安徽省省十联考2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学试题

2024~2025学年度高二年级上学期期末测试 数学试题 (考试时间：120分钟满分：150分)》 注意事项： 1、答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位， 2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号 3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题 可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号 所指示的答题区城作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效 4,考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交 一、单选题 1.平面中两条直线与12垂直，己知直线1的倾斜角为45°，则直线2的斜率为() A.1 B.-1 C.2 D.-√2 2.在四面体O-ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点， 若不=xOA+yOB+zOC,则x+y+z的值为(） A.月 1 B.3 M C.1 D.2 ·已知双曲线C:二1(@>0,6>0)的离心率为V6,则c渐近线方程为( A.x±2y=0 B.√5x±y=0 C.x±V5y=0 D.2x士y=0 4。设又是等比数列o,}的前n项和，若S=4a,+4+a=6,则、。《) S3+S6 9 19 9 B. 10 C. 14 D. 14 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若抛物线上一点M满足IF卡4，∠OFM=120°，则 p=() A.1 B.2 C.3 D.4 高二年级上学期期末测试·数学第1页（共4页） 省寸联考 C⑤扫描全能王 3亿人套在用的月指Ap的 6.将正奇数按照如图排列，我们将3,7,321,31，都称为拐角数”，则下面是拐角数的为(） 2325272931 21- 19p 33 174 35 15 中5 37 31g 67 39 41 ·43 45 A.55 B.75 C.91 D.109 7.已知P是圆x2+y2+2x-15=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2-2x=0的两条切线，切点 分别为A、B,则四边形PACB的外接圆的面积的最大值为() A.8π B.9π C.16π D.36m 8.如图，四边形ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角 形，现将△ABD沿BD折起，当二面角4-BD-C的平面角大小2严时，直线AD与BC所成角的 3 余弦值是() A. 8 B.52 8 c. 22-6 2W2+√6 P D. 8 二、多选题 9.记等差数列{a,}的前n项和为S,若a4=-3,S,=11,则（) A.{a}是递增数列 B.a5+a6<0 C.当n=5时，Sn取得最小值 D.若Sn>0,则n的最小值为11 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点O为BD的中点， D 且点P满足B乎=1BC+HBB,则下列说法正确的是() A.若点P与C重合，则2=2,4=2 B.若DP∥平面ABD,则1+4=1 C.存在唯一的点P使得OP⊥平面ABD D:- 】 D.若1=l,4=2则点P到平面ABD的距离为V5 B 11,古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶 角为2α，用一个平面Γ去截该圆锥面，随着圆锥的轴和Γ所成角B的变化，截得的曲线的形状也 不同，据研究，曲线的离心率为e=c0s,比如，当a=B时，e=1,此时截得的曲线是抛物线。如 coSa 图2，在底面半径为2，且a=的圆锥中，AB、CD是底面圆0上互相垂直的直径，E是母线SC 上除端点外的一点，用过E,A,B三点的平面去截该圆锥，则下列说法正确的是() 高二年级上学期期末测试·数学第2页（共4页）省十跳考 C⑤扫描全能王 3亿人套直厢的归指Ap单 图1 图2 A. 圆锥的体积为 3 B.若cos,B= ,则平面E4B与圆锥底面的夹角为30° 2 C.当CE<ES时，截得的曲线是椭圆的一部分 D.若CB=3BS,平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为3 5 三、填空题 12.已知空间向量ā，6，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|ā++c 13. 已知数列{a}的前n项和为Sn,an+a1=2,(n∈N),若数列 的前k项和为买，=7 则k=一 14.已知曲线C:华+1，P心，W为C上一点，则%+5，-3引的取值范围为 四、解答题 15,在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线x-y-3=0上，且圆M与直线x-y-1=0相 切于点P0,-1) (1)求圆M的方程； (2)过2,1)的直线1被圆M截得的弦长为2，求直线1的方程。 16.若数列{a,}的前m项和为S,且2S,=3an-3,(n∈N）.数列b}满足 b+b+b+.+b=n(n+2)nEN) (1)求数列{a,},{也}的通项公式： 2)设C,=么，求数列仁，}的前m项和工，并证明1s工<2. 09 高二年级上学期期末测试·数学第3页（共4页)省十联考 C③扫描全能王 3亿人套在用的月指Ap的 17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3. B为PD的中点，点F在PC上，且PF=. (1)求证：AE⊥CD: (2)求直线PB与平面AEF所成角的正弦值： (3)在棱PB上，是否存在点G,使得A,G,B,F四点共面诺存在，求出P 的值，若不存 PB 在，请说明理由。 18.已知圆F:(x+1)2+y2=1,圆F:(x-1)+y2=9,若动圆P与圆F外切，且与圆F2内切，记动圆 圆心P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)已知点A(-2,0),过点F2且斜率不为0的一条直线，交曲线C于P、Q两点，直线AP,AQ 分别与直线x=4交于M,N两点. ①求证：直线F2M与直线FW的斜率之积为常数：②求△WF,面积的取值范围. 19.若有穷数列4，a2,,a,(n是正整数)，满足a=a-41(1eN,且1≤i≤m),就称该数列为“对称数列” (1)已知数列{b}是项数为7的对称数列，且b,b2,b成等比数列，b2,b3,b4成等差数列 b2=2,b4=6,试写出{bn}的每一项： (2)已知{c}是项数为2k+1(k≥)的对称数列，且c,c+2,…,c2k1构成首项为-90，公差为3的 等差数列，数列{c}的前2k项和为S2k,则当k为何值时，S2k取到最小值？最小值为多少？ (3)设数列{d}是项数为2m-1(meN·且m≥2)的“对称数列”，且满足|dn+1一dnl=3,记S。 为数列{d}的前n项和.若d1=2187,S2m-1=2187,求m的最小值 高二年级上学期期末测试·数学第4页（共4页)省十既考 C⑤扫描全能王 3亿人套直用的归指Ap明2025 高二期末数学答案 第1页/共15页 2024～2025 学年度高二年级上学期期末测试 数学参考答案 一、单选题 1．平面中两条直线 1l 与 2l 垂直，已知直线 1l 的倾斜角为 45 ，则直线 2l 的斜率为（ ） A．1 B． 1− C． 2 D． 2− 【答案】B 【详解】因 21 ll ⊥ ，所以直线 1l 与 2l 的斜率之积为 1− ， 易知直线 1l 的斜率为 1，故直线 2l 的斜率为 1− ， 故选：B. 2．在四面体O ABC− 中，点M 为线段OA靠近 A 的四等分点， N 为 BC 的中点，若 MN xOA yOB zOC= + +     ，则 x y z+ + 的值为（ ） A． 14 B． 1 3 C．1 D． 3 2 【答案】A 【详解】由空间向量基本定理可得 ( ) ( ) ( )1 1 1 1 14 2 4 2 2 3 1 1 4 2 2 MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC = + = + + = + − + − = − + +               又由题干MN xOA yOB zOC= + +     ，则 3 4 1 2 1 2 x y z  = −   =   = ，故 1 4 x y z+ + = . 故选：A. 3．已知双曲线 ( ) 2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b − = > > 的离心率为 6 ，则C 渐近线方程为（ ） 2025 高二期末数学答案 第2页/共15页 A． 02 =± yx B． 05 =± yx C． 05 =± yx D． 02 =± yx 【答案】B 【详解】双曲线 ( ) 2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b − = > > 的离心率为 6 ， 故 61 2 2 =+== a b a ce ，则 552 2 =⇒= a b a b ，故渐近线方程为 05 =± yx ， 故选：B 4．设 nS 是等比数列{ }na 的前n项和，若 3 4 5 64, 6S a a a= + + = ，则 63 9 SS S + （ ） A． 10 9 B． 10 19 C． 14 9 D． 14 19 【答案】D 【详解】设等比数列{ }na 的公比为q，若 1q = ，则 4 5 6 1 33a a a a S+ + = = ，矛盾，所以 1q ≠ ， 故 ( ) ( )3 3 34 1 3 4 5 6 3 1 1 1 1 a q a q q a a a q S q q − − + + = = = − − ，则 3 3 2 q = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 6 3 1 13 6 3 1 1 51 1 1 2 a q a q S q S q q − − = = + ⋅ = − − ， ( ) ( ) ( ) 9 3 1 13 6 9 3 1 1 191 1 1 4 a q a q S q q S q q − − = = + + = − − ， 因此 14 19 2 5 4 19 33 3 63 9 = + = + SS S SS S . 法二：因 nS 是等比数列{ }na 的前n项和，所以 69363 ,, SSSSS −− 成等比数列， 从而 969 =− SS ， 199 =S ， 14 19 104 19 63 9 = + = + SS S . 故选：D. 5．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p= > 的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足 | | 4MF = ， 2025 高二期末数学答案 第3页/共15页 120OFM∠ = °，则 p =（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设过M 分别向准线做垂线,垂足为 N ， 根据抛物线定义，有 4MF MN= = ， 而 | | cos 60 2 4MF p MF p= + ⋅ ° = + = ，所以 2p = . 故选：B 6．将正奇数按照如图排列，我们将3,7,13,21,31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数 的为（ ） A．55 B．75 C．91 D．109 【答案】C 【详解】不妨设第 n（n ∗∈N ）个“拐角数”为 na ， 不难发现 2 1 3 2 4 3 12 2, 2 3, 2 4, , 2n na a a a a a a a n−− = × − = × − = × − = ( )2n ≥ ， 所以 ( )( ) ( )( )1 1 4 2 4 6 8 2 1 2 2n n n a a n n n − + − = + + + + = = − + ，得 2 1na n n= + + ， 当 1n = 时，也符合上式，所以 ( )2 *1 Nna n n n= + + ∈ ， 所以第 7 个“拐角数”是 27 7 7 1 57a = + + = ， 第 8 个“拐角数”是 28 8 8 1 73a = + + = ， 第 9 个“拐角数”是 29 9 9 1 91a = + + = ， 第 10 个“拐角数”是 210 10 10 1 111a = + + = ， 故 C 对 故选：C 2025 高二期末数学答案 第4页/共15页 7．已知 P 是圆 015222 =−++ xyx 上一动点，过点 P 作圆 C： 0222 =−+ xyx 的两条 切线，切点分别为 A、B，则四边形 PACB 的外接圆的面积的最大值为（ ） A．8π B．9π C．16π D．36π 【答案】B 【详解】圆的方程 0222 =−+ xyx ，即为 ( )2 21 1x y− + = ，圆心 ( )1,0C ， 易知四边形 PACB 的外接圆的直径为 PC， 因为 P 是圆 015222 =−++ xyx 上一动点，所以 PC 的最大值为 6. 此时四边形 PACB 的外接圆的半径为 3r = ， 所以四边形 PACB 的外接圆的面积的最小值为 2π 9S r π= = . 故选：B 8．如图，四边形 ABCD中， ABD∆ 是边长为 2 的正三角形， BCD∆ 是以 BD为斜边的等 腰直角三角形，现将 ABD△ 沿BD折起，当二面角 A BD C− − 的平面角大小 3 2π 时，直线 AD与 BC 所成角的余弦值是（ ） A． 2 8 B． 5 2 8 C． 8 622 − D． 8 622 + 【答案】D 【详解】取 BD 中点 E，连接 CE，AE，易知 AEC∠ 为二面角 A BD C− − 的平面角， 所以 3 2π =∠AEC ，过点 E 作平面 BCD 的垂线 EF，以 E 为原点，EC、ED、EF 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 ( ) ( )       −− 2 3,0, 2 3,0,1,0),00,1(,0,1,0 ADCB , 从而 ( )       −== 2 3,1, 2 3,0,1,1 ADBC ，所以 8 622 22 2 31 ,cos += ⋅ + =ADBC . 所以直线 AD与 BC 所成角的余弦值是 8 622 + . 故选：D 2025 高二期末数学答案 第5页/共15页 二、多选题 9．记等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 34 −=a ， 1111 =S ，则（ ） A．{ }na 是递增数列 B． 065 <+ aa C．当 5=n 时， nS 取得最小值 D．若 0nS > ，则 n 的最小值为 11 【答案】ACD 【详解】对于 A，由题意可得 1 9 2 a d = −  = ，故{ }na 是递增数列，故 A 正确； 对于 B， 1 ( 1) 2 11na a n d n= + − = − ， 01165 =+−=+ aa ，故 B 错误； 对于 C， ( ) ( )2219 2 10 5 25 2n n n S n n n n − = − + × = − = − − ， 所以当 5n = 时， nS 取到最小值 25− ，故 C 正确； 对于 D，令 0nS > ，即 2 10 0n n− > ，解得 10n > 或 0n < ， 因为 *n∈N ，所以使 0nS > 的 n 的最小值为 11，故 D 正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，点 O 为BD的中点，且点 P 满足 1BP BC BBλ µ= +    ，则下列说法正确的是（ ） A．若点 P 与 C1 重合，则 2 2λ µ= =， B．若 D1P // 平面 A1BD，则 1λ µ+ = C．存在唯一的点 P 使得 OP⊥平面 A1BD D．若 1λ = ， 1 2 µ = ，则点 P 到平面 A1BD 的距离为 3 【答案】BCD 【详解】对于 A，因为 11 BBBCBC += ，所以 1 1λ µ= =， . 故 A 错误. 对于 B, 易知平面 CBD 11 // 平面 A1BD，所以在 P 在直线 CB1 上， 而 1BP BC BBλ µ= +    ，则 1λ µ+ = .故 B 正确. 对于 C, 以D为原点建立空间直角坐标系， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12,0,0 , 2, 2,0 , 0,2,0 , 2,0,2 , 2,2,2 , 0,0,2 , 1,1,0 , 0,2,2A B C A B D O C ， 则 ( ) ( ) ( )1 2, 2,0 2,0,0 0,0, 2DP DB BP DB BC BBλ µ λ µ= + = + + = + − +       2025 高二期末数学答案 第6页/共15页 ( )2 2 ,2,2λ µ= − ， 故 ( )2 2 ,2,2P λ µ− ， ( ) ( )1 2,0, 2 , 2, 2,0DA DB= =   ，设平面 1A BD 的法向量为𝑛𝑛�⃗ = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)， 则 1 2 2 0 2 2 0 n DA x z n DB x y  ⋅ = + =  ⋅ = + =     ，故可设 ( )1,1,1n = − ， ( )µλ 2,1,21−=OP ，若 OP⊥平面 A1BD，则 nOP // 所以 1 2 1 1 1 21 µλ == − − ，从而 2 1,1 == µλ ，点 P 位置唯一确定，故 C 正确 对于 D，当 1λ = ， 1 2 µ = 时，此时 ( )1,1,1−=OP . 由 C 知，此时 OP⊥平面 A1BD， 所以点 P 到平面 A1BD 的距离为 3=OP . 故 D 正确. 故选：BCD. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图 1，设圆锥 轴截面的顶角为2α ，用一个平面Γ去截该圆锥面，随着圆锥的轴和Γ所成角β 的变化，截 得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为 cos cos e    ，比如，当α β= 时， 1e = ， 此时截得的曲线是抛物线．如图 2，在底面半径为2，且 4 πα = 的圆锥中， AB 、CD是底 面圆O上互相垂直的直径，E 是母线SC 上除端点外的一点，用过 E，A，B 三点的平面去 截该圆锥，则下列说法正确的是（ ） A．圆锥的体积为 3 8π B．若 2 3cos =β ，则平面 EAB与圆锥底面的夹角为 30 C．当CE ES< 时，截得的曲线是椭圆的一部分 2025 高二期末数学答案 第7页/共15页 D．若 3CE ES= ，平面 ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为 5 53 【答案】ACD 【详解】对于 A，在圆锥 SO中，其底面半径为2，且 4 πα = ，故 2OC OD OS= = = ， 所以圆锥的体积为 ( ) 3 824 3 1 ππ =× . 故 A 正确. 对于 B, 连接 EO，因 SOCAB 平面⊥ ，所以 SOCABE 平面平面 ⊥ ， 从而 β=∠EOS ，所以 30=β ， 易知平面 EAB与圆锥底面的夹角为  6090 =−=∠ βEOC . 故 B 错误. 对于 C, CE ES< 时，已知 45>β ，则曲线的离心率为 cos cos 45 1 cos cos 45 e        ， 所以截得的曲线是椭圆的一部分. 故 C 正确. 对于 D, 在 EOS∆ 中， 045,2, 2 2 4 1 =∠=== ESOOSCSES ，所以 10 103coscos ==∠ βEOS ，所以离心率为 3 10 cos 3 510 cos 52 2 e      . 故 D 正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知空间向量 a， b  ， c  两两夹角均为60°，其模均为 1，则 | |a b c+ + =    . 【答案】 6 【详解】 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c a b c a b a c b c+ + = + + = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅                22 2 2 cos 60 2 cos 60 2 cos 60a b c a b a c b c= + + + ⋅ ° + ⋅ ° + ⋅ °          1 1 11 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 6= + + + × × × + × × + × × × =× . 故答案为： 6 13．已知数列{ }na 的前n项和为 ( )1, 2n n nS a a n N++ = ∈， ，若数列 2 2 2 1 n nS S +       的前 k 项和为 4 17k T = ，则 k = ． 【答案】16 2025 高二期末数学答案 第8页/共15页 【详解】因为 1 2n na a + =+ ，所以 ( ) ( ) ( )2 1 2 3 4 2 1 2 2n n nS a a a a a a n−= + + + + + + = ， 则 ( )2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 2 2 2 4 1 4 1 2 2 3 1kn n T S S n n n n k k+         = = − = − + − + + −        + + +          1 1 1 4 , 4 1 1 17k  = − = +  解得 16k = . 故答案为：16． 14. 已知曲线C ： | | | | 1 3 x x y y+ = ， 0 0( , )P x y 为C 上一点，则 0 0| 3 3 |x y −+ 的取值范围 为 . 【答案】 )3 6,3 − 【详解】曲线 | | | | 1 3 x x y y+ = 化为 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0) 3 1( 0, 0) 3 1( 0, 0) 3 x y x y x y x y xy x y  + = ≥ ≥   − = ≥ <   − = < ≥  ， 画出图形如下，其中直线 3 0x y+ = 为曲线C 对应双曲线的渐近线， 0 0| 3 3 |x y −+ 表示曲线C 上点 0 0( , )P x y 到直线 3 3 0x y+ − = 的距离的 2倍， 又直线 3 3 0x y+ − = 与直线 3 0x y+ = 平行且距离为 3 0 3 21 3 − = + ， 于是 0 0| 3 3 | 3x y −+ < ，随着 0| |x 的增大， 0 0| 3 3 |x y −+ 值无限接近于3， 当 0 0( , )P x y 在 2 2 1( 0, 0) 3 x y x y+ = ≥ ≥ 上时，该点到直线 3 3 0x y+ − = 的距离可取得最小 值， 2025 高二期末数学答案 第9页/共15页 设 0 03 cos , sin 0 2 x y πθ θ θ  = = ∈   ， ， ，则 0 0( , )P x y 到直线 3 3 0x y+ − = 的距离为 π| 6 sin( ) 3 || 3 cos 3 sin 3 | 3 64 2 2 2 θθ θ + −+ − − = ≥ ，当且仅当 4 πθ = 时取等号， 所以 0 0| 3 3 |x y −+ 的取值范围为 )3 6,3 − . 四、解答题 15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 的圆心在直线 03 =−− yx 上，且圆 M 与直线 01=−− yx 相切于点 ( )1,0 −P . (1)求圆 M 的方程； (2)过 ( )1,2Q 的直线 l被圆 M 截得的弦长为 2，求直线 l的方程. 【答案】(1) 2 2( 1) ( 2) 2x y− + + = (2) 2x = 或 4 3 5 0x y− − = . 【详解】（1）易知过点 ( )0, 1P − 且与直线 1 0x y− − = 垂直的直线斜率为 1− ， 故圆心 M 与切点连线方程为 1 0x y+ + = ， 2 分 联立 1 0 0 3 x y x y− = − + = +   解得 1 2 x y =  = − ， 所以 ( )1, 2M − ； 4 分 所以圆 M 的半径为 2 2(1 0) ( 2 1) 2MP = − + − + = ， 所以圆 M 的方程为 2 2( 1) ( 2) 2x y− + + = . 6 分 （2）由（1）可知圆 M 的方程为 2 2( 1) ( 2) 2x y− + + = ， 因为直线 l被圆 M 截得的弦长为2， 所以 M 到直线 l的距离为 22 1 1d = − = ， 8 分 若直线 l的斜率不存在，则方程为 2x = ，此时圆心到直线的距离为 1，符合题意， 10 分 若直线 l的斜率存在，设方程为 ( )1 2y k x− = − ，即 1 2 0kx y k− + − = 则 2 3 1 1 k d k − + = = + ，即 2 26 9 1k k k− + = + ，解得 4 3 k = ， 所以直线 l的方程为 2x = 或 4 3 5 0x y− − = . 13 分 2025 高二期末数学答案 第10页/共15页 16.若数列{ }na 的前n项和为 nS ，且 ( )∗∈−= NnaS nn ,332 . 数列{ }nb 满足 ( )∗∈+=++++ Nnnnbbbb n ，)2(321  . (1)求数列{ } { },n na b 的通项公式； (2)设 n n n a bc = ，求数列{ }nc 的前n项和 nT ，并证明 21 <≤ nT . 【答案】(1) nna 3= ； 2 1nb n= + (2) 22 3n n nT += − 【详解】（1） ( )*2 3 3 Nn nS a n= − ∈ ， 又 ( )1 12 3 3 2n nS a n− −= − ≥ ， 两式相减得 12 3 3n n na a a −= − ，即 1 3n n a a − = ， 2 分 又当 1n = 时， 1 1 12 2 3 3S a a= = − ，得 1 3a = ， 故数列{ }na 是以 3 为首项 3 为公比的等比数列， 3nna∴ = ， 4 分  ( )∗∈+=++++ Nnnnbbbb n ，)2(321  ( )1 2 3 1 1 ( 1) 2nb b b b n n n−+ + + + = − + ≥∴  ， , 2 1 2nb n n= +∴ ≥， ， 6 分  31 =b 符合上式 2 1nb n∴ = + . 7 分 （2）由（1）可得 2 1 3 + =n n nc ， 2 3 1 3 5 7 2 1 2 1 3 3 3 3 3n n n n nT − − + ∴ = + + + + + ， 2 3 4 1 1 3 5 7 2 1 2 1 3 3 3 3 3 3n n n n nT + − + ∴ = + + + + + 上两式相减得 2 3 1 1 1 1 11 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 4 2 43 32 13 3 3 3 3 3 3 3 3 31 3 n n n n n n n n nT + + +  − + + + = + + + + − = + × − = − −  ， 2025 高二期末数学答案 第11页/共15页 22 3n n nT +∴ = − 13 分 易知 22 3n n nT += − 是关于 n 的增函数，所以 1 1nT T≥ = ， 而 2 0 3n n + > ，所以 2nT < ，从而 21 <≤ nT . 15 分 17. 如图，四棱锥P ABCD− 中，PA ⊥平面 ABCD， AD CD⊥ ， //AD BC ， 2PA AD CD= = = ， 3BC = . E 为 PD的中点，点F 在 PC 上，且 1 3 PF PC = . (1)求证： AE CD⊥ ； (2)求直线 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值； (3)在棱 PB 上，是否存在点G ，使得 A，G，E，F 四点共面？若存在，求出 PB PG 的值，若 不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 3 3 (3)存在， 2 3 PG PB = . 【详解】（1）因为PA ⊥平面 ABCD，CD ⊂平面 ABCD，所以PA CD⊥ ， 又因为 AD CD⊥ ，PA AD A∩ = ， ,PA AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ，因为 AE ⊂平面PAD ， 所以 AE CD⊥ . 4 分 （2）过A 作𝐴𝐴𝐴𝐴的垂线交BC 于点M ，因为PA ⊥平面 ABCD，所以 ,PA AM PA AD⊥ ⊥ ， 如图建立空间直角坐标系 Axyz ， 2025 高二期末数学答案 第12页/共15页 则 ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2, 1,0 , 2,2,0A B C− , ( ) ( )0,2,0 , 0,0,2D P ， 因为E 为 PD的中点，所以 ( )0,1,1E ， 所以 ( ) ( )0,1,1 , 2,2, 2AE PC= = −   , ( )0,0,2AP =  ， 所以 1 2 2 2 2 2 4, , , , , 3 3 3 3 3 3 3 PF PC AF AP PF   = = − = + =             ， 设平面 AEF 的法向量为𝑛𝑛�⃗ = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)， 则 0, 0, n AE n AF  ⋅ =  ⋅ =     即 0, 2 2 4 0 3 3 3 y z x y z + =   + + = ， 令 1z = ,则 1, 1y x= − = − ，于是 ( )1, 1,1n = − − ， 7 分 ( )2,1,2 −−=PB , 所以 3 3 33 3,cossin ==⋅== nPB nPBnPBθ . 所以直线 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值为 3 3 . 10 分 （3）设 ( ) ( )λλλλλ 2,,22,1,2 −−=−−== PBPG ，所以 ( )λλλ 22,,2 −−=AG . 因为A ，G ，E ， F 四点共面， 所以 nAG ⊥ ， 032222 =−=−++−=⋅ λλλλnAG ，所以 3 2 =λ . 从而 2 3 PG PB = . 所以在棱 PB 上，存在点G ，使得 A，G，E，F 四点共面，此时 2 3 PG PB = . 15 分 18. 已知圆 2 21 : ( 1) 1F x y+ + = ，圆 2 2 2 : ( 1) 9F x y− + = ，若动圆 P 与圆 1F 外切，且与圆 F2 内 切，记动圆圆心 P 的轨迹为C . 2025 高二期末数学答案 第13页/共15页 (1)求C 的方程； (2)已知点 ( )2,0A − ，过点 F2 且斜率不为 0 的一条直线，交曲线 C 于 P、Q 两点，直线 AP，AQ 分别与直线 4=x 交于 M，N 两点. ①求证：直线 F2M 与直线 F2N 的斜率之积为常数; ②求 2MNF∆ 面积的取值范围. 【答案】(1) 2 2 1 4 3 x y + = (2)证明见解析 【详解】（1）（1）设动圆的半径为 R ，由题意 1 21, 3PF R PF R= + = − 1 2 1 3 4PF PF R R∴ + = + + − = 又 1 2 2 4F F = < ，故 P 的轨迹为椭圆. 3 分 2 2 22 4 2, 2 2 1, 3a a c c b a c∴ = ⇒ = ∴ = ⇒ = = − = 故C 的轨迹方程为 2 2 1 4 3 x y + = 5 分 （2）① 由（1）知𝐴𝐴(−2,0)，𝐹𝐹(1,0)，设直线 : 1PQ x my= + ，𝑃𝑃(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1)，𝑄𝑄(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)， 联立 2 2 1 1 4 3 x my x y = +   + = 消去 x，整理得 ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ，则 1 2 2 6 3 4 my y m + = − + ， 1 2 2 9 3 4 y y m = − + 7 分 根据题意可设 ( )4, MM y ， ( )4, NN y ，则由 1 14 2 2 My y x = + + ， 可得 1 1 1 1 6 6 2 3M y yy x my = = + + ，同理可得 2 2 6 3N yy my = + ， 9 分 所以直线 FM 与直线 FN 的斜率之积 ( )( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 00 36 41 4 1 4 1 9 3 3 3 9 NM FM FN yy y y y yk k my my m y y m y y −− = ⋅ = ⋅ = − − + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 94 363 4 1 9 6 9 18 27 363 9 3 4 3 4 m m m m mm m m m  −  −+ = = = − − − + +   − + − +   + +    所以直线 FM 与直线 FN 的斜率之积为定值 1− . 13 分 ②由①知， FMFN ⊥ ，所以 . 2 1 FMFNS FMN ⋅=∆ 2 21 1 3 1FM M FMFM k x k= + − = + ，同理 213 FNkFN += ， 15 分 2025 高二期末数学答案 第14页/共15页 所以 222222 1 2 911 2 9 2 1 FMFNFMFNFMFNFMN kkkkkkFMFNS +++=++=⋅=∆ .922 2 9 22 =⋅+≥ FMFN kk 当且仅当 1 1 1 1 = −=    −= = FM FN FM FN k k k k 或 时等号成立， 所以 2MNF∆ 面积的取值范围是 [ )∞+，9 . 17 分 19.若有穷数列 1 2, , , na a a ( n是正整数)，满足 1i n ia a − += ( Ni∈ ，且 )1 i n≤ ≤ ，就称该数列为 “对称数列”. (1)已知数列{ }nb 是项数为 7 的对称数列，且 1 2 3, ,b b b 成等比数列， 2 3 4, ,b b b 成等差数列 42 2, 6b b= = ，试写出{ }nb 的每一项； (2)已知{ }nc 是项数为 ( )2 1 1k k+ ≥ 的对称数列，且 1 2 2 1, , ,k k kc c c+ + + 构成首项为−90，公差为 3 的等差数列，数列{ }nc 的前2k项和为 kS2 ，则当 k 为何值时， kS2 取到最小值？最小值为 多少？ (3)设数列{ }nd 是项数为2𝑚𝑚− 1(𝑚𝑚 ∈ 𝑁𝑁∗且𝑚𝑚 ≥ 2)的“对称数列”，且满足|𝑑𝑑𝑛𝑛+1 − 𝑑𝑑𝑛𝑛| = 3,记 nS 为数列{ }nd 的前𝑛𝑛项和. 若𝑑𝑑1 =2187，𝑆𝑆2𝑚𝑚−1 = 2187，求𝑚𝑚的最小值. 【详解】(1)因为 1 2 3, ,b b b 成等比数列，则 21 23 4b b b= = ， 因为 2 3 4, ,b b b 成等差数列，则 42 32b b b+ = ，解得 3 4b = , 1 1b = ； 综上，数列{ }nb 为1,2,4,6,4,2,1. 5 分 (2)解法一：因为 1 2 2 1, , ,k k kc c c+ + + 构成首项为−90，公差为 3 的等差数列，所以 2 1 2 1 2 2k k k k kS c c c c c c+ += + + + + +  ( ) ( ) ( )221 2 2 2 1 1 1 2 2 90 3 3 3 180 273 30 2 00k k k k k k k c c c c c k k k k k+ + + +  − = + + + − = × − + ⋅ + = − = −   −  又 *N , 1k k∈ ≥ ，所以当 30k = 时， 2kS 取得最小值 2700− . 解法二：当该对称数列恰为0, 3, , 87, 90, 87, , 3,0− − − − −  时取得最小值，此时 30k = ，所以当 30k = 时， ( )2 3 87 29 2 90 2700 2k S − − × = × − = − . 10 分 (3)|𝑑𝑑𝑛𝑛+1 − 𝑑𝑑𝑛𝑛| = 3即𝑑𝑑𝑛𝑛+1 − 𝑑𝑑𝑛𝑛 = 3 或− 3，所以𝑑𝑑𝑛𝑛+1 − 𝑑𝑑𝑛𝑛 ≥ −3，即𝑑𝑑𝑛𝑛+1 ≥ 𝑑𝑑𝑛𝑛 − 3， 2025 高二期末数学答案 第15页/共15页 所以𝑑𝑑𝑚𝑚 ≥ 𝑑𝑑𝑚𝑚−1 − 3 ≥ 𝑑𝑑𝑚𝑚−2 − 6 ≥ ⋯ ≥ 𝑑𝑑1 − 3(𝑚𝑚− 1).因为{ }nd 是“对称数列”，所以 𝑆𝑆2𝑚𝑚−1 = 2187 = 𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2 + ⋯+ 𝑑𝑑2𝑚𝑚−1 = 2(𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2 + ⋯+ 𝑑𝑑𝑚𝑚−1) + 𝑑𝑑𝑚𝑚 ≥ (2𝑚𝑚− 1)𝑑𝑑1 − 3(𝑚𝑚− 1)2 = −3𝑚𝑚2 + 4380𝑚𝑚− 2190，又因为𝑚𝑚 ∈ 𝑁𝑁∗且𝑚𝑚 ≥ 2， 所以𝑚𝑚 ≤ 1(舍去)或𝑚𝑚 ≥ 1459. 当𝑑𝑑1,𝑑𝑑2,⋯ ,𝑑𝑑𝑚𝑚构成公差为−3的等差数列时，𝑑𝑑1 = 2187,𝑆𝑆2𝑚𝑚−1 = 2187，此时𝑚𝑚 = 1459，所 以𝑚𝑚的最小值为 1459. 17 分