培优练2：奔驰定理与三角形四心-2025届高三数学二轮复习

培优练2　奔驰定理与三角形四心 一、单选题 1.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶SBOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) ， ， ， ， 2.点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC＝(　　) 2∶1 3∶2 3∶1 5∶3 3.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m，则m等于(　　) 2 3 4 5 4.已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　) 5.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) 外心 内心 重心 垂心 6.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定义f(P)＝(λ1，λ2，λ3)，若G是△ABC的重心，f(P)＝，则(　　) 点P在△GAB内 点P在△GBC内 点P在△GAC内 点P与点G重合 7.如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB等于(　　) 1∶2∶3 1∶2∶4 2∶3∶4 2∶3∶6 二、多选题 8.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则(　　) ＝ ＝ ＝ ＝ 9.已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有(　　) 若2＋3＋4＝0，则S△BOC∶S△AOC∶SAOB＝4∶3∶2 若||＝||＝2，∠AOB＝，且2＋3＋4＝0，则S△ABC＝ 若·＝·＝·，则O为△ABC的垂心 若O为△ABC的内心，且5＋12＋13＝0，则∠ACB＝ 三、填空题 10.△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2＋2＋3＝0，则△ABC的外接圆面积为________. 11.(2024·丽水调研)若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.则△ABC的面积为________. 12.已知点P，Q在△ABC内，若＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则＝________. 参考答案 1.A　[根据奔驰定理，得 3＋2＋4＝0， 即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋， 所以λ＝，μ＝.] 2.C　[根据奔驰定理得， S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3. 所以S△ABC∶S△APC＝(1＋2＋3)∶2＝3∶1.] 3.B　[ ∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心， 连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点， ∴＝， 又＝(＋)， ∴＝(＋)， 即＋＝3， ∴m＝3.] 4.A　[∵＋＋＝0， ∴O是△ABC的重心， ∴S△OBC＝S△ABC， ∵·＝2， ∴||||cos∠BAC＝2， ∵∠BAC＝60°，∴||||＝4， 又S△ABC＝||||sin∠BAC＝， ∴△OBC的面积为.] 5.B　[记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2， S△OAC＝b·h3， S△OAB＝c·h1， 因为S△OBC·＋SOAC·＋S△OAB·＝0， 则a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0， 即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0， 又因为a·＋b·＋c·＝0， 所以h1＝h2＝h3，所以点P是△ABC的内心.] 6.A　[不妨设S△ABC＝1，根据奔驰定理重心公式可知f(G)＝， 即S△GAB，S△GAC，S△GBC相等， 题干要求S△PAC＝，所以点P必然在过G且平行于AC的直线上，如图. 而S△PBC>S△PAB，所以点P必然在线段EG上，且不包括端点， 即点P在△GAB内，故选A.] 7.A　[O是△ABC的垂心， 延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则CP⊥AB，BM⊥AC， AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC， 因此，＝＝ ＝＝， 同理＝， 于是得tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB， 又＋2＋3＝0， 由“奔驰定理”有S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 即S△BOC∶S△AOC∶SAOB＝1∶2∶3， 所以tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB ＝1∶2∶3.] 8.AC　[由＝＋， 可得＋－＋－＝0， 整理得＋＋＝0， 所以2＋2＋＝0， ＝＝. 由＝＋， 可得＋－＋－＝0， 整理得＋8＋3＝0， 所以＝＝，＝.] 9.BCD　[对于A，2＋3＋4＝0， 则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A错误； 对于B，S△AOB＝×2×2×sin ＝， 又2＋3＋4＝0， 故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4， 所以S△ABC＝S△AOB＝，故B正确； 对于C，·＝·， 即(－)·＝·＝0， 故⊥， 同理可得⊥，⊥， 所以O为△ABC的垂心，故C正确； 对于D，5＋12＋13＝0， 故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13， 设内切圆半径为r，S△BOC＝r·BC S△AOC＝r·AC，S△AOB＝r·AB， 即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13， 即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝，故D正确.] 10.　[∵2＋2＋3＝0，且O为内心， ∴a∶b∶c＝2∶2∶3， 令a＝2k，则b＝2k，c＝3k， 设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R， 又S△ABC＝(a＋b＋c)·r ⇒×7k×2 ＝14⇒k＝2， ∴a＝4，b＝4，c＝6， ∴cos C＝－，sin C＝， 又2R＝＝⇒R＝＝， ∴外接圆面积S＝πR2＝.] 11.　[∵3＋4＝－5， 且||＝||＝||＝1， ∴9||2＋16||2＋24·＝25||2， ∴·＝0， ∴OA⊥OB， ∴S△AOB＝×1×1＝， 由奔驰定理知， S△BOC∶S△AOC∶S△ AOB＝3∶4∶5， ∴S△AOB＝·S△ABC， ∴S△ ABC＝S△AOB＝.] 12.　[根据奔驰定理得 S△PBC∶S△PAC∶S△ PAB＝1∶2∶3， S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5， ∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC， ∴PQ∥AB， 又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC， ∴＝＝－＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $$