广东省湛江市2024-2025学年高一上学期期末调研考试数学试卷

湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 湛江市 2024-2025 学年度第一学期期末调研考试 高一数学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1. 考查范围：必修第一册。 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点。作答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写 在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;答案不能答在试卷上。不按以上要求作答无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设集合 {1,3,5,7}, { 3 6}A B x x   ∣ ，则 A B （ ） A． 1,3 B． 1,7 C． 3,5 D． 5,7 2．函数   2 4xf x x   的一个零点所在区间为（ ） A．  1,0 B．  0,1 C．  1,2 D．  3,4 3．清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少 年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数 2 2 ( ) 1 x f x x   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．已知   2 cos 5    ，则  cos  （ ） A． 21 5  B． 2 5  C． 2 5 D． 21 5 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 6．已知函数   1 f x x x   ，  1,x  ，则下列不等式恒成立的是（ ） A．    28 2 4f f k k   B．    26 2 4f f k k   C．    24 2 4f f k k   D．    22 2 4f f k k   7．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数 t 满足关系式 0e ktm m  （ 0m 为初始质量， k 为常数，e 2.718 ）.已知经过 3 年，这种放射性物质的质量变为初始质量 的一半，再经过 6 年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A． 1 3 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 8 8．函数 1log 2xay x a    （ 0a  且 1a  ）的图象恒过定点  ,k b ，若m n b k   且 0m  ， 0n  ，则 9 1 m n  的最小值为（ ） A．9 B．8 C． 9 2 D． 5 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分. 9．下列等式成立的是（ ） A． 6 2 cos15 4   B． 4 4 3 cos 15 sin 15 2    C． 2 π tan 18 π 2 1 tan 8   D． π π 2cos sin 18 9 3 π cos 9   10．函数     π π sin 0, 0, 2 2 f x A x A                的部分图象如图，则（ ） A．  f x 的最小正周期为 π B．  f x 的图象关于点 π ,0 12       对称 C．  f x 在 5π π , 6 3        上单调递增 D．  f x 在 0,π 上有 2 个零点 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试 高一数学试卷 第 3 页 （共 4 页） 11．已知   2 2 3, 0 ln 2, 0 x x x f x x x         ，则下列结论正确的是（ ） A．   1 3f f   B．函数  f x 的单调递增区间为    1,0 0,   C．当 4 3k    时，方程  f x k 有三个不相等的实数根 D．当且仅当 3k   时，方程  f x k 有两个不相等的实数根 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．命题 p ： 2x  ， 2 1 0x   ，则 p 是 . 13．已知 sin 3cos 2 2cos sin        ，则 tan  . 14．若     log 1 , 2 ( ) 2 3 9, 2 a x x x f x a x         ，且  f x 满足：对任意实数 1 2x x ，都有  1 2 1 2 ( ) 0 f x f x x x    成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13 分） （1）计算 2 0.5 3 01 102 2 π 4 27               ； （2）计算   2 lg5 lg 2 lg50 lg0.01   ； （3）已知 1 1 2 2 2 3a a    ，求式子 1 1 1 2 2 a a a a     的值. 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试 高一数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 16．（15 分） 已知sin cos m   ． (1)若 2m  ，求 tan 的值； (2)若 2 2 1 10 tan tan 3     ，且 0, 4         ，求实数m 的值． 17．（15 分） （1）已知 5 4 x  ，求 1 4 2 4 5 x x    的最大值； （2）若正数 x，y 满足 2 2 0x xy   ，求3x y 的最小值. 18．（17 分） 已知函数   3sin 6 f x x        的最小正周期为 π，其中 0  ． (1)求的值； (2)当 π π , 4 4 x       时，求函数  f x 的单调区间； (3)求函数  f x 在区间 π 0, 2       上的值域． 19．（17 分） 已知函数  f x 的定义域为 D,且  0,D   ，若对任意 1 2,x x D ，当 1 2x x 时，     11 2 2 2 log x f x f x x   恒成立，则称  f x 为D上的T 函数. (1)若定义在  0,  上的函数  g x 为减函数，判断  g x 是否为  0,  上的T 函数，并 说明理由； (2)若  f x 为  0,  上的T 函数，且  2 5f  ，求不等式    22 log 32f x x 的解集； (3)若    32 2log logk x x a x  为 1 ,2 2       上的T 函数，求实数a的取值范围. 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 1 页 （共 6 页） 湛江市 2024-2025 学年度第一学期期末调研考试 高一数学 参考答案与评分标准 一、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B B D D B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分. 题号 9 10 11 答案 ABD ABD AC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12． 2x  ， 2 1 0x   13． 1 3 14．  2,3 详解: 2．C【详解】由题意知，   11 2 1 4 1 0f       ，   22 2 2 4 2 0f      ， 因为 (1) (2) 0f f  ，所以 (1,2)是函数 ( )f x 的零点所在的一个区间.故选：C. 3．B【详解】少年强则国强；国强不一定少年强，所以“国强”是“少年强”的必要条件. 故选：B 4．B【详解】 2 2 ( ) 1 x f x x   的定义域为R ， 2 2 ( ) ( ) 1 x f x f x x       ， ( )f x 为奇函数， 排除 C、D； (1) 1 0f   ，排除 A.故选：B. 5．B【详解】由  cos cos     ，得 2 cos 5    ，所以   2 cos cos 5      ．故选：B 6．D【详解】任取 1 21 x x  ，则       1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 , x x f x f x x x x x x x x x         ∵ 1 2 1 20, 1x x x x   ，∴    1 2 0f x f x  ，则  f x 在  1, 上单调递增． 又   22 2 4 1 3 3 2k k k       ，所以    22 2 4f f k k   ．故选：D. 7．D【详解】经过 3 年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即 3t  时， 3 1e 2 k  ， 则再经过 6 年， 9t  ， 3 9 0 0 0e 1 2 8 1km m m m          . 故选：D 8．B 【详解】函数 1log 2xay x a    （ 0a  且 1a  ）的图象恒过定点  1,3 ,所以 + 3 1 2m n    ， 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 2 页 （共 6 页） 9 1 9 1 9 ( )( ) 10 10 2 162 9 m n m n n m m n m n                , 16 8 9 1 9 1 2 m n m n           ， ,当且仅当 9n m m n  ，即 1 3 , 2 2 n m  等号成立故选：B. 9．ABD【详解】因为cos15 cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30          6 2 4  ， A 项正确； 4 4 2 2 2 2 3cos 15 sin 15 (cos 15 sin 15 )(cos 15 sin 15 ) cos30 2           ，B 项正确； 2 2 2 2 π π π tan tan cos 1 π π 1 π 28 8 8 2sin cos sin π π π 2 8 8 2 4 4 1 tan cos sin 8 8 8        ，C 项错误； π π π π π π 2cos sin 2cos( ) sin 3 cos 18 9 6 9 9 9 3 π π π cos cos cos 9 9 9       ，D 项正确.故选：ABD. 10．ABD【详解】由题意 2A  ， (0) 2sin 1f   ， 1 sin 2   ，又 π π 2 2    ，∴ π 6   ， 由五点法 2π π 3π 3 6 2    ， 2  ，所以 π ( ) 2sin(2 ) 6 f x x  ， 最小正周期为 2π π 2 T   ，A 正确； π π π ( ) 2sin( ) 0 12 6 6 f      ，B 正确； 5π π [ , ] 6 3 x   时， π 3π π 2 [ , ] 6 2 2 x     ， ( )f x 在此区间是递减，C 错； 结合选项 B 和周期知 5π 11π ( ) ( ) 0 12 12 f f  ，D 正确，故选：ABD． 11．AC【详解】A： (1) 2f   ，所以          2 1 2 2 2 2 3 3f f f          ，故 A 正确； B：作出函数 ( )f x 的图象，如图，由图象可知，函数 ( )f x 在 ( 1,0) 和 (0, ) 上单调递增， 但不连续，所以不能用“ ”的符号，故 B 错误； C：由图象可知，当 4 3k    时，函数 ( )y f x 与 y k 的图象有 3 个交点，方程 ( )f x k 有 3 个不等的实根，故 C 正确； D：由图象可知，当 3k   或 4k   时，函数 ( )y f x 与 y k 的图象有 2 个交点，方程 ( )f x k 有 2 个不等的实根，故 D 错误；故选：AC. 12． 2x  ， 2 1 0x   ，【详解】命题 p ： 2x  ， 2 1 0x   为全称量词命题， 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 3 页 （共 6 页） 则 p 是 2x  ， 2 1 0x   ，故答案为： 2x  ， 2 1 0x   ， 13． 1 3 【详解】由 sin 3cos tan 3 2 2cos sin 2 tan             ，解得 1 tan 3   .故答案为： 1 3 . 14．  2,3 【详解】函数  f x 的定义域为R ， 对任意 1 2x x ，都有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x    成立， 则函数  f x 是R 上的单调递增函数，    2 1, 2 3 1, log 1 2 3 9,a a a a          解得2 3a  ， a 的取值范围是  2,3 .故答案为：  2,3 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1） 1 16  ；（2） 1 ；（3） 7 2 . 【详解】（1）原式 1 2 1 2 2 3 2 3 2 39 64 3 4 3 9 1 1 1 1 4 27 2 3 2 16 16                                           ；………4 分 （2）原式          2 2 2 lg5 lg10 lg5 lg10 lg5 2 lg5 1 lg5 2 1           ；……… …… 8 分 （3）因为 1 1 2 2 2 3a a    ，则 2 1 1 12 2 2 12a a a a            ， 可得 1 14a a  ， …….. ………10 分 2 1 1 12 2 2 16a a a a             ，因为 1 1 2 2 0a a    ，故 1 1 2 2 4a a    ， ……..………12 分 因此， 1 1 1 2 2 14 7 4 2 a a a a       ………….. .………13 分 16．(1)1 (2) 1 3 2  【详解】（1）由sin cos 2   ，可得     2 2 2sin cos 2 2 sin cos       …………3 分 所以 2(sin cos ) 0   ，即sin cos  ， ……………………6 分 所以 sin tan 1 cos      ……………………7 分 （2）由 2 2 1 10 tan tan 3     ，可得 4 210tan tan 1 0 3     ， ……………………9 分 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 4 页 （共 6 页） 解得 2tan 3  或 1 3 ， ……………………11 分 而 0, 4         ，所以 2 1tan 3   ，解得 6    ， ……………………13 分 所以 1 3 sin cos 6 6 2 m       ． ……………………15 分 17．（1）1；（2）4 【详解】（1）由于 5 4 x  ，所以4 5 0x  ， ……………………1 分 所以 1 1 4 2 4 5 3 4 5 4 5 x x x x         ……………………2 分     1 1 4 5 3 2 4 5 3 1 4 5 4 5 x x x x                    ， ……………………4 分 当且仅当   1 4 5 ,4 5 1, 1 4 5 x x x x          时等号成立， ……………………6 分 所以 1 4 2 4 5 x x    的最大值为1. ……………………7 分 （2）依题意，正数 x，y 满足 2 2 0x xy   ， 所以 2 2 2x y x x x       ， ……………………10 分 所以 2 2 2 3 3 2 2 2 4x y x x x x x x x          ， ……………………13 分 当且仅当 2 2 , 1x x x   时等号成立， ……………………14 分 所以3x y 的最小值为4 . ……………………15 分 18．(1) 2  (2)函数  f x 的单调减区间为 π π , 4 6        ，单调增区间为 π π , 6 4       (3) 3 ,3 2       【详解】（1）由函数  f x 的最小正周期为 π， 0  ，所以 2π πT    ， 可得 2  ， ……………………2 分 （2）由（1）可知   3sin 2 6 f x x        ， 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 5 页 （共 6 页） 当 π π , 4 4 x       ，有 π π 2 2 2 x   ， 2π π π 2 3 6 3 x    ， ……………………5 分 当 2 2 6 π π π 3 x    ，可得 π π 6 4 x   ， ……………………7 分 故当 π π , 4 4 x       时，函数  f x 的单调减区间为 π π , 4 6        ， 单调增区间为 π π , 6 4       ． ……………………9 分 （3）当 π 0, 2 x       ，有0 2 πx  ， π π 5π 2 6 6 6 x    ， ……………………11 分 可得 1 π sin 2 1 2 6 x          ， ……………………14 分 有   3 3 2 f x   ， ……………………16 分 故函数  f x 在区间 π 0, 2       上的值域为 3 ,3 2       ． ……………………17 分 19．(1)  g x 为  0,  上的T 函数，理由见解析 (2)  0,1 (3)  , 1  【详解】（1）设任意  1 2, 0,x x   ，且 1 2x x ，因为定义在  0,  上的函数  g x 为减函数， 所以    1 2g x g x ，所以    1 2 0g x g x  . ……………………1 分 因为  1 2, 0,x x   ，且 1 2x x ，所以 1 2 0 1 x x   ，则 1 2 2 log 0 x x  ， ……………………3 分 所以     11 2 2 2 log x g x g x x   恒成立，故  g x 为  0,  上的T 函数. ……………………4 分 （2）设任意  1 2, 0,x x   ，且 1 2x x ，因为  f x 为  0,  上的T 函数，所以     11 2 2 2 log x f x f x x   ，即得    1 2 1 2 2 2log logf x x f x x   ， ……………………5 分 故     2logh x f x x  在  0,  上为减函数. ……………………6 分 因为  2 5f  ，所以  2 4h  . ……………………7 分 因为    22 log 32f x x ，所以    2 22 log 2 log 16 4f x x   ， ……………………8 分 即    2 2h x h ， ……………………9 分 所以0 2 2x  ，解得0 1x  ， ……………………10 分 湛江市 2024—2025 学年度第一学期期末调研考试高一数学参考答案及评分标准 第 6 页 （共 6 页） 则    22 log 32f x x 的解集为  0,1 . ……………………11 分 （3）    32 2log logk x x a x  为 1 ,2 2       上的T 函数， 所以    32 2 2log log logp x x a x x   在 1 ,2 2       上为减函数 . ……………………12分 设  2log 1,1t x   ，则    2 3 1q t t a t   在 1,1 上为减函数， ……………………14 分 则 3 1 1 2 a    ，即 3 1a   ， ……………………15 分 因为 3y x 为R 上的增函数，且 3( 1) 1   ，所以 1a   ， ……………………16 分 即 a的取值范围为  , 1  . ……………………17 分 ■ ■ 湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 请在各置日的客题区域内作落，是出矩形边框限定区城的客案无效！ 清在各里日的答灌区域内作客，短出矩悉边框W定区域的答案无效 高一数学答题卡 15本小厘调分15分到 0.(本小题请分5分) 难考证号 班 0:1100100 你 名 考场 141【47L41141441141414】4 J29J1711171311t7 考 号 (7 18 18:1 1门能摩，节生有海定响有目比的州8准有适学璃写度两 2的修置，核章泰形内上销重餐红号州君明车人制月秀星 主透杆吧陕明国量块肆：非年是号用口号 他指车落7电作有，T体题艺生使是 贴条形码区城 以端想月同的行丰观：作早磷果止细自1两相尾等 4的传车海请，青准为是，程内地 填染样酬王薄销净：■ 恰2填峰：的口☒印缺专移记。口 选泽是1请用2B船笔填涂) 3 TAJ INJ D01 IDO 9tJta1【C1co1 2【1t0110101 6 tAI INI CCI:IDO 10【a3t01【01t01 3J【w1TegB1 y[aJ【1re11 1【43a1【e1r01 4【JCm1tc1co1 RA1Cd1D的 参选择围请使两①5要米的属色学凌益学蛇书写) 2.45分 135分) 45分 请在备赠日的答题区罐内作答。超出矩形边檀圈定区域的答案无效： 请在各赠日的答题区域肉作有。男出矩形边框雕定区适的答案无效！ 清在备塑日的答避区域内作答，阳出矩形动柜限定区城的答率无效] 高一数学.第1瓦（共2页 请在各量日的客通区域内作答，姐出矩形达框限定区城的客需无效 请在各置日的客题区域内作落，是出矩形边框限定区城的客案无效！ 清在各里日的答灌区域内作客，短出矩悉边杠W定区域的苍案无效 7.4本小图满分15分 8.(本小题清分17分 9.〔本小题清分1T分) 请在青增日约答赠区国内作答，胡出矩形边框假定区的答案无效 情在各赠日的答题区域肉作有。男出矩形边框雕定区适的答案无效！ 清在高塑日的答避区域内作答，阳出矩形动柜限定区城的答率无效： 高一数学.第2瓦（共2页1