培优练5：立体几何中动点及其轨迹问题-2025届高三数学二轮复习

培优练5　立体几何中动点及其轨迹问题 一、单选题 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹为(　　) 直线 圆 双曲线 抛物线 2.(2024·无锡调研)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则点M的轨迹长度为(　　) 1 3.(2024·西安调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是(　　) 4.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹的面积为(　　) 4π 2π π 5.(2024·衡水调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M是棱CC1的中点，空间中的动点P满足DP⊥BM，且D1P＝1，则动点P的轨迹长度为(　　) 3 2π 6.(2024·成都诊断)在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是DD1中点，点P在正方体的内切球的球面上运动，且CP⊥AQ，则点P的轨迹长度为(　　) π 2π 5π 7.(2024·北京门头沟模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段BC1上的动点，则下列结论正确的个数是(　　) ①三棱锥A－D1PC的体积为定值；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③直线AP与A1D所成的角的大小不变；④A1C⊥DP. 1 2 3 4 二、多选题 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，则下列结论正确的是(　　) 当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为 三棱锥B－AEF的体积为定值 EF在平面ABB1A1内的射影长为a 当E向D1运动时，二面角A－EF－B的平面角保持不变 9.三棱锥P－ABC满足PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝AC＝2，D是线段PB的中点，E是底面△ABC内部(包括边界)的一个动点，球O是三棱锥P－ABC的外接球，下列说法正确的有(　　) 当E在线段AB上时，PE⊥BC 若F是球O表面一个动点，则EF的最大值为4 DE的取值范围是[1，] 经过DE的平面截球O的截面面积的最小值为2π 三、填空题 10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1表面上的动点，且AP＝，则动点P的轨迹的长度为________. 12.(2024·北京房山区模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点(点P与点A，C1不重合).给出下列结论： ①存在点P，使得平面A1DP⊥平面AA1C1； ②对任意点P，都有A1P＝DP； ③△A1DP面积的最小值为； ④若θ1是平面A1DP与平面A1B1C1D1的夹角，θ2是平面A1DP与平面BB1C1C的夹角，则对任意点P，都有θ1≠θ2.其中所有正确结论的序号是________. 参考答案 1.D　[点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离， 所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等， 由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.] 2.C　[如图所示， 取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接EF，FC，GH，C1H，C1G，EG，HF可得四边形EGC1D1是平行四边形， ∴C1G∥D1E， 又D1E⊂平面CD1E，C1G⊄平面CD1E， ∴C1G∥平面CD1E， 同理可得C1H∥CF， 又CF⊂平面CD1E，C1H⊄平面CD1E， ∴C1H∥平面CD1E， 又C1H∩C1G＝C1，C1H，C1G⊂平面C1GH， ∴平面C1GH∥平面CD1E， 又M点是正方形ABB1A1内的动点， 若C1M∥平面CD1E， ∴点M在线段GH上， ∴M点轨迹的长度GH＝＝.] 3.D　[如图，连接D1A，AC，D1C， 因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，所以AC∥EF， 又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1， 所以EF∥平面ACD1，易知EG∥AD1， 所以同理可得EG∥平面ACD1， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， 所以平面ACD1∥平面EFG. 因为直线D1P∥平面EFG， 所以点P在直线AC上. 在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2， 所以S△AD1C＝××＝. 当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，所以线段D1P长度的最小值是＝＝，故选D.] 4.D　[易知DD1⊥平面ABCD，∠MDN＝90°，取线段MN的中点P， 则DP＝MN＝1，所以点P的轨迹是以D为球心，1为半径的球面， 故S＝×4π×12＝.] 5.D　[如图，分别取A1D1，B1C1的中点E，F，连接DE，EF，CF. 易知BM⊥CF，BM⊥CD，且CF∩CD＝C， 所以BM⊥平面CDEF. 由DP⊥BM，得点P在平面CDEF内. 由D1P＝1，得点P在以D1为球心，半径为1的球面上， 因此动点P的轨迹为平面CDEF与球D1的球面的交线， 即在平面CDEF内的圆，连接DF， 设点D1到平面DEF的距离为h，平面DEF截球D1所得截面圆的半径为r， 则由V三棱锥D1－DEF＝V三棱锥F－DED1，得h·S△DEF＝×2××2×1， 且S△DEF＝×2×＝， 所以h＝，则r＝＝， 因此动点P的轨迹长度为.] 6.B　[以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则Q，A(5，0，0)，C(0，5，0)， 球心O， 取A1D1的中点R，B1C1的中点H，连接DR，RH，HC， 则R，·＝·＝－＋＝0， ·＝(0，5，0)·＝0， 故DR⊥AQ，CD⊥AQ， 又DR∩CD＝D，DR， CD⊂平面CDRH， 故AQ⊥平面CDRH， 故当P位于平面CDRH与内切球O的交线上时，满足CP⊥AQ， 此时O到平面CDRH的距离为 d＝ ＝＝ ＝， r＝＝， 其中r为平面CDRH截正方体内切球所得截面圆的半径， 故点P的轨迹为以为半径的圆， 故点P的轨迹长度为2π.] 7.C　[对于①，因为BC1∥AD1，BC1⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1， 所以BC1∥平面ACD1， 所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等， 又VA－CPD1＝VP－CAD1， 所以三棱锥A－D1PC的体积不变，故正确； 对于②，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故错误； 对于③，设AD1∩A1D＝M，则AD1⊥A1D， 又AB⊥平面AA1D1D， 所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A， 所以A1D⊥平面ABC1D1， 又AP⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥AP， 所以点P在直线BC1上运动时，直线AP与直线A1D所成的角的大小不变，故正确； 对于④，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 则AA1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD， 则AA1⊥BD，又AC⊥BD，且AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面A1AC， 所以BD⊥平面A1AC，且A1C⊂平面A1AC， 所以BD⊥A1C， 又A1B1⊥平面BB1C1C， 且BC1⊂平面BB1C1C， 所以A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， 且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C， 所以BC1⊥平面A1B1C， 且A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥A1C， 又BC1∩BD＝B，BC1，BD⊂平面BDC1， 所以A1C⊥平面BDC1， 且DP⊂平面BDC1，所以A1C⊥DP，故正确.] 8.BCD　[对于A，如图，当E与D1重合时，因为EF＝a， 所以F为B1D1的中点，连接BD，记BD中点为O，连接D1O，AO，由正方体性质可知，BO∥D1F，BO＝D1F，所以四边形BOD1F为平行四边形，所以D1O∥BF， 所以直线AE与BF所成角即为直线D1O与AD1所成角， 又D1O＝＝， AD1＝a，AO＝， 所以cos∠AD1O＝＝， 所以∠AD1O＝，故A错误； 对于B，VB－AEF＝VA－BEF，易知点A到平面BB1D1D的距离和点B到直线B1D1的距离均为定值， 所以三棱锥A－BEF的体积为定值，故B正确； 对于C，易知∠A1B1D1＝，EF在平面ABB1A1内的射影在A1B1上，所以射影长为×cos ＝，故C正确； 对于D，二面角A－EF－B的平面角即为二面角A－B1D1－B的平面角， 显然其平面角不变，故D正确.故选BCD.] 9.ACD　[如图1， 图1 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 又PA＝AB＝BC＝AC＝2，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB， 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB， 当E在线段AB上时，PE⊂平面PAB， 所以PE⊥BC，故A正确； 如图2， 图2 因为PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝AC＝2，则可以将三棱锥P－ABC放入正方体中， 正方体的棱长为2，正方体外接球O的半径为×2＝，故三棱锥P－ABC外接球的半径为，点E是球O表面或内部一点，点F是球O表面任意一点， 所以EF的最大值为球的直径，即2，故B错误； 因为PA⊥平面ABC，则点D在底面上的射影为AB的中点D′，则DE2＝D′D2＋D′E2，由图3知，当点E与点C重合时，D′E取到最大值，DE2＝D′D2＋D′E2＝1＋5＝6， 当点E与点D′重合时，DE取到最小值，所以DE∈[1，]，故C正确； 图3 记经过DE的平面为α，当OD⊥α时，平面α与球O的截面面积最小，此时截面圆的半径为＝，所以截面面积为2π，故D正确.] 10.DM⊥PC(或BM⊥PC) [连接AC，BD， 则AC⊥BD， 因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，PA， AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC， 所以BD⊥PC， 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 有PC⊥平面MBD，PC⊂平面PCD， 所以平面MBD⊥平面PCD.] 11.　[由已知AC＝AB1＝AD1＝， 在平面BC1，平面A1C1中， BP＝A1P＝DP＝1，所以动点P的轨迹是在平面BC1，平面A1C1，平面DC1内分别以B，D，A1为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等， 故轨迹长度和为×3＝.] 12.①②③　[对于①，因为AC1⊥A1D，在AC1上取点P使AC1⊥DP， 因为A1D∩DP＝D，A1D，DP⊂平面A1DP，所以AC1⊥平面A1DP， 因为AC1⊂平面AA1C1，所以平面A1DP⊥平面AA1C1，故①正确； 对于②，以D1为原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图A1(1，0，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，C1(0，1，0)， 则＝(－1，1，－1)，＝(0，0，1)，＝(1，0，0)， 设＝λ＝λ(－1，1，－1) ＝(－λ，λ，－λ)(0<λ<1)， 则＝＋＝(0，0，1)＋(－λ，λ，－λ)＝(－λ，λ，1－λ)， ＝＋＝(1，0，0)＋(－λ，λ，－λ) ＝(1－λ，λ，－λ)， 从而||＝ ＝， ||＝ ＝，所以A1P＝DP，故②正确； 对于③，由②知＝(－1，0，1)，＝(－λ，λ，1－λ)，·＝λ＋1－λ＝1， cos〈，〉＝ ＝＝， sin〈，〉＝ ＝， S△A1DP＝||||sin〈，〉 ＝××× ＝＝ ≥×＝. 当且仅当λ＝时等号成立，所以△A1DP面积的最小值为，故③正确； 对于④，平面A1B1C1D1的法向量n1＝(0，0，1)，平面BB1C1C的法向量n2＝(0，1，0)， 设平面A1DP的一个法向量n3＝(x，y，z)， 由即 得 令x＝λ得n3＝(λ，2λ－1，λ)， 则cos θ1＝，cos θ2＝， 令λ＝|2λ－1|得λ＝1或λ＝， 而0<λ<1，故λ＝， 从而存在点P，使得cos θ1＝cos θ2，而θ1，θ2不大于直角，故θ1＝θ2，故④错误.] 学科网（北京）股份有限公司 $$