精品解析：云南省昆明市第八中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

昆八中2025届省统测模拟考试（一） 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减 7. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ). A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数的图像关于直线对称 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与曲线相切，则实数的值为______. 13. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________. 14. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则___________；___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积 （1）证明： （2）求. 16. 某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若． （1）根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01） （2）求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； （3）若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望． 参考公式和数据：对于一组数据 ，，，，，，，，，． 17. 椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． （1）求椭圆的离心率； （2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2025届省统测模拟考试（一） 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的运算先求，再求即可. 【详解】因为，，故，故. 故选:A. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，再求得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 3. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用完全平方公式、二倍角公式、同角三角函数平方关系及由三角函数值判断角的范围可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：A. 5. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据抽象函数定义域运算求解；对于D：根据偶函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如为奇函数，但无定义，故A错误； 对于选项B：因为，所以函数在定义域上不是减函数，故B错误； 对于选项C：因为函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为，故C错误； 对于选项D：因为函数为偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：D. 7. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而根据题意得在上单调递增，且，进而得，再解不等式即可得答案. 【详解】， 因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 8. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将递推关系式变形放缩可得，即可得到结果. 【详解】易知，由知递减，将递推式变形为， 移项整理得， 所以，即， 又，故，结合各选项，B、C、D排除. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ). A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B不正确； 选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：， 所以，故C正确； 选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：， ，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”， 随机变量分布比较集中，所以，故D正确. 解法二：因为，， 所以， 故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数的图像关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出 的定义域，再对 化简，根据对数函数和其复合函数的性质逐项分析即可. 【详解】 的定义域为： ， ， = ； 对于A，错误； 对于B， ， 是偶函数，正确； 对于C， 不在定义域内，错误； 对于D，二次函数 的对称轴是x=-1， ∴ 是关于x=-1对称的，正确； 故选：BD. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将换为方程不变，换为方程不变，换为，换为方程不变，换为，换为方程不变，可知有四条对称轴；对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，求最大值即可；对于C，设距离为，，即求的最大值即可；对于D，易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于即可判断. 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与曲线相切，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，列式即可求解. 【详解】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，. 因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出. 14. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则___________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，计算出1-20内与12互质的数，再在这些互质数内，计算出12的二次非剩余数即可. 【详解】在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以 ； 根据定义，对于 整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数， 显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7； 当a=5，7，11，17，19时，x不存在； ； 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积 （1）证明： （2）求. 【答案】（1）证明如下： 点在边上，且满足, 所以， ， 故， 即； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用面积公式进行化简即可;（2）利用，可得或，然后利用余弦定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知， 可得， 解得或， 1°当时，，； 2°当时，，； 综上所述或. 16. 某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若． （1）根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01） （2）求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； （3）若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望． 参考公式和数据：对于一组数据 ，，，，，，，，，． 【答案】（1）0.94，与线性相关性很强 （2），55.89% （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意中的公式求出相关系数r，结合其表示的意义即可下结论； （2）根据最小二乘法计算可得，进而，将代入即可求解； （3）由题意可知，利用二项分布求出对应的概率，列出X的分布列，求出数学期望即可． 【详解】（1） 故与线性相关性很强． （2）， ， 所以关于的线性回归方程为， 将代入， 得． 当时，， 故预测第9周“准点球”的百分比为55.89%． （3）现在A学员任打一球是“准点球”的概率为：， 由题意，数学期望． 17. 椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． （1）求椭圆的离心率； （2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程. 【小问1详解】 解：， 离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由四边形是直角梯形，，，， 可得，，从而是等边三角形，，平分． 为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面， 所以平面平面. （2）存在，N点直线PD的距离为. 在平面内作于，连接，平面， 又平面，平面平面． 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得 ，，为的中点，． 以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，，， 由，得， 解得，满足题意，，， 取，，， ，， ， 求出点N到直线PD的距离为：. 所以N点直线PD的距离为. 【解析】 【分析】（1）通过证明，结合题目所给已知，由此证得平面，进而证得平面平面. （2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点，使平面，利用向量线性运算设出点坐标，结合求得点坐标，由此证得存在一点，使得平面.利用点到直线的向量求法，求得点到直线的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】（1） （2）1 （3） 因为，， 则. ①当时，因为， 所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点. ②当时，因为单调递增，且，， 所以存在，使. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以.设，， ，, 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，所以. 所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点. 综上所述，在上的零点个数为2 【解析】 【分析】（1）根据所给曲率的定义求解即可； （2）由新定义求出，换元后，利用导数求最值即可； （3）对分区间讨论，在上无零点，在上利用导数判断函数单调性极值，由零点存在性定理分析即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以， . 【小问2详解】 由，，则， ， 令，则，故， 设，则， 在时，递减， 所以，最大值为1. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，理解所给定义，运用所给定义解题是解题关键，对于函数零点问题，一般要先求出函数的单调性，极值，再结合零点存在性定理判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $