运动，七年级三班计划购买羽毛球拍副和羽毛球盒（不少于盒）．现了解情况如下：两个商店都销售某种品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价都是元，羽毛球每盒定价都是元．经洽谈后，商店每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球；商店全部按定价的折优惠． (1)当为多少时，两个商店优惠办法付款一样？ (2)当分别为，时，去哪家商店购买更合算？请计算说明． 【答案】(1)当为时，两个商店优惠办法付款一样； (2)见解析 【分析】（）根据题意列出方程即可求出答案； （）用分别表示两家商店购买的费用，分别当和代入代数式即可判断； 本题考查了一元一次方程，列代数式及求代数式的值，正确找出题中的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：当为时，两个商店优惠办法付款一样； （2）解：商店购买：， 商店购买：， 当时， ∴商店购买：（元），商店购买：（元）， ∵， ∴在商店购买更合算； 当时， ∴商店购买：（元），商店购买：（元）， ∵， ∴在商店购买更合算． 46．某干果店销售A，B两种坚果，A种坚果每千克35元，B种坚果每千克25元．临近新年，该干果店准备开展新年促销活动，向顾客提供了以下两种优惠方案： 方案一：买A种坚果送B种坚果； 方案二：A，B两种坚果均打七折出售． 现有顾客要到该干果店购买A种坚果，B种坚果（）． (1)按方案一购买需要_________元，按方案二购买需要_________元．（用含的代数式表示） (2)购买B种坚果多少千克时，两种方案付款一样多？ 【答案】(1)， (2)购买B种坚果58千克时，两种方案付款一样多 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据两种优惠方案，分别列出代数式即可； （2）根据两种方案付款一样多，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：按方案一购买需要元； 按方案二购买需要元； 故答案为：，； （2）由题意，得：， 解得：； 答：购买B种坚果58千克时，两种方案付款一样多． 47．2024年火爆出圈的“广西小砂糖橘哈尔滨游学”带动了哈尔滨的旅游热，班老师们也准备组织学生前往哈尔滨“冰雪大世界”开展研学旅游活动，班老师们了解到，成人票每张300元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票需门票3900元． (1)问班一共去了几名老师？几名学生？（请用一元一次方程解决问题） (2)若班也想和班一起购票去“冰雪大世界”研学旅游，班有5名老师和24名学生．他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠．请你通过计算比较说明他们怎样购票更省钱． 【答案】(1)班一共去了名老师，名学生 (2)8个老师和22名学生购买团体票，22名学生购买半票更省钱 【分析】（1）设班有名老师，则有名学生，根据题意列方程求解即可； （2）分别算出正常费用和团购费用，进行比较即可求解． 本题主要考查一元一次方程的实际运用，理解数量关系，掌握一元一次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设班有名老师，则有名学生， ∴， 解得，， ∴（名）， ∴班一共去了名老师，名学生； （2）解：班有5名老师和24名学生， ∴不按团体购票的费用为：（元）， （元）， 一共的费用为（元）， 两个班组合按团体购买的费用为：（元）， 8个老师和22名学生购买团体票，22名学生购买半票，此时费用为： （元），（元）， 一共的费用为（元）， ∵， ∴8个老师和22名学生购买团体票，22名学生购买半票更省钱． 48．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备购买一批排球和跳绳，某体育用品店排球和跳绳的单价之和为元，排球的单价比跳绳的单价的5倍少元． (1)求排球和跳绳的单价各是多少元？ (2)某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的付款． ①已知要购买排球个，跳绳根． 若按A方案购买，一共需付款 元；若按B方案购买，一共需付款 元．（用含的式子表示） ②购买多少根跳绳时，两种方案所需要的钱数一样多？ 【答案】(1)排球的单价为元，则跳绳的单价为元 (2)①，；②根 【分析】本题主要考查了列代数式和列方程解决实际问题；解题的关键是根据题意正确列代数式． （1）设排球的单价为元，跳绳的单价为元，再由题意列方程求解即可； （2）①要购买排球个，跳绳根，按A方案购买，需付款的跳绳为根，根据单价列出代数式整理即可，按B方案购买，需付款的跳绳为根，根据单价列出代数式求出总价乘以，整理即可． ②由①列等式求解即可． 【详解】（1）设排球的单价为元，则跳绳的单价为元， 根据题意得：， 解得： ， （元）， 排球的单价为元，则跳绳的单价为元． （2）①A方案： B方案： ∴按 A方案购买需付款元，按 B方案购买需付款元， ②由题意可得：， 解得：， ∴购买根跳绳时，两种方案所需要的钱数一样多． 题型九 数字问题 49．两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下： 小王：设方框里的数为．可得： 小红：设方框里的数为．可得： 请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字． 【答案】小红正确，“”内的数字为 【分析】本题考查了一元一次方程，列代数式，设方框里的数为，则竖式中的乘数应该表示为，结果应该表示为，故小王错误，小红正确，再计算结果即可，熟练用未知数表示三位数是解题的关键． 【详解】解：设方框里的数为，则竖式中的乘数应该表示为，结果应该表示为， 故小王错误，小红正确， 解， 解得， 即“”内的数字为． 50．【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而，所以，化简得，解得，所以． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为___________；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键． （1）设①，则②，得出，再求出即可； （2）设，则，则，再求出即可． 【详解】（1）解：设①，则②， ，得， 解得：， 即， 故答案为：； （2）设 ，则 ， 而 ， ， 解得：， ． 51．观察下面三行数： 、、、、……；① 、、、、……；② 、、、、……；③ (1)第一行的第7个数可以表示为：______，第一行的第n个数可以表示为：______． (2)取每一行的第n个数，从上到下依次记作x、y、z，对于任意的正整数n均有，为一个定值，则______． (3)是否存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为？若存在，求出这一列数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，整式加减中的无关型问题，一元一次方程的应用（数字问题）等知识点，发现并总结数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律建立方程解决问题是解题的关键． （1）第①行中，从第二个数起，每一个数与前一个数的比为，从而可表示出第一行中第n个数，据此即可得解； （2）由题意可得，第②行的数字是第一行对应的数字乘，第③行的数字是第一行对应的数字加，设第①行的第n个数为x，则 ，第②行第n个数为，第③行第n个数为 ，对于任意的正整数n均有为一个定值，则是定值，进而可得，解方程即可求出的值； （3）由（1）可得，第①行第n个数为x，则第②、③行第n个数分别为，，再根据题意，由这三个数的和等于列出方程，解方程后略加判断即可得出结论． 【详解】（1）解：第①行数是（n是正整数）， 则第一行的第7个数可以表示为，第一行的第n个数可以表示为， 故答案为：， ； （2）解：由题意得：第②行数是第①行相应的数的倍， 即：（n是正整数）， 第③行数是第①行相应的数加1， 即：（n是正整数）， 设第①行的第n个数为x，则 ， 第②行第n个数为： ， 第③行第n个数为： ， 对于任意的正整数n均有为一个定值， 是定值， ， 解得： ， 故答案为：； （3）解：不存在， 理由如下： 由（1）可得：第①行第n个数为x，则第②、③行第n个数分别为，， 由题意可得：  ， 解得：， ∵第①行中， ∴不存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为． 52．观察下列三行数： ，2，，8，，32，…；① ，4，，16，，64，…；② 0，6，，18，，66，…；③ (1)第①行和第②行中的第8个数分别是________和________； (2)设第①行中的第n个数是x，则第②行和第③行中对应的第n个数分别是________和________； (3)取每行中的第n个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行中的第几个数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)128，256 (2)， (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，列出相应的方程，利用方程的知识解答． （1）根据题目中的数据可以发现第一行和第二行中数据的变化规律，从而可以写出第①行和第②行的第8个数分别是多少； （2）根据题目中的数据可以发现第一行和第二行中数据的变化规律，第（1）行中的第个数是，从而可以写出第②行和第③行中对应的第n个数分别是多少； （3）根据（2）中的结果可以求得这三个数的和能否等于． 【详解】（1）由题目中的数据可得， 第（1）行中的第1个数为， 第（1）行中的第2个数为， 第（1）行中的第3个数为， …… 第（1）行中的第个数为， 同理第（2）行中的第个数为， 同理第（3）行中的第个数为， ∴第（1）行和第（2）行中的第8个数分别是， 故答案为：128，256； （2）由（1）可知， 第（1）行中的第个数为， 第（2）行中的第个数为， 第（3）行中的第个数为， ∴知第（1）行中的第个数是，则第（2）行和第（3）行中对应的第个数分别是， 故答案为：，； （3）不能，理由如下： 取每行中的第个数，假设这三个数的和能等于， 令， 解得， ∵， 解得，方程无解． ∴每行第n个数相加的和不能等于． 53．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中的五个数的和是________，是中间数23的________． (2)十字框中的五个数之和能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)115，5 (2)能，389，403，405，407，421 【分析】此题考查有理数的加法计算，列代数式，解一元一次方程，正确理解图形中各数的关系是解题的关键． （1）将五个数相加即可得到答案； （2）分别用表示这五个数，列方程求解判断即可． 【详解】（1）解：， ， 十字框中的五个数的和是115，是中间数23的5倍， 故答案为：115；5； （2）解：可以，理由如下： 设中间的数为，若十字框中的五个数之和能等于2025，则有： ， ， ， 中间数字是405，正好位于第25行的第3个， ， 这五个数分别是389，403，405，407，421． 54．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程0.7化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即． 请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可， （2）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， 解得：， 即； （2）解：设， 则， ， ， 解得：， 即． 题型十 几何问题 55．综合运用：如图，在直角三角形中，，若，，．点从点开始以的速度沿的方向移动，终点为；点从点开始以的速度沿的方向移动，终点为．如果点，点同时出发，用表示移动时间． (1)点P到达终点时所需时间为 s，点Q到达终点时所需时间为 s； (2)若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，试求出t为何值时，； (3)点Q在运动时，试求出t为何值时，三角形的面积等于三角形面积的． 【答案】(1)9；14 (2) (3)或2秒时，三角形的面积等于三角形面积的 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，列代数式，熟练掌握运动规律是解题的关键． （1）分别计算出各自运动的路程，除以各自的速度就是所求的时间； （2）线表示出，，然后建立方程计算即可； （3）分点在和上，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：点到达终点时所需时间为：， 点到达终点时所需时间为：． 故答案为：9；14． （2）解：当P在线段上运动，Q在线段上运动时，，， ∵， ∴ ∴， ∴时，． （3）解：当在上时，， ∵三角形的面积等于三角形面积的， ∴得： 解得：． 当在上时，， ∴得： ， 解得：． 综上：或2秒时，三角形的面积等于三角形面积的． 56．如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1)20 (2)6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解； （2）根据点是线段的中点，得出，根据为的中点，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：设，由得， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：点是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 57．如图，数轴上点、表示的数分别是和4，点、为数轴上的动点．点以每秒3个单位长度的速度，从点出发沿数轴向右运动，点出发的同时，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿数轴向左运动．设点运动时间为秒． (1)、两点间的距离为______； (2)点对应的数为______，点对应的数为______（用含的代数式表示）； (3)当、两点相遇时，求的值． 【答案】(1)10 (2)， (3) 【分析】本题考查了数轴、列代数式、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得、两点间的距离等于点表示的数减去点的表示的数，计算有理数的减法即可得； （2）向右运动时，点表示的数等于点表示的数加上点运动的距离；向左运动时，点表示的数等于点表示的数减去点运动的距离，由此即可得； （3）当、两点相遇时，点对应的数与点对应的数相等，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵数轴上点、表示的数分别是和4， ∴、两点间的距离为， 故答案为：10． （2）解：∵点以每秒3个单位长度的速度，从点出发沿数轴向右运动，点出发的同时，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿数轴向左运动．点运动时间为秒， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，． （3）解：当、两点相遇时，点对应的数与点对应的数相等， 则， 解得， 所以的值为2． 58．已知为直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与点重合，直角边与射线重合，然后把三角尺绕点以每秒的速度按顺时针旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)当时，___________，当平分时，__________． (2)在旋转过程中，当时，求旋转的时间的值． 【答案】(1)42；5 (2)的值为5或 【分析】（1）先求出，再根据求出即可；先根据平分，求出，再求出，最后求出t即可； （2）分三种情况：当在下方时，当在上方时，在上方时，当在上方时，在下方时，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵，， ∴ ； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，， 当在下方时，，， ∵， ∴， 解得：； 当在上方时，在上方时，，， ∵， ∴， 解得：； 当在上方时，在下方时，，， ∵， ∴， ∴不可能是； 综上分析可知：当时，旋转的时间的值为5或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 59．利用一元一次方程解应用题：如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么最终剩余的长方形纸片的面积为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：剪去一个宽为的长条的面积剪去一个宽为的长条的面积，据此列方程，求出正方形的边长，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则有 ， 解得：， 剩余的长方形纸片的长为：（）， 剩余的长方形纸片的宽为：（）， 最终剩余的长方形纸片的面积为： （）， 答：最终剩余的长方形纸片的面积为． 60．两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，根据题意得出两点之间的距离是解题的关键． （1）先求出再根据长方形面积公式计算即可； （2）设点表示的数为，得出，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵两个长方形完全一样， ∴两个长方形的长和宽分别是， ∴长方形的面积为：； （2）解：设点表示的数为， ，， ∵， ∴， ∴ ∴点表示的数为 题型十一 和差倍分问题 61．周末，小明、小亮等同学随家人一同到公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话： 爸爸：成人门票每张35元，学生门票5折优惠，我们共12人，共需350元． 小明：爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式是否可以更省钱． 票价： 成人：35元/张，学生：按成人5折优惠 团体票：（16人以上含16人）按成人票6折优惠 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算用哪种方法买票更省钱？说明理由． 【答案】(1)去了8个成人，4个学生 (2)按16人买团体票更省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一共去了x个成人，则有个学生．根据“成人票与学生票共需350元”列出方程，求解即可； （2）计算购买16张团体票的花费，进行比较即可解答． 【详解】（1）解：设一共去了x个成人，则有个学生．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买16张团体票，需要（元） 而 ∴按16人买团体票更省钱． 62．图书角有一些科普书和文艺书，其中文艺书有28本，如果从图书角拿走 23 本科普书，那么文艺书的本数是剩下的科普书的．图书角原有科普书多少本？ 【答案】79本 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设图书角原有科普书x本，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设图书角原有科普书x本， 根据题意，得． 解得． 答：图书角原有科普书79本． 63．某校新进了一批课桌椅，七年级（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部分课桌椅，已知七年级（2）班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生搬运6张桌子或者搬运15把椅子．请解答下列问题： (1)七年级（2）班男生、女生分别有多少人？ (2)一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个学生搬运椅子？ 【答案】(1)七年（2）班有男生22人、女生23人 (2)应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设女生有人，根据男生人数比女生人数的2倍少24人得到男生人数，再利用总人数建立方程求解即可； （2）设分配名学生搬运桌子，可得人搬运椅子，利用搬运的桌子和椅子刚好配套，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设女生有人， 由题意得：， 解得， （人）， 答：七年（2）班有男生22人、女生23人； （2）解：设分配名学生搬运桌子， 由题意得：， 解得， （名）， 答：应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子． 64．解应用题 (1)甲、乙两人到书店买书，两人所带钱数总和为138元，甲买一本英汉词典用去所带钱的，乙买一本同步练习册花了18元钱，这样两人剩下的钱一样多，问：甲、乙两人买书各带了多少钱？ (2)甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，两车的速度比是，甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇，问两地相距多少千米？ 【答案】(1)甲带了84元，则乙带了54元 (2)两地相距176千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲带了元，则乙带了元，根据两人剩下的钱一样多列方程，然后进行计算即可解答； （2）设两地相距千米，根据“甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇”列方程，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设甲带了元，则乙带了元， 由题意得：， 解得：， 当时，（元）， ∴甲带了84元，则乙带了54元； （2）解：设两地相距千米， 由题意得：， 解得：， 答：两地相距176千米． 65．用甲乙两种机器生产同一种零件，已知3台甲型机器生产一天的零件恰好能装满5箱，5台乙型机器生产一天的零件能装满7箱还余下6个零件． (1)若每台甲型机器比每台乙型机器一天多生产2个零件，求每箱能装多少个零件． (2)在（1）的情况下，求2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产的零件数． 【答案】(1)12个 (2)2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产的零件数为个 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及有理数四则混合运算的应用，找出等量关系是解答本题的关键． （1）设每箱能装个零件，根据“每台甲型机器比每台乙型机器一天多生产2个零件”列出方程求解即可； （2）分别求出甲乙两种型号机器每天的平均产量即可解答本题． 【详解】（1）解：设每箱能装个零件，由题意得 解得， 答：每箱能装12个零件； （2）解：由（1）可知，1台甲型机器一天生产的零件数为个， 1台乙型机器一天生产的零件数为个， 所以，（个） 答：2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产94个零件． 66．用方程解决实际问题： 年月，某校在社会实践基地开展“三农”研学活动． (1)在雨花茶生产基地研学的有人，在艺莲苑研学的有人，现调来人支援，要使雨花茶生产基地研学的人是艺莲苑研学的人数的倍，应往雨花茶生产基地、艺莲苑两处各调去多少人？ (2)有甲、乙两个班的学生参加“刨红薯”的劳动，一块地的红薯由甲班单独刨完需要小时、由乙班单独刨完需要小时，乙班先干小时后，甲班才赶到田地，甲班随即加入劳动，请问甲班加入劳动后，两个班还需要多少小时才能全部刨完？ 【答案】(1)应往雨花茶生产基地调去人，往艺莲苑调去人； (2)． 【分析】（）设应往雨花茶生产基地调去人，则往艺莲苑调去人，根据调配后雨花茶生产基地研学的人是艺莲苑研学的人数的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （）设两个班还需要小时才能全部刨完，利用甲班完成的工作量乙地完成的工作量共工作量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设应往雨花茶生产基地调去人，则往艺莲苑调去人， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：应往雨花茶生产基地调去人，往艺莲苑调去人； （2）解：设两个班还需要小时才能全部刨完， 根据题意得：， 解得：， 答：两个班还需要小时才能全部刨完． 题型十二 水电费问题 67．2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． (1)若小石在该充电桩充电2.5小时，需支付费用多少元？ (2)若小石在该充电桩充电（）小时，需支付费用_____元（用含有的代数式表示）． (3)小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩连续充电共10小时（第一周充电时长超过第二周），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 【答案】(1)7.5元 (2) (3)小石第一周和第二周各充电7小时和3小时 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）利用收费方式，列式计算即可； （2）根据收费方式，列出代数式即可； （3）设第一周充电小时，第二周充电小时，分两种情况：第二周充电时间小于等于4小时和第二周充电时间大于4小时小于5小时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（元）； 答：需支付费用元； （2）元； 故答案为：； （3）设第一周充电小时，第二周充电小时， ∵第一周充电时长超过第二周， ∴第一周充电时长大于5小时，第二周充电时长小于5小时， 当第二周充电时长小于等于4小时时：， 解得：， 则：； 当第二周充电时长大于4小时小于5小时时：， 此方程无解； 答：小石第一周和第二周各充电7小时和3小时． 68．喀什市是一个水资源严重短缺的城市，随着经济的飞速发展，人口的增长，人民生活水平的提高，水资源的供需矛盾愈加凸显，水资源的利用效率有待提高．为充分发挥价格机制在促进水资源的节约，决定居民用水实行阶梯计价，阶梯水价如下表： 收费方式 年用水量/ 费用/（元/） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 例如：若某居民的一年年用水量为，应交水费为元； 若某居民的一年年用水量为，应交水费为元．以此类推． (1)若某户居民的一年用水量为，则该户居民一年应交水费多少元？（用表示） (2)已知某户居民一年的水费为元，这户居民的年用水量是多少？ 【答案】(1)元 (2)这户居民的年用水量是 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据第一阶梯的费用加上第二阶梯的费用，即可求解； （2）先计算这户居民的年用水量的范围，得出这户居民的年用水量超过，设这户居民的年用水量是，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：某户居民的一年用水量为， 该户居民一年应交水费元 （2）解：∵ ∴这户居民的年用水量超过 设这户居民的年用水量是，根据题意得， 解得： 答：这户居民的年用水量是 69．某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 【答案】(1)，216 (2)小慧家2024年的用水量为320立方米． 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示用水190立方米应付的水费并且求出a的值是解题的关键． （1）由用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元，得，求得；而用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元，据此列方程，求得，于是得到问题的答案； （2）设小慧家2024年的用水量为y立方米，由算式求得用水300立方米时的水费为1104元，可知小慧家2024年的用水量超过300立方米，则列方程，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元， ∴， 解得， ∴第一阶梯的水价为元/立方米， ∵小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元， ∴， 解得， 故答案为：，216； （2）解：设小慧家2024年的用水量为y立方米， ∵（元）， ∴用水300立方米时，水费为1104元， ∵2024年小慧家共交水费1246元，且1246元>1104元， ∴小慧家2024年的用水量超过300立方米， 根据题意得， 解得， 答：小慧家2024年的用水量为320立方米． 70．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如下表所示的标准收取水费： 月用水量 单价/（元/） 不超过 超过的部分 另：每立方米用水加收元的城市污水处理费 (1)如果月用水量不超过，那么实际每立方米收取水费_____元；如果7月份嘉淇家的用水量为，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费_____元． (2)如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？ (3)若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有的用水量计入水表中，这样她家在9月份只缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？ 【答案】(1)； (2)嘉淇家8月份用水． (3)嘉淇家9月份实际应该缴水费80元． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并列出方程求解． （1）每立方米用水加收元的城市污水处理费，知不超过的水费为3元，超过的部分水费为4元，用单价乘以用水量可得此用户应缴费用； （2）设嘉淇家8月份用水，先根据费用判断出用水量所处范围，再列出方程求解可得； （3）设嘉淇家9月份实际用水，由判断出该用户上交水费的单价为3元，再列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：因为每立方米用水加收元的城市污水处理费， 则不超过的水费为3元，超过的部分水费为4元． 7月份嘉淇家的用水量为，嘉淇家7月份应该缴纳水费（元）， 故答案为：3；45； （2）解：嘉淇家8月份共缴纳水费72元，设8月份用水，而，则， 根据题意，得：， 解得：， 答：嘉淇家8月份用水． （3）解：设嘉淇家9月份实际用水， ∵， ∴嘉淇家上交水费的单价为3元， 由题意：， 解得：， ∴嘉淇家9月份实际应缴纳水费：元， 答：嘉淇家9月份实际应该缴水费80元． 71．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过吨的部分 元吨 超出吨不超出吨的部分 元吨 超出吨的部分 元吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民月份用水吨，则该用户月应交水费元；月份用水吨，则该用户月应交水费元；月份用水吨，则该用户月应交水费________元； (2)若该户居民月份应交水费元，求该用户月份用水量； (3)若该户居民月份应交水费元，该用户月份用水量是 吨； (4)若该户居民月份、月份共用水吨，共交水费元，且月份用水不超过吨，求月份、月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)，， (2)该用户9月用水量为吨； (3) (4)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用． （1）该户居民月份用水吨，应交水费应是不超过吨的部分的费用；该户居民月份用水吨，应交水费应是不超过吨的部分和超出吨不超出吨的部分的费用之和，月份用水吨，则该用户月应交水费为不超过吨的部分和超出吨不超出吨的部分以及超出吨的部分的费用之和，分别列式计算即得答案； （2）若该户居民月份应交水费元，判断应交水费应是不超过吨的部分和超出吨不超出吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （3）先判断该用户月份用水量超过吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （4）设该用户月份用水量为吨，则月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）若该户居民月份用水吨，则该用户月应交水费（元） 月份用水吨，则该用户月应交水费（元） 月份用水吨，则该用户月应交水费（元） 故答案为：，，． （2）设该用户月用水量为吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 答：该用户月用水量为吨； （3）设该用户月用水量为吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户月用水量为吨； 故答案为：． （4）设该用户月份用水量为吨，则月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：月份应交水费元，月份应交水费元． 72．列方程解决问题： 为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： (1)若小明家年用水量为立方米，则该家庭全年缴费金额为______元； (2)若小华家年全年缴费金额为元，小华家年用水量是多少立方米？ 【答案】(1) (2)立方米 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题中的收费标准计算； （2）根据“小华家年水费为元”列方程求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：1040； （2）解：设小华家年用水量为x立方米， ∵， ∴， 则：， 解得：， 答：小华家年用水量为302立方米． 题型十三 行程问题 73．列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 【答案】爸爸追上小明用了，追上小明时，距离学校还有 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设小明爸爸追上小明用了，根据题意列出方程求解即可求解． 【详解】解：设爸爸追上小明用了， 依题意有， 解得． 则， 答：爸爸追上小明用了，追上小明时，距离学校还有． 74．“车辆左转弯”“请注意”……首批级无人驾驶配送车成了街头“显眼包”．开启了智慧物流新时代，催生了快递行业的高速发展． 无人驾驶配送车的前后探头在抓拍范围之内会发出“车辆行驶中，请保持车距”的提示音．小明坐在爸爸的车上，注意到车前方处有一辆无人驾驶配送车以的速度在道路上正常行驶，好奇的小明让爸爸以的速度追上去探个究竟，请问小明多长时间后开始听到“车辆行驶中，请保持车距”的提示音．（请用一元一次方程解决问题） 【答案】小明后开始听到“车辆行驶中，请保持车距”的提示音 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设后开始听到“车辆行驶中，请保持车距”的提示音，根据题意，小明爸爸的车追上配送车的路程为，由此列出方程，解方程即得答案． 【详解】解：设后开始听到“车辆行驶中，请保持车距”的提示音， 根据题意得：， 解得：， 答：小明后开始听到“车辆行驶中，请保持车距”的提示音． 75．小明骑自行车从地到地，小伟骑自行车从地到地，两人沿同一公路匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午9时，两人相距，到上午10时，两人又相距．若设，两地相距的路程为． (1)上午9时，小明和小伟两人的行程之和为_____（用含的式子表示）； (2)上午10时，小明和小伟两人的行程之和为_____（用含的式子表示）； (3)根据“两人的速度和不变”可列方程_______； (4)A，B两地相距的路程为_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式： （1）根据题意可得上午9时，两人走的路程之和为两地的路程减去，中午10时，两人走的路程之和为两地路程加上，据此可得答案； （2）根据（1）即可得到答案； （3）根据速度等于路程除以时间，分别用上午9时和10时的路程除以对应的行驶时间得到对应的速度，再根据速度不变即可建立方程； （4）根据（3）所求解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵两人在上午8时同时出发，到上午9时，两人相距，到上午10时，两人又相距， ∴上午9时，两人的行程之和为两地的路程减去，上午10时，两人的行程之和为两地的路程加上， ∴上午9时，小明和小伟两人的行程之和为； （2）解：由（1）可知上午10时，小明和小伟两人的行程之和为； （3）解：由题意得，； （4）解：∵， ∴， 解得， ∴A，B两地相距的路程为． 76．甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营的一号营地出发，每小时行进；乙队从距大本营的二号营地出发，每小时行进．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 【答案】后，甲队在途中追上乙队 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设两队行进的时间为，根据“路程速度时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为和从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为和．甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程乙队距大本营的路程，列出方程求解即可． 【详解】解：设两队行进的时间为，根据题意： ． 解得： 答：后，甲队在途中追上乙队． 77．如图是两张不同类型火车车票：（“次”表示动车，“次”表示高铁）． (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向 （填“相同” 或“不同”），出发时刻相差 小时； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A、B两地之间的距离（列方程解决问题）； (3)在（2）的条件下，请直接写出在 时刻两车相距． 【答案】(1)相同， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），有理数减法的实际应用，有理数乘法的实际应用等知识点，理解题意，正确列出一元一次方程，并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据车票提供的信息进行分析即可得解； （2）设动车行驶的时间为小时，则高铁行驶的时间为小时，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）设在动车出发小时后，两车相距，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：两车行驶方向相同，出发时刻相差（小时） 故答案为：相同，； （2）解：设动车行驶的时间为小时，则高铁行驶的时间为小时， 由题意可得：， 解得：， ∴A、B两地之间的距离为； （3）解：设在动车出发小时后，两车相距， 分三种情况讨论： 当高铁没有出发时两车相距，则：， 解得：， 此时时间为； 当高铁追上动车之前两车相距，则：， 解得：， 此时时间为； 当高铁追上动车之后两车相距，则：， 解得：， 由（2）可得：动车行驶的时间为3小时，故不符合题意，舍去； 综上所述，在或时两车相距， 故答案为：或． 78．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务： 【背景】 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为米到米之间． 【素材1】 某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线弯道半径为36米的标准跑道（如图）．小刚同学计算了各圈（各跑道内圈边线）的长（取，结果保留1位小数）． 第一圈长：（米）； 第二圈长：（米）； 第三圈长：（米）． 【素材2】 小刚紧靠第一圈边线逆时针跑步，教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所在跑道内侧边线长计路程），在图中起跑线的位置同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．已知教练平均速度与小刚平均速度之比为． 【问题解决】 以下各题中，取3.14，结果保留一位小数． 【任务1】 （1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？ （2）小刚计算的第八圈的长是多少米？ 【任务2】 （3）小刚与教练的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇） 【答案】（1）米（2）米（3）小刚平均速度为米/秒，教练的平均速度为米/秒 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用； （1）第三圈半圆形弯道长减去第一圈半圆形弯道长，即可求解； （2）由前三圈的跑道长得，即可求解； （3）设教练的平均速度为米/秒，小刚平均速度为米/秒，由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇，那么两人一定在左边的直道上相遇，等量关系式：两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆跑道长度的差，据此列方程，即可求解； 理解题意，找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得 （米）， 答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多米； （2）由题意得 （米）， 答：小刚计算的第八圈的长是米； （3）教练平均速度与小刚平均速度之比为 设教练的平均速度为米/秒，小刚平均速度为米/秒，由题意得 解得：， （米/秒）， （米/秒）， 答：小刚平均速度为米/秒，教练的平均速度为米/秒． 题型十四 比例分配 79．在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据喜欢5大科学主题的人数为48列方程求解即可． 【详解】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 80．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 81．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 82．【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，列方程即可求解. 【详解】解：设甲仓库存化肥的质量为吨；乙仓库存化肥的质量为吨；依题意得： ， 解得：， 乙仓库存化肥的质量为吨， 答：乙仓库原来存化肥吨 83．学校把一批花按分配给五年级和六年级同学栽种．已知六年级比五年级多分了棵．五、六年级各分了多少棵？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设五年级和六年级各分了棵和棵，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设五年级和六年级各分了棵和棵， 根据题意，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， 五、六年级各分了棵和棵． 84．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为153本． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设甲捐书 本，则乙捐书 本，丙捐书为本，根据他们共捐374本，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为本， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴，，， 答：甲捐书85本，乙捐书136本，丙捐书为153本．． 题型十五 日历问题 85．把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 【答案】(1) ，， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大7，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； （2）解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第8行第1个数， ∴符合题意； （3）解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于156，则 ， 解得， 因为35是第5行最后一个数， 所以不符合题意， 因而不能． 86．从某个月的月历表中取一个方框． (1)已知这个方框所围成的个日期之和为，求这个日期； (2)这个方框所围成的个日期之和可能为吗？ 【答案】(1)这个方格的日期为，，，； (2)这个方框所围成的个日期之和不可能为，理由见解析． 【分析】（）设这个方框所围成的个日期分别为，，，，根据题意列出方程，然后求解即可； （）设这个方框所围成的个日期分别为，，，，根据题意列出方程，然后求解并检验即可； 本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个方框所围成的个日期分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， 答：这个方格的日期为，，，； （2）解：这个方框所围成的个日期之和不可能为，理由， 设这个方框所围成的个日期分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， 因为在最右边，不符合方框， 所以这个方框所围成的个日期之和不可能为． 87．如图是某年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为，“田”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为． 【初步探究】 （1）“T”型阴影覆盖的其他三个数分别为______、______、______（用含的代数式表示）； （2）“T”型阴影覆盖的四个数字之和___________（用含的代数式表示），“田”型阴影覆盖的四个数字之和___________（用含的代数式表示）， 【综合运用】 （3）值能否为51，若能，求的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）或 【分析】本题考查了整式的加减的应用，一元一次方程的应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）由表格得“T”型阴影覆盖的三个数之间的差值，即可求解； （2）先用代数式表示出“田”型阴影覆盖的四个数字，再分别利用整式的加法计算即可； （3）先由整式的加减得到，解方程得到，再分类讨论． 【详解】（1）解：由表格得“T”型阴影覆盖的其他三个数分别为：； 故答案为：； （2）解：， “田”型阴影覆盖的四个数字分别为： ∴“田”型阴影覆盖的四个数字之和 故答案为：，； （3）解：能，理由如下： 由（2）可得， 若，则 所以 解得 因为均为正整数， 当时，满足条件； 当时，不能构成“田”型阴影； 当时，不能构成“T”型阴影； 当时，不能构成“T”型阴影； 当时，满足条件． 所以，的值能为51，此时或． 88．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 【答案】(1)68 (2)； (3)能等于2025，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． （1）由可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据，代入2025求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值能等于2025． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴； 故答案为：68； （2）解：由题意得，，，； ∴， ∴； （3）解：能等于2025，理由如下： ∵， 当时，， ∵405为奇数，，所以2025在第34行第5列， ∴的值能等于2025． 89．如图1，这是某年月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 (3)是， 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减和一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，于是结论得证； （2）设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，令，解得，则，根据月历中没有数值即可得出结论； （3）设，则，，，，然后代入，运用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：这五个数的和能被5整除，理由如下： 设，则，，，， ∴， ∵是5的倍数， ∴能被5整除， ∴这五个数的和能被5整除； （2）解：不能，理由如下： 设，则，，，， ∴， 当时， 解得：， ∴， ∵月历中没有数值， ∴“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和不能是； （3）解：代数式的值为定值，理由如下： 设，则，，，， ∴ ， ∴代数式的值为定值，它的值为． 90．在月历中，每个字母都代表某个具体日期 日 一 二 三 四 五 六 a e c x d f b 表（1） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 表（2） (1)在表（1）中任意框出五个数，则 ，这5个数的和为 （都用含的式子表示）； (2)在表（1）中，的和与的关系是什么？通过计算说明； (3)已知表（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【答案】(1)， (2) (3)中间那个数为 【分析】本题考查了整式的加减的应用、一元一次方程的应用． （1）表示出，，，，再求和即可得解； （2）表示出，，再求出即可得解； （3）由题意得出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在表（1）中任意框出五个数，则，，，， 故这5个数的和为； （2）解：由题意可得：，， ∴； （3）解：由题意可得：， 解得：， 故中间那个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程章末重点题型复习 题型一 等式与方程 题型二一元一次方程 题型三 解一元一次方程 题型四 配套问题 题型五 工程问题 题型六 销售盈亏问题 题型七 比赛积分问题 题型八 方案选择问题 题型九 数字问题 题型十 几何问题 题型十一 和差倍分问题 题型十二 水电费问题 题型十三 行程问题 题型十四 比例分配 题型十五 日历问题 题型一 等式与方程 1．下列等式变形，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 3．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 4．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 5．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 6．根据等式的性质解方程： (1)①； ② ； ③； (2)①； ② ； ③； (3) 题型二 一元一次方程 7．若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 9．方程与方程的解相等，求a的值． 10．若是关于的一元一次方程,求的值. 11．是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 12．若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 题型三 解一元一次方程 13．解方程时，去分母，得（　　） A． B． C． D． 14．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 15．解方程 (1)； (2)． 16．解方程： (1) (2) 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 题型四 配套问题 19．2024年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有800名工人，负责生产、两种盲盒． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的3倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由3个盲盒和4个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产10个盲盒或20个盲盒，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套? 20．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 21．某工厂现有15木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，现用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和三条桌腿组成，如果1木料可制作30个桌面，或制作60条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，求制作桌面的木料为多少立方米？ (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题： ①如果1木料可制作5个桌面，或制作30条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？ ②如果3木料可制作30个桌面，或制作240条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 22．列方程，解应用题： 木工成楠接了一笔定制餐桌的订单，制作一套餐桌需1张桌子和4把椅子，木材可制作5张桌子，或者制作10把椅子．现有木材，成楠正好将它们全部用完，且桌子与椅子正好配套，问成楠制作了几套餐桌？ 23．七年级一班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少15人． 劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底30个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)每个盒身匹配2个盒底，问怎样分配人数，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 24．某车间为提高生产总量，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的倍多人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产个螺栓或个螺母，个螺栓需要个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 题型五 工程问题 25．列一元一次方程解决问题∶ 某部长篇小说分为上、中、下三册．印刷上、中、下三册的工作量之比为．其中，上册由甲车间单独印刷，用了，中册由乙车间单独印刷，用了．上、中两册印刷完成后，下册由甲、乙两车间合印，还需要多长时间可以完成全部印刷工作？ 26．一项工程，甲队单独完成需要30天，乙队单独完成需要20天，现甲队单独做5天后两队合作． (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费为1500元，乙队每天的施工费为2000元，求完成此项工程需付甲、乙两队共多少元？ 27．甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 28．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需30天．现甲队先单独做5天，接着两队合做，则甲、乙两队合做多少天才能把该工程完成？（列一元一次方程解决问题） 29．甲队的8名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的5倍少30件，乙队的10名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的2倍多36件，若两队工人此月完成的总工作量相等． (1)此月人均定额工作量是多少件？ (2)甲乙两队人均实际工作量各为多少件？ 30．为了迎接国家对恩施市教育“均衡验收”，某初中学校急需添置960套课桌椅，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙工厂每天加工的课桌椅套数是甲工厂每天加工课桌椅套数的倍，甲工厂加工完这批课桌椅比乙工厂多用20天．在费用方面需支付甲工厂每天80元，支付乙工厂每天130元． (1)求甲、乙两个工厂每天各能加工多少套课桌椅？ (2)距离“均衡验收”只有50天时间了，为了在验收前新课桌椅能及时到位，学校制定课桌椅加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成，在加工过程中，学校需派一名管理人员每天到厂进行监督与指导，并负担每天5元的午餐补助费．请帮助学校选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 题型六 销售盈亏问题 31．开州商都新世纪超市用2820元购进、两种型号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标价如表所示： 价格类型 型 型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 (1)求这两种型号的热水袋各购进多少个？ (2)在销售过程中，、型热水袋均按标价九折出售，但在型热水袋卖出个后，恰逢“双十一”，商场决定剩余型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全部售出后超市共获得800元的利润，求的值． 32．2025年第9届哈尔滨亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．某商店现用9600元购进两种毛绒玩具一共100个，其中一个“滨滨”进价90元，一个“妮妮”进价100元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为130元/个、150元/个．当“滨滨”、“妮妮”各卖出个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按标价的八折出售．若购进的吉祥物毛绒玩具全部销售后利润刚好是3440元，求的值． 33．春节将至，西安某商场购进某品牌、两款服饰来销售．若款服饰比款服饰每件贵100元，购进2件款服饰和3件款服饰需支付1700元． (1)、两款服饰每件进价分别是多少元； (2)若商场购进、两款服饰各10件，每件均按照600元进行销售．一段时间后，商场准备年底清仓大甩卖，将剩下的服饰按6折销售完，若20件服饰总获利3800元，则商场打折销售的服饰共有多少件？ 34．某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？ (2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售的？ 35．列方程解应用题：小希便利店第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元，甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件． (1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？ (2)该便利店第二次又购进相同数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元，甲种商品在原售价基础上涨价m元销售，乙种商品售价不变，且两种商品均销售完．若第二次两种商品获得的总利润比第一次获得的总利润多560元，求m的值． 36．福州盆地盛产柑桔，福桔是福州市市果，汁多味甜，风味独特．某销售商为了扩大福桔销售量，开设实体店和线上两种销售渠道，包装方式及售价如下表所示，假设用这两种包装方式恰好包装完所有的福桔． 福桔重量 成本（元/盒） 售价（元/盒） 实体店礼盒装 3 15 40 线上礼盒装 5 25 50 (1)销售商第一批购进福桔全部售卖完毕，已知实体店比线上少卖40盒，实体店和线上各售出多少盒？ (2)已知实体店需要支付人工、房租等额外成本，每售卖一盒礼盒装，有10元的利润；而线上销售，需按销售额的向平台支付管理费（其它额外成本忽略不计）． ①若销售商第二批购进福桔，为了使全部售出后的总利润达到4700元，则实体店和线上应各售出多少盒？ ②销售商从第三次开始多批次购买，每批次均购进福桔，为回馈社会，实体店决定每卖出一盒，捐出a元进行助农活动．在线上和实体店全部售出的情况下，从第三批次起，每批次的销售利润始终不变，设实体店售出m盒，求a的值． 题型七 比赛积分问题 37．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ①根据信息填表（用含有x的式子表示）； 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 38．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 15 F 11 0 11 11 (1)填空：分析表中信息可知，球队胜一场积_______分，负一场积_______分． (2)求E队已经比完的11场比赛中的胜场数． (3)分析表中信息可知，D队已经赛了11场，积17分，若此次篮球比赛共赛18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 39．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分； (2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 40．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分． (2)参赛者得76分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)参赛者说他得80分，你认为可能吗？为什么？ 41．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 42．学校组织知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 20 5 70 D 18 7 58 E 15 10 40 (1)每答对1道题得___________分，每答错1道题扣__________分． (2)同学F得76分，他答对几道题？ (3)同学G说他得了81分，你认为可能吗？为什么？ 题型八 方案选择问题 43．习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某研学社组织人员到某博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1800元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是80时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)若上述两种方案的收费是一样的，则参加研学的总人数是多少人？ 44．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交500元后，每人再收费280元． 方案二：10人免费，其余每人收费打九五折（九五折即原价的） (1)当参加研学的总人数是（）时，选择方案一需付费_____元，选择方案二需付费______元．（用含的代数式表示） (2)若参加研学的有甲、乙两个团队，且都超过100人，其中甲队人数比乙队人数多10人，但是花费的费用却是一样的多，请你通过计算，判断这样的情况是否存在，若存在，请计算乙队的研学人数；若不存在，请说说你的理由． 45．为提倡同学们多参加挥拍运动，七年级三班计划购买羽毛球拍副和羽毛球盒（不少于盒）．现了解情况如下：两个商店都销售某种品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价都是元，羽毛球每盒定价都是元．经洽谈后，商店每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球；商店全部按定价的折优惠． (1)当为多少时，两个商店优惠办法付款一样？ (2)当分别为，时，去哪家商店购买更合算？请计算说明． 46．某干果店销售A，B两种坚果，A种坚果每千克35元，B种坚果每千克25元．临近新年，该干果店准备开展新年促销活动，向顾客提供了以下两种优惠方案： 方案一：买A种坚果送B种坚果； 方案二：A，B两种坚果均打七折出售． 现有顾客要到该干果店购买A种坚果，B种坚果（）． (1)按方案一购买需要_________元，按方案二购买需要_________元．（用含的代数式表示） (2)购买B种坚果多少千克时，两种方案付款一样多？ 47．2024年火爆出圈的“广西小砂糖橘哈尔滨游学”带动了哈尔滨的旅游热，班老师们也准备组织学生前往哈尔滨“冰雪大世界”开展研学旅游活动，班老师们了解到，成人票每张300元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票需门票3900元． (1)问班一共去了几名老师？几名学生？（请用一元一次方程解决问题） (2)若班也想和班一起购票去“冰雪大世界”研学旅游，班有5名老师和24名学生．他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠．请你通过计算比较说明他们怎样购票更省钱． 48．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备购买一批排球和跳绳，某体育用品店排球和跳绳的单价之和为元，排球的单价比跳绳的单价的5倍少元． (1)求排球和跳绳的单价各是多少元？ (2)某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的付款． ①已知要购买排球个，跳绳根． 若按A方案购买，一共需付款 元；若按B方案购买，一共需付款 元．（用含的式子表示） ②购买多少根跳绳时，两种方案所需要的钱数一样多？ 题型九 数字问题 49．两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下： 小王：设方框里的数为．可得： 小红：设方框里的数为．可得： 请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字． 50．【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而，所以，化简得，解得，所以． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为___________；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 51．观察下面三行数： 、、、、……；① 、、、、……；② 、、、、……；③ (1)第一行的第7个数可以表示为：______，第一行的第n个数可以表示为：______． (2)取每一行的第n个数，从上到下依次记作x、y、z，对于任意的正整数n均有，为一个定值，则______． (3)是否存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为？若存在，求出这一列数；若不存在，说明理由． 52．观察下列三行数： ，2，，8，，32，…；① ，4，，16，，64，…；② 0，6，，18，，66，…；③ (1)第①行和第②行中的第8个数分别是________和________； (2)设第①行中的第n个数是x，则第②行和第③行中对应的第n个数分别是________和________； (3)取每行中的第n个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行中的第几个数；如果不能，请说明理由． 53．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中的五个数的和是________，是中间数23的________． (2)十字框中的五个数之和能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 54．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程0.7化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即． 请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 题型十 几何问题 55．综合运用：如图，在直角三角形中，，若，，．点从点开始以的速度沿的方向移动，终点为；点从点开始以的速度沿的方向移动，终点为．如果点，点同时出发，用表示移动时间． (1)点P到达终点时所需时间为 s，点Q到达终点时所需时间为 s； (2)若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，试求出t为何值时，； (3)点Q在运动时，试求出t为何值时，三角形的面积等于三角形面积的． 56．如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 57．如图，数轴上点、表示的数分别是和4，点、为数轴上的动点．点以每秒3个单位长度的速度，从点出发沿数轴向右运动，点出发的同时，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿数轴向左运动．设点运动时间为秒． (1)、两点间的距离为______； (2)点对应的数为______，点对应的数为______（用含的代数式表示）； (3)当、两点相遇时，求的值． 58．已知为直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与点重合，直角边与射线重合，然后把三角尺绕点以每秒的速度按顺时针旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)当时，___________，当平分时，__________． (2)在旋转过程中，当时，求旋转的时间的值． 59．利用一元一次方程解应用题：如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么最终剩余的长方形纸片的面积为多少？ 60．两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 题型十一 和差倍分问题 61．周末，小明、小亮等同学随家人一同到公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话： 爸爸：成人门票每张35元，学生门票5折优惠，我们共12人，共需350元． 小明：爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式是否可以更省钱． 票价： 成人：35元/张，学生：按成人5折优惠 团体票：（16人以上含16人）按成人票6折优惠 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算用哪种方法买票更省钱？说明理由． 62．图书角有一些科普书和文艺书，其中文艺书有28本，如果从图书角拿走 23 本科普书，那么文艺书的本数是剩下的科普书的．图书角原有科普书多少本？ 63．某校新进了一批课桌椅，七年级（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部分课桌椅，已知七年级（2）班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生搬运6张桌子或者搬运15把椅子．请解答下列问题： (1)七年级（2）班男生、女生分别有多少人？ (2)一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个学生搬运椅子？ 64．解应用题 (1)甲、乙两人到书店买书，两人所带钱数总和为138元，甲买一本英汉词典用去所带钱的，乙买一本同步练习册花了18元钱，这样两人剩下的钱一样多，问：甲、乙两人买书各带了多少钱？ (2)甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，两车的速度比是，甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇，问两地相距多少千米？ 65．用甲乙两种机器生产同一种零件，已知3台甲型机器生产一天的零件恰好能装满5箱，5台乙型机器生产一天的零件能装满7箱还余下6个零件． (1)若每台甲型机器比每台乙型机器一天多生产2个零件，求每箱能装多少个零件． (2)在（1）的情况下，求2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产的零件数． 66．用方程解决实际问题： 年月，某校在社会实践基地开展“三农”研学活动． (1)在雨花茶生产基地研学的有人，在艺莲苑研学的有人，现调来人支援，要使雨花茶生产基地研学的人是艺莲苑研学的人数的倍，应往雨花茶生产基地、艺莲苑两处各调去多少人？ (2)有甲、乙两个班的学生参加“刨红薯”的劳动，一块地的红薯由甲班单独刨完需要小时、由乙班单独刨完需要小时，乙班先干小时后，甲班才赶到田地，甲班随即加入劳动，请问甲班加入劳动后，两个班还需要多少小时才能全部刨完？ 题型十二 水电费问题 67．2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． (1)若小石在该充电桩充电2.5小时，需支付费用多少元？ (2)若小石在该充电桩充电（）小时，需支付费用_____元（用含有的代数式表示）． (3)小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩连续充电共10小时（第一周充电时长超过第二周），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 68．喀什市是一个水资源严重短缺的城市，随着经济的飞速发展，人口的增长，人民生活水平的提高，水资源的供需矛盾愈加凸显，水资源的利用效率有待提高．为充分发挥价格机制在促进水资源的节约，决定居民用水实行阶梯计价，阶梯水价如下表： 收费方式 年用水量/ 费用/（元/） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 例如：若某居民的一年年用水量为，应交水费为元； 若某居民的一年年用水量为，应交水费为元．以此类推． (1)若某户居民的一年用水量为，则该户居民一年应交水费多少元？（用表示） (2)已知某户居民一年的水费为元，这户居民的年用水量是多少？ 69．某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 70．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如下表所示的标准收取水费： 月用水量 单价/（元/） 不超过 超过的部分 另：每立方米用水加收元的城市污水处理费 (1)如果月用水量不超过，那么实际每立方米收取水费_____元；如果7月份嘉淇家的用水量为，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费_____元． (2)如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？ (3)若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有的用水量计入水表中，这样她家在9月份只缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？ 71．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过吨的部分 元吨 超出吨不超出吨的部分 元吨 超出吨的部分 元吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民月份用水吨，则该用户月应交水费元；月份用水吨，则该用户月应交水费元；月份用水吨，则该用户月应交水费________元； (2)若该户居民月份应交水费元，求该用户月份用水量； (3)若该户居民月份应交水费元，该用户月份用水量是 吨； (4)若该户居民月份、月份共用水吨，共交水费元，且月份用水不超过吨，求月份、月份各应交水费多少元？ 72．列方程解决问题： 为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： (1)若小明家年用水量为立方米，则该家庭全年缴费金额为______元； (2)若小华家年全年缴费金额为元，小华家年用水量是多少立方米？ 题型十三 行程问题 73．列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 74．“车辆左转弯”“请注意”……首批级无人驾驶配送车成了街头“显眼包”．开启了智慧物流新时代，催生了快递行业的高速发展． 无人驾驶配送车的前后探头在抓拍范围之内会发出“车辆行驶中，请保持车距”的提示音．小明坐在爸爸的车上，注意到车前方处有一辆无人驾驶配送车以的速度在道路上正常行驶，好奇的小明让爸爸以的速度追上去探个究竟，请问小明多长时间后开始听到“车辆行驶中，请保持车距”的提示音．（请用一元一次方程解决问题） 75．小明骑自行车从地到地，小伟骑自行车从地到地，两人沿同一公路匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午9时，两人相距，到上午10时，两人又相距．若设，两地相距的路程为． (1)上午9时，小明和小伟两人的行程之和为_____（用含的式子表示）； (2)上午10时，小明和小伟两人的行程之和为_____（用含的式子表示）； (3)根据“两人的速度和不变”可列方程_______； (4)A，B两地相距的路程为_____． 76．甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营的一号营地出发，每小时行进；乙队从距大本营的二号营地出发，每小时行进．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 77．如图是两张不同类型火车车票：（“次”表示动车，“次”表示高铁）． (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向 （填“相同” 或“不同”），出发时刻相差 小时； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A、B两地之间的距离（列方程解决问题）； (3)在（2）的条件下，请直接写出在 时刻两车相距． 78．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务： 【背景】 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为米到米之间． 【素材1】 某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线弯道半径为36米的标准跑道（如图）．小刚同学计算了各圈（各跑道内圈边线）的长（取，结果保留1位小数）． 第一圈长：（米）； 第二圈长：（米）； 第三圈长：（米）． 【素材2】 小刚紧靠第一圈边线逆时针跑步，教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所在跑道内侧边线长计路程），在图中起跑线的位置同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．已知教练平均速度与小刚平均速度之比为． 【问题解决】 以下各题中，取3.14，结果保留一位小数． 【任务1】 （1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？ （2）小刚计算的第八圈的长是多少米？ 【任务2】 （3）小刚与教练的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇） 题型十四 比例分配 79．在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 80．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 81．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 82．【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 83．学校把一批花按分配给五年级和六年级同学栽种．已知六年级比五年级多分了棵．五、六年级各分了多少棵？ 84．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 题型十五 日历问题 85．把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 86．从某个月的月历表中取一个方框． (1)已知这个方框所围成的个日期之和为，求这个日期； (2)这个方框所围成的个日期之和可能为吗？ 87．如图是某年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为，“田”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为． 【初步探究】 （1）“T”型阴影覆盖的其他三个数分别为______、______、______（用含的代数式表示）； （2）“T”型阴影覆盖的四个数字之和___________（用含的代数式表示），“田”型阴影覆盖的四个数字之和___________（用含的代数式表示）， 【综合运用】 （3）值能否为51，若能，求的值；若不能，说明理由． 88．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 89．如图1，这是某年月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 90．在月历中，每个字母都代表某个具体日期 日 一 二 三 四 五 六 a e c x d f b 表（1） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 表（2） (1)在表（1）中任意框出五个数，则 ，这5个数的和为 （都用含的式子表示）； (2)在表（1）中，的和与的关系是什么？通过计算说明； (3)已知表（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$