精品解析：浙江省宁波市镇海区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

镇海区2024学年第一学期期末质量检测试卷 初三数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意作一个三角形，其内角和为 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 C. 同时抛掷两枚质地均匀骰子，全是2点朝上 D. 篮球运动员在罚球线投篮时，成功进球 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. （2，1） B. （-2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，﹣1） 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 6π 5. 如图，是的直径，弦，垂足为．若，则的半径为（ ） A. B. C. 5 D. 6 6. 如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于AB两侧），，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 12. 在一个由3个男生和2个女生组成的学习小组中，随机选出1人担任组长，则选出的组长是女生的概率为_______． 13. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是__________． 14. 如图，在矩形中，，，点P是上的动点，连结交对角线于点E，若，则的长为_______． 15. 已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为_______． 16. 如图，内接于，，，点E中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则______． 三、解答题（第17—21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）若，求的值． 18. 一个不透明袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． （1）从中任意摸出1个球是白球的概率； （2）现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个球是黑球的概率． 19. 由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长． 21. 如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，． （1）求的长； （2）求的值． 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处．宁波市中考掷实心球得分标准如下表． 表：宁波市中考掷实心球得分标准 掷实心球（米） 9.80 9.20 8.60 8.00 7.40 6.80 6.20 5.60 5.00 4.40 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 （1）求图中抛物线的解析式； （2）根据宁波市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分； （3）体育老师认为该同学只要提高出手点米且保持原抛物线形状不变（即抛物线向上平移米）就可以满分了，请判断老师的说法是否正确? 23. 已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 24. 如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点． （1）求证：； （2）连接交于点M， ①如图2，若恰好经过点，，，求的长度； ②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇海区2024学年第一学期期末质量检测试卷 初三数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意作一个三角形，其内角和为 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 C. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，全是2点朝上 D. 篮球运动员在罚球线投篮时，成功进球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件分类：必然事件、不可能事件、随机事件．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；根据必然事件的定义逐项判定即可得到答案，熟记事件分类及各类事件的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、任意作一个三角形，其内角和为，这是必然事件，符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯，这是随机事件，不是必然事件，不符合题意； C、同时抛掷两枚质地均匀的骰子，全是2点朝上，这是随机事件，不是必然事件，不符合题意； D、篮球运动员在罚球线投篮时，成功进球，这是随机事件，不是必然事件，不符合题意； 故选：A． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. （2，1） B. （-2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数解析式是顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为（2，1） 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握：对于二次函数的顶点式,顶点坐标为． 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 4. 如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 6π 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据弧长计算公式计算即可. 详解】根据弧长计算公式． 故选B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键. 5. 如图，是的直径，弦，垂足为．若，则的半径为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理及解方程，先由垂径定理得到，连接，如图所示，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理、勾股定理求解圆中相关线段长度问题是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，弦，垂足为，， 由垂径定理可得， 设，则， 在中，，，，，由勾股定理可得 即，解得， 的半径为， 故选：C． 6. 如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于AB两侧），，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆和三角形的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角、等腰三角形的性质；根据直径所对圆周角的性质，得；再根据直角三角形两锐角互余、圆周角的性质，得，再根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 8. 已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为，再根据抛物线的性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴离对称轴距离越远，函数值越小， ∵点，，在抛物线（为常数）上， ∴， ∴， 故选:D． 9. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，由平分，得到，推出，由，可得，得到，再由，得到， 求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，连接，根据等腰三角形的性质，三线合一，则，，，根据，可得，根据等量代换，全等三角形的判定和性质，则，推出为等腰直角三角形，根据三角形的外角和，得到，延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得到，即，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理，得到，最后，，求出；再根据，即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 延长至点，使得，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，根据，抛物线开口向上即可求解，掌握二次函数图象的特征是解题的关键． 【详解】解：∵时，抛物线开口向上， ∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为， 故答案为：． 12. 在一个由3个男生和2个女生组成学习小组中，随机选出1人担任组长，则选出的组长是女生的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由一个学习小组有3个男生、2个女生，现要从这5名学生中选出一人担当组长，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个学习小组有3个男生、2个女生，共5人， ∴选出“女生”为小组长的概率是， 故答案为：． 13. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和问题，根据正多边形的外角和为计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个外角等于， ∴这个正多边形的边数是， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点P是上的动点，连结交对角线于点E，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 根据矩形的性质得出，，勾股定理求出，证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，熟练一元二次方程与函数的关系是解题的关键． 根据二次函数与一次函数有交点即可求得两个交点的坐标，进而得出二次函数与一次函数所组成的一元二次方程的解． 【详解】解：∵ 抛物线与直线相交于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∴关于的方程的解为或． 故答案为：，． 16. 如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长至点，过点作，连接、．易证，推出，进而得到，证明，根据，，，求出，即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，过点作，连接、． ∵内接于，， ∴是的直径， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，点E为中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（第17—21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查三角函数值混合运算、代数式求值等知识，熟记特殊角的三角函数值、已知等式求代数式的值方法是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、再由有理数乘法与减法运算求解即可得到答案； （2）由恒等变形得到，代入代数式化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ∴． 18. 一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． （1）从中任意摸出1个球是白球的概率； （2）现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个球是黑球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、用列表法与树状图法求概率等知识点，利用列表法或树状图确定所有等可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，摸到的两个球中有一个球是黑球的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵有2个白球，1个黑球， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，每一次摸到白球的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： ∴一共有6种可能的结果，摸到的两个球中有一个球是黑球有4种， ∴摸到的两个球中有一个球是黑球的概率． 19. 由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 【答案】（1）见解析 （2），图见解析； 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中线、无刻度直尺作图等知识． （1）根据网格的特点找到的中点D，连接即可； （2）根据网格的特点得到，，证明，得到，则，即可证明点E即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，点E即为所求， 连接， 由网格可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9． 【解析】 【分析】（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长， （2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAD+∠ADB=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）∵AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=AB﹣3； ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∴， 解得AB=9． 【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质． 21. 如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）5 （2）2 【解析】 【分析】（1）过点作于，如图所示，中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到； （2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于，如图所示： 设， 在中，，则， 即，解得， ， ，解得， ∴， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为中线，， ∴， ， ∴， 在中，，，则． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键． 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处．宁波市中考掷实心球得分标准如下表． 表：宁波市中考掷实心球得分标准 掷实心球（米） 9.80 9.20 8.60 8.00 7.40 6.80 6.20 5.60 5.00 4.40 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 （1）求图中抛物线的解析式； （2）根据宁波市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分； （3）体育老师认为该同学只要提高出手点米且保持原抛物线形状不变（即抛物线向上平移米）就可以满分了，请判断老师的说法是否正确? 【答案】（1） （2）此次得分为9分 （3）此同学调整后可以得满分，老师说法正确 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）由题意可得抛物线过，且顶点为，则设抛物线的解析式为：，把代入解得，可以求得此抛物线的解析式； （2）将代入第一问中求得的函数解析式，求出x的值，然后与表格中的数据对照即可该男生此次训练的得分； （3）提高出手点米且保持原抛物线形状不变，可以看看成向上平移，求出解析式，再求出与轴交点横坐标，与比较大小，即可解答本题． 【小问1详解】 解：∵掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处， ∴抛物线过，且顶点为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入得，解得， ∴抛物的表达式为：； 【小问2详解】 解：令，可得， 解得：，（舍去）， ∵， ∴根据表格可得，此次得分为9分． 【小问3详解】 解：提高出手点后的抛物线解析式为：， 即：， 令，可得， 解得，（舍去）， ， ∴此同学调整后可以得满分，老师说法正确． 23. 已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）先求得对称轴为．然后分和两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可； （3）如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，然后结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或 综上，或． 【小问3详解】 解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 24. 如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点． （1）求证：； （2）连接交于点M， ①如图2，若恰好经过点，，，求的长度； ②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度． 【答案】（1）见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先说明，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明结论； （2）①如图：连接，由圆周角定理可得，再结合已知条件可得，易证、，进而得到，再根据特殊角的三角函数值可得，再结合三角形外角的性质以及圆周角定理可得，再说明，易得，最后根据勾股定理求解即可；②先证明可得，再证明可得，进而得到，则，再结合可得，即；再结合已知条件可得、，进而得到、，最后根据勾股定理和垂径定理即可解答． 【小问1详解】 解：∵是直径，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$