精品解析：四川省泸州高级中学校2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题

泸州市泸州高级中学2024-2025学年上期高二期末测试题 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A 88分 B. 84分 C. 85分 D. 90分 4. 两个圆和的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 到直线l的距离为a B. 双曲线的离心率为 C. 的外接圆半径为 D. 的面积为9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，如图是某地12月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）变化的折线图，则（ ） A. 这10日PM2.5日均值的80%分位数为60 B. 前5日PM2.5日均值的极差小于后5日PM2.5日均值的极差 C. 前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差 D. 这10日PM2.5日均值的中位数为43 10. 设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，棱长为正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ） A. 该内切球的球面面积为 B. 存在点，使得平面 C. 平面被球截得的截面圆的面积为 D. 当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地有居民5000户，其中普通家庭3500户，高收入家庭500户，低收入家庭1000户．现用分层抽样方法随机抽取居民调查家庭用电情况，若从普通家庭中抽取到70户，则从低收入家庭中抽取到__________户． 13. 如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是_____. 14. 已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分2023年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数.（结果保留一位小数） 16. 已知数列满足，等差数列的前n项和为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知圆C：，点．点P在圆C上运动，B为线段AP的中点． （1）求点B的轨迹方程E，并说明其轨迹； （2）若过点的直线l被曲线E（点E为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线l的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市泸州高级中学2024-2025学年上期高二期末测试题 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知直线垂直轴，即可得倾斜角大小． 【详解】∵直线经过两点，， ∴直线垂直轴，故倾斜角为． 故选：C． 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 3. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A. 88分 B. 84分 C. 85分 D. 90分 【答案】A 【解析】 【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可. 【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94， 因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数， 即分． 故选：A. 4. 两个圆和的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆可化为， 圆的圆心为，半径， 圆可化为， 圆的圆心为，半径， ， 又，， ， 圆与内切，即公切线有1条. 故选：A. 5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆性质以及双曲线的性质即可求解. 【详解】由题知，椭圆焦点为， 设该双曲线方程为，半焦距为， 则，，即， 又，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：A 6. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解. 【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，，， 因为点在线段上运动，设，且， 所以，可得， 又因为，所以，即. 故选：A． 7. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率. 【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：． 故选：C. 8. 设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 到直线l的距离为a B. 双曲线的离心率为 C. 的外接圆半径为 D. 的面积为9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断A选项；利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断B选项；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断C选项；利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断D选项． 【详解】由题意，到准线的距离，又，∴，如图过向作垂线，垂足为， 由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为，，，，，因此到直线的距离为，故A错误； 在中，，又，得到， 解得，，，所以双曲线离心率，故B正确； ，设△的外接圆半径， 因此，所以，故C错误； △的面积．故D错误. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，如图是某地12月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）变化的折线图，则（ ） A. 这10日PM2.5日均值的80%分位数为60 B. 前5日PM2.5日均值的极差小于后5日PM2.5日均值的极差 C. 前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差 D. 这10日PM2.5日均值的中位数为43 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数、极差、方差、中位数等知识确定正确答案. 【详解】这个数据从小到大排列是：. A选项，， 所以这10日PM2.5日均值的80%分位数为，A选项错误. B选项，前5日PM2.5日均值的极差为， 后5日PM2.5日均值的极差为，B选项正确. C选项，通过观察可知，前5日PM2.5日均值的波动程度小于后5日PM2.5日均值的波动程度， 所以前5日PM2.5日均值的方差小于后5日PM2.5日均值的方差，C选项错误. D选项，中位数是，D选项正确. 故选：BD 10. 设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，根据椭圆、双曲线的定义求得，进而判断AB；由，结合向量相关知识可得，进而判断CD. 【详解】设，， 则，解得，即，故B正确； 显然，可得，故A错误； 因为， 则， 且， 即，整理得， 则，即，故D正确； 因为不恒为0， 所以不一定垂直，故C错误； 故选：BD. 11. 如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ） A. 该内切球的球面面积为 B. 存在点，使得平面 C. 平面被球截得的截面圆的面积为 D. 当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，其中， 利用空间向量法可判断B，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断C，确定当为的中点时， 过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用面积公式求面积判断D. 【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，内切球的球面面积为 ，A正确； 对于B： 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则由题意可得，，，， 设点，其中， 对于，，， 设平面法向量为， ，， 则， 令，则，， 为平面的一个法向量， 若存在点，使平面， 只需，因为不成立，所以B错误； 对于C： 设平面法向量为，， ，， 则， 令，则，， 为平面的法向量， 又因为， 则到平面的距离为，则， 设平面被球截得的截面圆的半径为， ， 所以平面被球截得的截面圆的面积为，C选项正确； 对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，， 中，，所以边长， 所以截面面积，D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地有居民5000户，其中普通家庭3500户，高收入家庭500户，低收入家庭1000户．现用分层抽样的方法随机抽取居民调查家庭用电情况，若从普通家庭中抽取到70户，则从低收入家庭中抽取到__________户． 【答案】20 【解析】 【分析】根据分层抽样时从普通家庭中抽取到70户，计算出抽样比，再根据低收入家庭的户数，即可求得答案. 【详解】由题意可得普通家庭3500户，抽取到70户， 故抽样比为， 故从低收入家庭中抽取到的户数为， 故答案为：20 13. 如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是_____. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，则得或其补角即为与所成的角，再利用勾股定理即可得到线线角. 【详解】连接，，，点E，F，G分别是，，的中点， ，， ，四边形平行四边形， 则，故或其补角即为与所成的角， 易得，， ，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的坐标，不妨设点在第一象限，点在第二象限，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的纵坐标，求出的表达式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由椭圆的方程可得， 不妨设点在第一象限，点在第二象限， 设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， 解得（舍去），所以， 因为和的斜率，所以， 则直线的方程为， 代入椭圆方程得， 解得（舍去），所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为， 由椭圆及直线的对称性，满足条件时的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分2023年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数.（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积和为1列方程即可求解. （2）由平均数的计算方法及百分位数的定义列方程即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， ∴. 【小问2详解】 平均值为. 第80百分位数为，则， 解得. 16. 已知数列满足，等差数列的前n项和为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式求出，再求出等差数列公差、首项即可求解作答. （2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求和作答. 【小问1详解】 当时，， ，当时，， 两式相减，得，即，显然满足上式，因此， 设公差为，则，即，解得， 因此， 所以数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得：， 所以. 17. 已知圆C：，点．点P在圆C上运动，B为线段AP的中点． （1）求点B的轨迹方程E，并说明其轨迹； （2）若过点的直线l被曲线E（点E为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线l的方程． 【答案】（1），轨迹为以为圆心，半径为的圆； （2）或. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，利用三角形中位线性质可得，再利用圆的定义求出轨迹及方程. （2）由（10的结论，按直线的斜率存在与否分类，结合弦心距求出直线方程. 【小问1详解】 圆C：的圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则，，因此点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点到直线的距离， 点到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线斜率存在时，设其方程为，即， 于是，解得，此时直线的方程为， 所以直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于，连接，由于是的中点、是的中点， 所以是三角形的中位线，所以， 由于平面平面，所以平面； 【小问2详解】 依题意，底面是矩形，所以， 底面，平面，所以， 由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即 整理得 又因为 所以 当且仅当时，所以， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $