第三单元《因数和倍数》（提高卷）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练(北京版）

2024-2025学年北京版数学五年级下册单元素养测评（提高卷） 第三单元《因数和倍数》 考试时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.84 一、选择题（共18分） 1．（3分）能把90瓶饮料正好装完的包装是（    ）。 A．每盒4瓶 B．每盒6瓶 C．每盒8瓶 D．每盒12瓶 2．（3分）关于自然数的描述，下面说法正确的是（    ）。 A．所有的非0自然数不是质数就是合数 B．所有的偶数一定都是合数 C．大于2的质数都是奇数 D．一个数因数的个数有限，最小的因数是1，没有最大的因数 3．（3分）已知（a、b是两个非零的自然数），那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．1 B．a C．b D．ab 4．（3分）下面每组数中，只有公因数1的一组数是（    ）。 A．2和1个奇数 B．1个质数和1个合数 C．一个奇数和一个偶数 D．两个合数 5．（3分）有一些奶糖，平均分给6个人或8个人，都正好分完。这些奶糖至少有（    ）块。 A．12 B．16 C．24 D．48 6．（3分）自然数既是甲数的倍数，又是乙数的倍数。自然数一定是甲、乙两数的（    ）。 A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数 二、填空题（共20分） 7．（2分）一串珠子按照8个红色2个黑色依次串成一圈共40个。一只蟋蟀从第二个黑珠子开始起跳，每次跳过6个珠子落在下一个珠子上，这只蟋蟀至少要跳( )次，才能又落在黑珠子上。 8．（4分）一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是( )，它的因数中质数有( )。 9．（8分）在2、9、11、26、33这几个数中。奇数有( )；偶数有( )；质数有( )；合数有( )。 10．（4分）五年级同学参加“辉煌七十载，筑梦新时代”诗朗诵，男生有60人，女生有48人。在编排队形时，要求男生和女生分开站，每排的男生人数和每排的女生人数相等，每排最多有( )人，照这样一共站了( )排。 11．（2分）智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。这天，居民李阿姨收到一条带有取件码的短信息，根据下面的描述，请你猜一猜，李阿姨的取件码是( )。 取件码ABCD中，A是一位数中最大的奇数；B比最小的质数大1； C同时是2和3的倍数；D是最小的合数。 三、判断题（共10分） 12．（2分）正整数a的所有因数都小于a。( ) 13．（2分）9的全部倍数是：9，18，27，36，45，54，63，72，81。( ) 14．（2分）一根长60cm的铁丝围成一个长方形，如果长和宽都是质数，它的面积一定是161cm2。( ) 15．（2分）请你检查，下面求最大公因数的题目做的对不对？ 求42和54的最大公因数。 42和54的最大公因数是：2×3×3=18。( ) 16．（2分）8和10的乘积一定是这两个数的公倍数。( ) 四、计算题（共9分） 17．（9分）用短除法求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 8和104           25和70          16和24 五、解答题（共43分） 18．（7分）洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 19．（14分）小冬和小强玩掷骰子游戏，骰子的六个面上分别有1、2、3、4、5、6个点。小冬说：“我们两人每人掷一次，质数点朝上我赢，合数点朝上你赢。” （1）你觉得小冬的游戏规则公平吗？为什么？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 20．（7分）五年级（1）、（2）、（3）班要完成大扫除任务。五（1）班来了54人，五（2）班来了48人，五（3）班来了42人。如果把三个班的学生分别分成若干小组，要使三个班每个小组的人数相同，每班可以分成几组？ 21．（7分）大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？ “抱团”游戏的规则 当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。 22．（8分）园林工人在一段公路两侧种树，先在左侧每隔4米栽一棵树，一共栽了210棵。现在因为树木不够了，要改成每隔6米栽一棵树。那么，从第一棵树数起，有哪些树不用移栽？一共有多少棵不用移栽？（写出计算过程） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北京版数学五年级下册单元素养测评（提高卷） 第三单元《因数和倍数》 考试时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.84 一、选择题（共18分） 1．（3分）能把90瓶饮料正好装完的包装是（    ）。 A．每盒4瓶 B．每盒6瓶 C．每盒8瓶 D．每盒12瓶 【答案】B 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】根据因数与倍数的关系，下列各选项是90的因数，就是能把90瓶饮料正好装完的包装。 【详解】90÷4＝22.5，4不是90的因数； 90÷6＝15，6是90的因数； 90÷8＝11.25，8不是90的因数； 9÷12＝7.5，12不是90的因数。 只有每盒6瓶，能把90瓶饮料正好装完的包装。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查因数与倍数的关系，根据因数与倍数的关系，进行解答。 2．（3分）关于自然数的描述，下面说法正确的是（    ）。 A．所有的非0自然数不是质数就是合数 B．所有的偶数一定都是合数 C．大于2的质数都是奇数 D．一个数因数的个数有限，最小的因数是1，没有最大的因数 【答案】C 【知识点】质数与合数、奇数与偶数的认识 【分析】根据质数的定义：一个自然数，只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数；合数的定义：在大于１的整数中除了能被１和它本身整除外，还能被其他数（０除外）整除的数；偶数的定义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；奇数的定义：在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】A．1不是质数也不是合数，所以原选项说法错误； B．2是偶数，但2不是合数，所以原选项说法错误； C．大于2的质数都是奇数，所以原选项说法正确； D．一个数因数的个数有限，最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以原选项说法错误。 故答案为：Ｃ 3．（3分）已知（a、b是两个非零的自然数），那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．1 B．a C．b D．ab 【答案】C 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】两个数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，由a＝3b（a，b都是非零自然数）可知a和b是倍数关系，据此解答。 【详解】由a＝3b（a，b都是非零自然数）可知：a和b是倍数关系，a是较大数，b是较小数， 所以a和b的最大公因数是b。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查两个数成倍数关系时最大公因数的求法。 4．（3分）下面每组数中，只有公因数1的一组数是（    ）。 A．2和1个奇数 B．1个质数和1个合数 C．一个奇数和一个偶数 D．两个合数 【答案】A 【知识点】公因数与最大公因数、质数与合数、奇数与偶数的认识、互质数的认识 【分析】只有公因数1的两个数是互质数。逐项分析，找出符合题意的即可。 【详解】A．2和一个奇数，2的因数只有1、2 两个，奇数的因数一定没有2，但有1，所以2和一个奇数只有公因数1，符合题意。 B．一个质数和一个合数，公因数可能是1或其他数，如：3和25的公因数是1，而3和12的公因数是1和3，不符合题意。 C．一个奇数和一个偶数，公因数可能是1或其他数，如：7和8的公因数是1，而7和28的公因数是1和7，不符合题意。 D．两个合数的公因数可能是1或其他数，如：8和9的公因数是1，而8和12的公因数是1、2、4，不符合题意。 故答案为：A 【点睛】本题考查两个数是互质数的判断。 5．（3分）有一些奶糖，平均分给6个人或8个人，都正好分完。这些奶糖至少有（    ）块。 A．12 B．16 C．24 D．48 【答案】C 【知识点】公倍数与最小公倍数、分解质因数 【分析】要求这些奶糖至少有多少块，即求出6和8的最小公倍数，先把6和8进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积是这两个数的最小公倍数；由此进行解答即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 所以6和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24，即这些奶糖至少有24块。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。 6．（3分）自然数既是甲数的倍数，又是乙数的倍数。自然数一定是甲、乙两数的（    ）。 A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数 【答案】C 【知识点】公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 【分析】几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；其中最大的那个数是最大公因数；几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】由分析可得：自然数既是甲数的倍数，又是乙数的倍数。自然数一定是甲、乙两数的公倍数。 故答案为：C 【点睛】考查对公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的理解和应用。 二、填空题（共20分） 7．（2分）一串珠子按照8个红色2个黑色依次串成一圈共40个。一只蟋蟀从第二个黑珠子开始起跳，每次跳过6个珠子落在下一个珠子上，这只蟋蟀至少要跳( )次，才能又落在黑珠子上。 【答案】7 【知识点】简单间隔、周期规律 【分析】由题意可知，这只蟋蟀每次跳过6个珠子落在下一个珠子上，从起点开始，每次跳在相邻的第7个珠子上，将起点的珠子记为0，以后依次将珠子记为1、2、3、4、5、…、39，其中0、9、10、19、20、29、30、39这8个珠子为黑色，把40个珠子看作一个周期，蟋蟀跳过的珠子依次为7、14、21、28、35、42（42－40＝2）、49（49－40＝9）…9号为黑珠子，这只蟋蟀跳的珠子均为7的倍数，据此解答。 【详解】 如图所示，0、9、10、19、20、29、30、39为黑珠子，蟋蟀跳过的珠子依次为7、14、21、28、35、42、49…把一圈珠子看作一个周期。 42－40＝2，2为红珠子。 49－40＝9，9为黑珠子。 所以，这只蟋蟀至少要跳7次，才能又落在黑珠子上。 【点睛】本题主要考查周期问题，找出这只蟋蟀跳过的珠子数与周期之间的关系是解答题目的关键。 8．（4分）一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是( )，它的因数中质数有( )。 【答案】 24 2、3 【知识点】质数与合数、因数和倍数的认识、因数和倍数的求法 【分析】根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”及求一个数的因数的方法，写出这个数所有的因数，再根据“只有1和它本身两个因数的数是质数”，填空即可。 【详解】一个数的最大因数是24，这个数是24，其最小倍数也是24； 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中质数有2、3。 【点睛】此题主要考查因数与倍数的意义，利用一个数的倍数最小是它的本身，一个数的因数最大是它本身，解决问题。 9．（8分）在2、9、11、26、33这几个数中。奇数有( )；偶数有( )；质数有( )；合数有( )。 【答案】 9，11，33 2，26 2，11 9，26，33 【知识点】质数与合数、奇数与偶数的认识 【分析】自然数中是2的倍数的数，叫做偶数；不是2的倍数的数，叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。由此解答即可。 【详解】奇数有9，11，33； 偶数有2，26； 质数有2，11； 合数有9，26，33 【点睛】熟练掌握奇数与偶数、质数与合数的意义是解答本题的关键。 10．（4分）五年级同学参加“辉煌七十载，筑梦新时代”诗朗诵，男生有60人，女生有48人。在编排队形时，要求男生和女生分开站，每排的男生人数和每排的女生人数相等，每排最多有( )人，照这样一共站了( )排。 【答案】 12 9 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】由男生和女生分开站队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；求照这样一共站了几排，只要用男、女生人数分别除以每排的人数解答即可。 【详解】60＝2×2×3×5 48＝2×2×2×2×3 所以60和48的最大公因数是：2×2×3＝12 即每排最多有12人 男生站的排数：60÷12＝5（排） 女生站得排数：48÷12＝4（排） 一共站的排数：5＋4＝9（排） 【点睛】解答本题关键是理解：每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数。 11．（2分）智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。这天，居民李阿姨收到一条带有取件码的短信息，根据下面的描述，请你猜一猜，李阿姨的取件码是( )。 取件码ABCD中，A是一位数中最大的奇数；B比最小的质数大1；C同时是2和3的倍数；D是最小的合数。 【答案】9364 【知识点】公倍数与最小公倍数、质数与合数、奇数与偶数的认识 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，一位数中最大的奇数是9； 因数只有1和本身的数是质数，最小的质数是2，B比最小的质数大1，那么B是3； 2×3＝6，2和3的最小公倍数是6，C是一位数，那么C是6； 除了1和本身，还有别的因数的数是合数，最小的合数是4。据此填空。 【详解】李阿姨的取件码是9364。 三、判断题（共10分） 12．（2分）正整数a的所有因数都小于a。( ) 【答案】× 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是这个数的本身；如6的因数有：1、2、3、6，其中6是最大因数，就是6本身，据此解答。 【详解】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是这个数的本身；因此一个数的因数一定不大于这个数。所以正整数a的所有因数都小于a说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题考查因数，解答本题的关键是掌握一个数的因数不一定都小于它本身。 13．（2分）9的全部倍数是：9，18，27，36，45，54，63，72，81。( ) 【答案】× 【知识点】因数与倍数 【详解】9的倍数有：9，18，27，36，45，54，63，72，81，…… 故答案为：×。 【点睛】本题考查的主要内容是倍数的应用问题，根据倍数的定义，一个数的倍数的个数是无限的。 14．（2分）一根长60cm的铁丝围成一个长方形，如果长和宽都是质数，它的面积一定是161cm2。( ) 【答案】× 【知识点】质数与合数、长方形的周长、长方形的面积 【分析】铁丝的长就是长方形的周长，周长是60cm的长方形，一组长加宽的和是30cm，30可以分成1和29、2和28、3和27、4和26，5和25，6和24，7和23，8和22，9和21；10和20；11和19；12和18，13和17；14和16，其中只有7和23、11和19、13和17都是质数，符合要求。所以面积可能是161cm2、209cm2、221cm2，据此解答即可。 【详解】长方形的周长：60cm 一组长＋宽：60÷2＝30（cm） 因为长、宽均为质数，所以长、宽可以是： 7cm和23cm、11cm和19cm、13cm和17cm 所以长方形面积： 7×23＝161（cm2） 11×19＝209（cm2） 13×17＝221（cm2） 所以原题说法错误。 【点睛】求出一组长加宽的和是解答本题的关键，进而根据长、宽都是质数求出长和宽的长度。 15．（2分）请你检查，下面求最大公因数的题目做的对不对？ 求42和54的最大公因数。 42和54的最大公因数是：2×3×3=18。( ) 【答案】× 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】用短除法求两个数的最大公因数，要从最小的质数开始除起，直到两个数是互质数为止，然后把公有的质因数相乘就是它们的最大公因数；据此解答。 【详解】7和9已经是互质数，不能再继续除，42和54的最大公因数是2×3＝6，原题计算错误。 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查了最大公因数，关键是要掌握用短除法求两个数的最大公因数，要从最小的质数开始除起，直到两个数是互质数为止，然后把公有的质因数相乘就是它们的最大公因数。 16．（2分）8和10的乘积一定是这两个数的公倍数。( ) 【答案】√ 【知识点】公倍数与最小公倍数 【详解】8和10的乘积是8的倍数，也是10的倍数，所以8和10的乘积一定是这两个数的公倍数。 故答案为：√。 四、计算题（共9分） 17．（9分）用短除法求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 8和104           25和70          16和24 【答案】104，8； 350，5； 48，8 【知识点】公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】先利用短除法把每组的两个数进行分解质因数，这两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。 【详解】 8和104的最小公倍数是：2×2×2×1×13＝104 8和104的最大公因数是：2×2×2＝8 25和70的最小公倍数是：5×5×14＝350 25和70的最大公因数是：5 16和24的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48 16和24的最大公因数是：2×2×2＝8 五、解答题（共43分） 18．（7分）洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【知识点】运算性质（奇数和偶数） 【分析】根据偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，进行分析。 【详解】找得不对；理由：偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数。因为2和10都是偶数，所以无论买了几个甜甜圈和三明治，所花的钱数都是偶数，所以找回的钱数也是偶数，11是奇数，所以找得不对。 【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质。 19．（14分）小冬和小强玩掷骰子游戏，骰子的六个面上分别有1、2、3、4、5、6个点。小冬说：“我们两人每人掷一次，质数点朝上我赢，合数点朝上你赢。” （1）你觉得小冬的游戏规则公平吗？为什么？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】（1）游戏不公平，质数点比合数点多，小冬赢的可能性大，所以不公平。 （2）要想公平，两人每人掷一次，奇数点朝上小冬赢，偶数点朝上小强赢。 【知识点】可能性的大小、质数与合数、奇数与偶数的认识 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数；一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫作合数。 （1）1、2、3、4、5、6找出质数和合数，比较它们的个数是否一样，一样就公平，不一样，就不公平； （2）如果游戏规则不公平，重新制定公平的游戏规则。 【详解】（1）1、2、3、4、5、6这些数中，质数有：2、3、5 合数有：4、6 质数比合数多，小冬获胜的机会大，所以不公平。 答：游戏不公平，质数点比合数点多，小冬赢的可能性大，所以不公平。 （2）要想公平，就是小冬和小强获胜的机会一样多，两人每人掷一次，奇数点朝上，小冬赢，偶数点朝上，小强赢。 【点睛】本题考查可能性，根据质数、合数意义进行解答。 20．（7分）五年级（1）、（2）、（3）班要完成大扫除任务。五（1）班来了54人，五（2）班来了48人，五（3）班来了42人。如果把三个班的学生分别分成若干小组，要使三个班每个小组的人数相同，每班可以分成几组？ 【答案】见解析 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】求出三个班人数除1之外的公因数就是每组可以分的人数，进而再求出可以分成的组数。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54； 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 54、48、42的公因数有2、3、6。 每组2人时：54÷2＝27（组） 48÷2＝24（组） 42÷2＝21（组） 每组3人时：54÷3＝18（组） 48÷3＝16（组） 42÷3＝14（组） 每组6人时：54÷6＝9（组） 48÷6＝8（组） 42÷6＝7（组） 答：每组2人时，五（1）班可以分成27组、五（2）班可以分成24组、五（3）班可以分成21组；每组3人时，五（1）班可以分成18组、五（2）班可以分成16组、五（3）班可以分成14组；每组6人时，五（1）班可以分成9组、五（2）班可以分成8组、五（3）班可以分成7组。 【点睛】解决此题关键是把问题转化成求三个数的公因数，再根据求三个数的公因数的方法解答即可。 21．（7分）大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？ “抱团”游戏的规则 当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。 【答案】24人 【知识点】公倍数与最小公倍数 【分析】根据题意，口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功，所以人数应该是3、4和6的公倍数，同时该公倍数应该在20和30之间，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 3＝1×3 4＝2×2 6＝2×3 3、4或6的最小公倍数是：2×2×3＝12； 则3、4或6的公倍数有：12、24、36、48、60… 三个数的公倍数在20和30之间的为：24，所以有24人。 答：有24人在玩游戏。 22．（8分）园林工人在一段公路两侧种树，先在左侧每隔4米栽一棵树，一共栽了210棵。现在因为树木不够了，要改成每隔6米栽一棵树。那么，从第一棵树数起，有哪些树不用移栽？一共有多少棵不用移栽？（写出计算过程） 【答案】距离第一棵树的距离是12米倍数的数不用移栽，70棵 【知识点】公倍数与最小公倍数、植树问题 【分析】根据题干，先求出这条公路的总长度是（210－1）×4，因为4和6的最小公倍数是12，所以用总长度除以12再加上1（第一棵树不要移栽）即可得出不用移栽的树的棵数。 【详解】公路长度： （210－1）×4 ＝209×4 ＝836（米） 因4和6的最小公倍数是12 836÷12＝69（棵）……8（米） 不用移栽的树有：69＋1＝70（棵） 答：一共有70棵不用移栽。 【点睛】利用4和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意首尾都栽，所以要加1。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$