精品解析：河南省商丘市商丘实验中学2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024－2025学年度第一学期期末试卷（B） 九年级数学（RJ） 测试范围：21－27章相似三角形 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球 C. 任画一个三角形，它的内角和为 D. 如果，那么 3. 两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 将二次函数向上平移2个单位长度，得到的新抛物线相应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 9. 若二次函数的图象经过点和点，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6 10. 如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 4.5s或4.8s B. 3s或4.5s C. 4.5s D. 3s或4.8s 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 12. 如图，，，，，则的长为______． 13. 党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是______．（结果精确到0.01） 14. 如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算 （1）解方程： （2）已知，求的值 17. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 18. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 （1）求这个函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值； （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 19. 如图，已知，在平面直角坐标系中，点．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）请按要求对作如下变换： ①将绕点O逆时针旋转得到． ②以点O为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到． （2）在（1）的条件下，的坐标是___________，的坐标是___________． 20. 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP＝∠ADB； （2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长． 21. 如图，正方形的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，顶点C，D在第一象限，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点C的坐标； （3）将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度，当点A落在反比例函数图象上时，直接写出m的值． 22. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为4米．宽度为8米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”．使点，在抛物线上，点，在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 23. 四边形和四边形有公共顶点，连接和． （1）如图，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点旋转角时，和的数量关系是____，位置关系是____； （2）如图，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图，图，在（）的条件下，若，，矩形绕点逆时针旋转角，当时，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末试卷（B） 九年级数学（RJ） 测试范围：21－27章相似三角形 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解 【详解】解：A．是的一次函数，故该选项不符合题意； B．是的反比例函数，故该选项符合题意； C．是的正比例函数，故该选项不符合题意； D．是的二次函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球 C. 任画一个三角形，它的内角和为 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意； B、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意； C、任画一个三角形，它的内角和为，是必然事件，符合题意； D、如果，那么，是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键． 3. 两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长之比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积之比为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 4. 如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．由直径所对的圆周角为可得，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 将二次函数向上平移2个单位长度，得到的新抛物线相应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移特征可得答案． 【详解】将二次函数向上平移2个单位长度，得到新抛物线的函数表达式为，即． 故选：C． 6. 已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据题意画出草图，结合相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据题意作图如下： A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、，， ，不符合题意； D、根据和不能判断，符合题意； 故选：D． 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：A． 8. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 9. 若二次函数的图象经过点和点，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵点和点的纵坐标相同， ∴点和点关于直线对称， ∴， 解得， 故选：B． 10. 如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 4.5s或4.8s B. 3s或4.5s C. 4.5s D. 3s或4.8s 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可． 【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0． 12. 如图，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴, ∴， 故答案为： 13. 党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是______．（结果精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由题意知， 估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，扇形的面积公式，勾股定理，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据，，以及角平分线的性质即可得到四边形是正方形，进而根据正方形的性质得到，最后利用扇形的面积公式减去正方形的面积即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算 （1）解方程： （2）已知，求的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）根据，则设，再把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴设， 则． 17. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 18. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 （1）求这个函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值； （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体压强为 （3）体积V应不少于 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）把代入反比例函数解析式求解即可； （3）把代入反比例函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设， 由图可得，反比例函数图象过， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 当时， ， ∴气体压强为； 【小问3详解】 当时， ， 解得， ∴体积V应不少于． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 如图，已知，在平面直角坐标系中，点．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）请按要求对作如下变换： ①将绕点O逆时针旋转得到． ②以点O为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到． （2）在（1）的条件下，的坐标是___________，的坐标是___________． 【答案】（1） ①图中为所作；②图中为所作 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可；②连接并延长至,使,连接并延长至,使,连接并延长至,使,然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据平面直角坐标系写出点的坐标可得：B1的坐标是，B2的坐标是 【点睛】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 20. 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP＝∠ADB； （2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长． 【答案】（1）证明：连接OB，如图， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠A+∠ADB＝90°， ∵BC为切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OBA+∠CBP＝90°， 而OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠CBP＝∠ADB； （2）14 【解析】 【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据切线的性质得到∠OBC＝90°，然后利用等量代换进行证明； （2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长． 【详解】（1） 略 （2）∵OP⊥AD， ∴∠POA＝90°， ∴∠P+∠A＝90°， ∴∠P＝∠D， ∴△AOP∽△ABD， ∴＝，即＝， ∴BP＝14． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 21. 如图，正方形的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，顶点C，D在第一象限，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点C的坐标； （3）将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度，当点A落在反比例函数图象上时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． （1）将代入反比例函数中，即可求解； （2）过点作轴，过点作轴，结合正方形的性质利用即可证明，，得，，则，可知，，即可求得点的坐标； （3）由（2）可知，，在反比例函数中，当时，，即点在反比例函数上，要使得点落在反比例函数图象上时，只需点落在点时，进而可知此时． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴，过点作轴， 则， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 则， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下：由（2）可知，， 在反比例函数中，当时，，即点在反比例函数上， 将正方形沿轴正方向平移个单位长度，当点落在反比例函数图象上时， 即点落在点时， 则，此时． 22. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为4米．宽度为8米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”．使点，在抛物线上，点，在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】（1） （2） 能同时并行两辆宽米、高米的车辆， 当时， ∴能同时并行两辆宽米、高米的车辆． （3）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．读懂题意并掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得 设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 为8米，最高点距离地面高度为4米， 点，顶点即， 设抛物线的解析式为． 把代入，得， 解得： ∴这条抛物线的函数解析式为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 设， 则 ∵ ∴当时， w有最大值，为米 答：三根木杆，，的长度和的最大值是米． 23. 四边形和四边形有公共顶点，连接和． （1）如图，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点旋转角时，和的数量关系是____，位置关系是____； （2）如图，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图，图，在（）的条件下，若，，矩形绕点逆时针旋转角，当时，求出线段的长． 【答案】（1），； （2），； （3）或． 【解析】 【分析】（）延长交于，交于，利用证明得，，从而证明结论； （）延长交于，交于点，证明得，，从而证明结论； （）当在上方时，作于，由（），通过三角函数得出，则有，利用含角的直角三角形的性质得，，，在中，利用勾股定理求出的长，再根据可得答案，当在下方时，同理可得答案． 【小问1详解】 解：延长交于，交于， ∵四边形和是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 延长交于，交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当在上方时，作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 由（）知，， 当在下方时，作，交延长线于， 同理可得，， 由勾股定理得， 由（）知，， 综上：或． 【点睛】此题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用等，涉及到的数学思想方法有图形运动思想，分类讨论思想等，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $