培优练4：截面或交线问题-2025届高三数学二轮复习

培优练4　截面或交线问题 一、单选题 1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的(　　) ①②③④ ①③④ ①② ①②④ 2.已知过BD1的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是(　　) 截面BMD1N可能是矩形 　　　　截面BMD1N可能是菱形 截面BMD1N可能是梯形 　　　　截面BMD1N不可能是正方形 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　　) 9 18 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　) 等腰梯形 三角形 正方形 矩形 5.如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ， 则下列对椭圆E的描述中错误的是(　　) 短轴为2r，且与θ大小无关 离心率为cos θ，且与r大小无关 焦距为2rtan θ 面积为 6.(2024·南京质检)已知三棱锥P－ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为(　　) 6π 12π 2π 4π 7.(2024·齐鲁名校模拟改编)在四棱锥S－ABCD中，ABCD是矩形，AD⊥SD，∠SDC＝120°，SD＝CD＝2BC＝2，P为棱SB上一点，则下列结论中错误的是(　　) 点A到平面SCD的距离为1 若SP＝PB，则过点A，D，P的平面α截此四棱锥所得截面的面积为 四棱锥S－ABCD外接球的表面积为17π 直线AP与平面SCD所成角的正切值的最大值为 二、多选题 8.(2024·扬州模拟)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，下列选项中正确的有(　　) 过A1C的平面截此正方体所得的截面为四边形 过A1C的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2，4] 四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分为八面体 四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分体积为 9.(2024·茂名模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则(　　) 直线EF与BC1所成的角为60° 过空间中一点有且仅有两条直线与A1B1，A1D1所成的角都是60° 过A1，E，F三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3＋2 过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 三、填空题 10.在圆台O1O2中，四边形ABCD是其轴截面，AD＝DC＝BC＝AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于________. 11.已知三棱锥P－ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于________. 12.(2024·武汉质检)在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，M为底面三角形斜边BC上一点，且·＝0，AC＝AA1＝1，P为线段BC1上一动点，则平面AMP截三棱柱所得截面面积的最大值为________. 参考答案 1.A　[根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示， 故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分.] 2.C　[如图①，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是矩形； 如图②，当M，N为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形； 　 根据对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选C.] 3.B　[连接BC1，AD1，D1F，如图所示， 因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1， 在正方体中AD1∥BC1，所以EF∥AD1， 所以A，D1，F，E在同一平面内，所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A， 因为正方体的棱长为2，所以EF＝，AD1＝2，D1F＝AE＝＝， 则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高为＝， 所以截面面积为S＝(2＋)×＝.] 4.A　[取BC的中点为H， 如图连接AH，GH，D1G，AD1， 由题意得GH∥EF， AH∥A1F， ∵GH⊄平面A1EF， EF⊂平面A1EF， ∴GH∥平面A1EF， ∵AH⊄平面A1EF，A1F⊂平面A1EF， ∴AH∥平面A1EF， ∵GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1， ∴平面AHGD1∥平面A1EF， 过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为等腰梯形AHGD1.] 5.B　[由题意，椭圆短轴长2b＝2r； 而长轴长随θ变大而变长且2a＝， 所以c＝＝rtan θ， 故e＝＝sin θ，焦距为2c＝2rtan θ； 由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值， 所以椭圆面积为S＝. 综上，A，C，D正确，B错误.] 6.D　[依题意得，设底面等腰Rt△ABC的直角边长为x(x>0)， ∴三棱锥P－ABC的体积 V＝××x2×4＝，解得x＝2. ∴△ABC的外接圆半径为 r1＝××2＝2， ∴球心O到底面ABC的距离为 d1＝＝＝3， 又∵顶点P到底面ABC的距离为4， ∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周. 当球心在底面ABC和截面圆之间时， 球心O到该截面圆的距离为d2＝4－3＝1， ∵截面圆的半径为 r2＝＝＝2， ∴顶点P的轨迹长度为2πr2＝4π； 当球心在底面ABC和截面圆同一侧时， 球心O到该截面圆的距离为 d3＝3＋4＝7>R＝，故不成立. 综上，顶点P的轨迹长度为4π.] 7.B　[如图， 对于A，因为AD⊥SD，AD⊥DC，又SD∩DC＝D，SD，DC⊂平面SDC， 所以AD⊥平面SDC， 所以点A到平面SDC的距离为AD＝BC＝1， 故A正确； 对于B，因为SP＝PB， 所以点P为棱SB的中点， 取SC中点为Q，连接PQ，DQ， 可得平面APQD即平面α截此四棱锥所得截面， 且由于Q是SC的中点，点P为棱SB的中点， 所以在△SBC中，PQ是△SBC的中位线， 则PQ＝BC＝，且PQ∥BC， 又因为四边形ABCD是矩形， 则BC∥AD，所以PQ∥AD， 因为AD⊥平面SDC，DQ⊂平面SDC， 故AD⊥DQ， 所以四边形APQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形， 因为SD＝CD＝2，在等腰三角形SCD中，QD⊥SC，且QD平分∠SDC， 则QD＝CD·cos∠SDC＝2×＝1， 则平面α截此四棱锥所得截面的面积为××1＝，故B错误； 对于C，又因为∠SDC＝120°，SD＝CD＝2， 所以SC＝2cos 30°＋2cos 30°＝2， 所以2r＝＝＝4， 即r＝2(其中r为△SCD外接圆半径)， 因为AD⊥平面SDC， 所以四棱锥S－ABCD外接球的半径为R＝＝＝， 所以四棱锥S－ABCD外接球的表面积为17π， 故C正确； 对于D，因为AD⊥平面SDC，所以当点P与点S重合时，直线AP与平面SCD所成角的正切值最大， 最大值为＝，故D正确.] 8.ABD　[连接A1与线段BB1上任意一点F， 过C作CE∥A1F交DD1于E， 所以过A1C的平面截此正方体所得的截面为四边形A1FCE，A正确； 由以上分析及正方体结构特征易知：四边形A1FCE为平行四边形， 若E，F为各线段上的中点时， 四边形A1FCE为菱形， 此时截面最小面积为×A1C×EF＝×2×2＝2； 根据正方体的对称性，E从中点向D或D1运动时，四边形A1FCE面积都是由小变大， 当E与D重合时，此时F与B1重合，截面面积最大，为DC×A1D＝2×2＝4. 综上，过A1C的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2，4]，B正确； 对于CD项，如图，四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分为六面体C1EFGHC，C错误； 取C1C的中点G， 易知四边形是边长为1的正方形，且CC1⊥平面EFGH， 六面体C1EFGHC的体积为×S正方形EFGH×CC1＝×1×1×2＝，D正确.] 9.ACD　[对于A，如图所示，连接AC，A1C1，A1B， 因为E，F分别为棱AB，BC的中点， 所以EF∥AC， 又AC∥A1C1， 所以EF∥A1C1， 所以∠A1C1B或其补角即为EF与BC1所成的角， 因为△A1BC1是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以EF与BC1所成的角为60°，故A正确； 对于B， 因为直线A1B1，A1D1所成角是90°，且两条直线相交于A1， 所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误； 对于C，易知平面A1EFC1为过A1，E，F三点的截面，该截面为梯形， 显然A1C1＝2，A1E＝C1F＝＝，EF＝， 所以截面图形的周长为A1C1＋A1E＋EF＋C1F＝2＋＋＋＝3＋2，故C正确； 对于D， 如图所示，分别取AA1，CC1的靠近A，C的三等分点G，H， 连接GD1，GE，HD1，HF， 易知GE∥HD1，HF∥GD1， 故点D1，G，E，F，H共面，该截面图形为五边形，故D正确.] 10.　[因为AD＝DC＝BC＝AB，所以四边形ADCO1为平行四边形，所以O1C＝O1D＝O1A＝AD，则△AO1D为正三角形，所以∠DAB＝60°，由题意得平面CEF⊥平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD＝O1C， 所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离， 在△AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M，过点D作AO1的垂线DN， 则O1M＝， 所以AO1＝＝2， 则O1O2＝DN＝2sin 60°＝， 设圆台上、下底面半径分别为r，R， 则R＝AO1，r＝DO2＝AO1， 则圆台的体积V＝h(R2＋Rr＋r2) ＝×(4＋2＋1)＝.] 11.　[由题设，将三棱锥P－ABC补全为棱长为2的正方体，O为底面中心，如图所示， 若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F在以P为球心，4为半径的球面上， 又OA＝>2，OP＝3>4， 所以平面ABC与球面所成弧是以A为圆心， 2为半径的四分之一圆弧，故弧长为π； 平面PBC与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为； 平面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为. 所以最长弧的弧长为.] 12.　[分如下三种情况，①如图1，延长MP交B1C1于点N，过点N作B1C1的垂线交A1C1于点S，连接AS，则四边形AMNS为所求截面； ②如图2，延长MP交B1C1于点N1，过点N1作B1C1的垂线交A1B1于点S1，连接AS1，则四边形AMN1S1为所求截面； ③如图3，延长MP交BB1于点N2，连接AN2，则三角形AMN2为所求截面. 显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可. 在①中，易知SN∥AM，AM⊥MN， 设C1N＝x， 则SN＝x，MN＝， 所以所求截面面积 S＝× ＝ ＝， 由于y＝x4，y＝x＋均在上单调递增， 所以函数y＝x4＋x＋在上单调递增， 故S≤＝，故截面面积的最大值为.] 学科网（北京）股份有限公司 $$