培优练1：极化恒等式与等和线-2025届高三数学二轮复习

培优练1　极化恒等式与等和线 一、单选题 1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) 1 2 3 4 2.如图，在四边形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，则·＝(　　) 64 42 36 28 3.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ＝(　　) 1 4.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　) － － － － 5.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是(　　) 1 2 3 4 6.已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为(　　) 1 2 2 7.(2024·宁波模拟)AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，|AB|＝6，若点P为⊙C上一动点，则·的取值范围是(　　) [0，100] [－12，48] [－9，64] [－8，72] 二、多选题 8.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，则·的值可能是(　　) 0 2 4 13 9.(2024·武汉质检)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b⇔a·b＝，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中，BD＝8，·＝48，E为BD中点，且＝2，则(　　) AE＝8 AE＝4 ·＝240 ·＝120 三、填空题 10.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________. 11.(2024·合肥调研)四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD＝2，EF＝1，点P满足·＝0，则·的最大值为________. 12.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为________. 参考答案 1.A　[由极化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(|a＋b|2－|a－b|2)＝×(10－6)＝1.] 2.C　[由·＝2－2 ＝36－2＝－28， 解得2＝64，所以2＝64， 所以·＝·＝2－2＝100－64＝36.] 3.A　[(等和线法)如图，作＝，延长CD与AG相交于G， 因为C，F，G三点共线， 所以λ＋μ＝1.故选A.] 4.B　[∵＝2，圆O的半径为1， ∴||＝. 法一　·＝(＋)·(＋) ＝2＋·(＋)＋· ＝＋0－1＝－. 法二　由极化恒等式得 ·＝2－2＝－1＝－.] 5.B　[如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则·＝2－ ＝||2－. 因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号. 所以·的最大值为2. 故选B.] 6.A　[如图所示， 由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，·有最小值， 即·＝2－2＝()2－12＝1. 故选A.] 7.D　[如图，取AB中点为Q， 连接PQ. ∴＋＝2，－＝， ∴·＝[(＋)2－(－)2]＝(4||2－||2). 又∵||＝6，|CQ|＝＝4， ∴·＝||2－9， ∵点P为⊙C上一动点， ∴|PQ|max＝5＋|CQ|＝9， |PQ|min＝5－|CQ|＝1， ∴·的取值范围为[－8，72].] 8.BC　[因为A＝30°，BC＝2，所以＝4， 则△ABC外接圆的半径为2. 如图所示，圆O的半径为2，BC是圆O的一条弦，点A在圆O的优弧上，D是线段BC的中点，连接DO并延长交圆O于点E. 因为＝＋，＝＋＝－， 所以·＝2－2＝2－1. 因为点A在圆O的优弧上， 所以1<||≤||＝2＋， 所以·的取值范围是(0，6＋4).故选BC.] 9.AC　[因为·＝48，BD＝8， 由极化恒等式得 ·＝ ＝＝AE2－ ＝AE2－16＝48，所以AE＝8， 又2＝，所以EC＝2AE＝16， 由极化恒等式得 ·＝ ＝＝CE2－＝256－16＝240.] 10.2　[(等和线法)如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为以，为基底k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB， 因为OA＝1，∠AOB＝， 所以OE＝，则k＝＝＝2， 即x＋y的最大值为2.] 11.2　[因为＝＋，＝＋， 又点F分别是CD的中点， 所以＝－，所以＝－，·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－＝||2－2， 又·＝0，所以PA⊥PB， 又点E分别是AB的中点， 所以PE＝AB＝1， 因为＝－， 所以2＝(－)2＝2－2·＋2， 即2＝2·， 设〈，〉＝θ，||＝x， 则x2＝2×1×x×cos θ，所以x＝2cos θ， 所以·＝x2－2＝4cos2θ－2＝2cos 2θ， 所以当2θ＝0即θ＝0时，cos 2θ有最大值1，即·有最大值为2.] 12.　[(等和线法)如图，设λ＋μ＝k，则直线CD为以，为基底k＝1的等和线， 所有与直线CD平行的直线中， 过点B的直线离点O最远， 此时k的值最大，且此时k＝， 易知AD＝DE＝1，故此时k＝， 显然k的最小值为1，即λ＋μ∈.] 学科网（北京）股份有限公司 $$