精品解析：贵州省黔东南部分校2024-2025学年高三上学期12月检测数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算及除法运算化简求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的定义求结论. 【详解】不等式的解集为， 所以， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，结合向量的数量积运算来求得的值. 【详解】因为，所以，即， 即，则． 故选：A 4. 已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（ ） A. 200，24 B. 200，28 C. 100，24 D. 100，28 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】样本量为， 抽取的初中生人数为， 所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为. 故选：D 5. 若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求导，确定切线方程，结合面积求得，再验证是否经过第二象限即可； 【详解】由，得，， 则的图象在点处的切线方程为.将代入切线方程，得，将代入切线方程，得. 因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，所以， 解得或. 当时，切线经过第一、三、四象限，符合题意； 当时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意.故. 故选：D 6. 已知均为等差数列，且，则数列的前9项和为（ ） A. 45 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，然后根据等差数列的性质来求得正确答案. 【详解】由，所以数列的公差为，可得， 的前9项和为： ． 故选：C 7. 已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助抛物线定义计算即可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为， 当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得， 则. 故选：A. 8. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用外接球定义求得三棱锥外接球的球心位置即可计算出球的半径，可得其体积. 【详解】因为为直角三角形，其外接圆圆心为的中点， 设的中点为，过作平面的垂线与交于点， 为三棱锥外接球的球心，， 三棱锥外接球的体积为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对各选项给出的函数，逐一验证是否满足条件即可. 【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为. 对A：，，所以成立，故A符合题意； 对B：，，所以成立，故B符合题意； 对C：，，所以成立，故C符合题意； 对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据奇函数定义判断A，根据周期函数定义判断C，根据对称性的定义判断D，结合对勾函数性质求函数在上的最小值，证明在上，结合及周期性判断B. 【详解】函数的定义域为， 且，， 所以为奇函数，A正确． ，所以的最小正周期不是，C不正确． ，所以的图象不关于直线对称，D不正确． ，显然，且， 当时，， 令，则，得， 因为函数在上单调递减，故，即 所以．当时，，所以的最大值为，B正确． 故选：AB. 11. 笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与C有3个公共点 B. 若点P在第二象限，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，联立方程求解的个数即可判断，对于B，由．结合可判断，对于C，通过点在第一、第二、第四象限逐个判断即可，对于D，结合C中得到的，再结合基本不等式得到求解即可. 【详解】因为叶形线经过点，所以． 联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，A错误． ． 因为点P在第二象限，所以，， 所以，B正确． 若点P在第四象限，则，可推出 ． 因为， 所以．当点P在第二、四象限时，， 所以．当点P是原点或在第一象限时，易得， 所以，C正确． 由，可得，解得，所以，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，令，可得，求出答案. 【详解】展开式的通项．令，可得， 则的系数为． 故答案为： 13. 已知，，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件得到，进而得到，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以，，即，. 故. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分，和，画出和的图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】当时，显然恒成立． 当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后， 得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）， 当时，画出和的图象，如下： 需满足，又，解得2； 当时，画出和的图象，如下： 的图象始终在的图象的下方，满足要求， 综上，故的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：是等腰三角形. （2）若，求的最大值. 【答案】（1） 证明：因为，所以， 即， 所以，是等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知化简，结合两角和的余弦公式即可求证； （2）由（1）知，，利用余弦定理和二倍角公式得，从而，由三角函数性质可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以，. . 因为，所以. . ，其中， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为. （1）求AE的长度； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据锥体体积求得，建立空间直角坐标系，设，利用及向量垂直的坐标运算求得，利用直角三角形性质即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正弦值. 【小问1详解】 设，则，该四棱锥的体积为， 解得，即，． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，，， 设，则，． 若，则，解得，即E为PC的中点． 连接AC，在中，； 【小问2详解】 由（1）得，，． 设平面ABE的法向量为， 则即取，得． 设平面PBE的法向量为， 则即取，得． 设二面角的大小为， 则，所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响． （1）求甲同学初赛被淘汰的概率； （2）已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 【解析】 【分析】（1）先求出甲同学初赛不被淘汰答对中级编程题的数量，再根据独立事件的乘法公式分类讨论求解即可； （2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为， 则甲同学初赛不被淘汰的概率为， 所以甲同学初赛被淘汰的概率为； 【小问2详解】 由题意可取， 则， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 故. 18. 已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：设直线的方程为，，． 由得， ，， 所以，， 即点， 所以直线的方程为． 令，得． 又，所以直线的方程为． 令，得． 延长交于，延长交于． 由，得，则． 同理由，得，则． 因为，，显然， 所以． 【解析】 【分析】（1）通过点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，即可求解； （2）设直线的方程为，延长交于，延长交于． 通过向量数量积说明，，再通过 ，，及，即可求证； 【小问1详解】 因为是椭圆C的一个顶点，所以． 当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，． 故椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知函数的定义域为，区间，若，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集． （1）求函数在上的不动点集； （2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围； （3）若函数在上的不动点集为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，求方程的根即可得解， （2）构造函数，求导，结合余弦函数的有界性，对讨论，根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求解， （3）根据方程的三个根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 解得或， 故在上的不动点集为． 【小问2详解】 由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根． 令，则． 若，则在上恒成立，在上单调递增． 因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点． 若，则在上恒成立，在上单调递减． 因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点． 若，易知是上的偶函数，且在上单调递增． 因为，所以存在，使得， 则当和时，单调递增，当时，，单调递减． 因为，所以要使得在上有且只有一个实数根，则解得． 综上可得或 【小问3详解】 由题可知，方程在上存在3个实数根， 则， 从而 令，则，当和时，单调递增，当时，单调递减， 则解得． 因为， 所以的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 0 4. 已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（ ） A. 200，24 B. 200，28 C. 100，24 D. 100，28 5. 若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知均为等差数列，且，则数列的前9项和为（ ） A. 45 B. 50 C. 54 D. 60 7. 已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 8. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于直线对称 11. 笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与C有3个公共点 B. 若点P在第二象限，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为______． 13. 已知，，，，则__________. 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：是等腰三角形. （2）若，求的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为. （1）求AE的长度； （2）求二面角的正弦值. 17. 某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响． （1）求甲同学初赛被淘汰的概率； （2）已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望． 18. 已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：． 19. 已知函数的定义域为，区间，若，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集． （1）求函数在上的不动点集； （2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围； （3）若函数在上的不动点集为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $