函数与方程专题训练-2025届高三数学一轮复习

函数与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，则方程的所有实数解的和是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 3．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知方程有两个不同的实数根，则有（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若存在不相等的实数，，，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知为偶函数，当时，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．若关于的方程恰有三个不同的实数解，且，其中，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．可以取到 10．已知函数若关于的方程有3个实数解，则（    ） A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数解 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有4个零点 B．对于实数，不等式恒成立 C．关于的方程有个不同的解 D．当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三、填空题 12．函数的零点个数为 13．设，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 14．已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是 ；的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围. 16．已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在有两个根，求的取值范围. 17．表示不超过的最大整数，例如，，已知偶函数和奇函数满足. (1)求的解析式； (2)求证：； (3)若关于的方程有两个不相等的正实数根，当取最小值时，求的值. 18．已知函数为定义在上的偶函数. (1)求实数k的值； (2)解关于m的不等式； (3)设，若函数恰有三个零点，求k的值及该函数的三个零点. 19．已知函数，. (1)若，求函数的单调增区间； (2)若方程有3个不同的实根，，，且求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，若存在，，，使不等式成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《函数与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C A C A BC ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】根据二分法的步骤，即可得出结果. 【详解】二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算， 根据二分法的步骤知当区间长度小于精确度时，便可结束计算. 所以当时，便可结束计算. 故选：B. 2．C 【分析】令，得的图象关于点对称，利用导数知在上有且只有一个零点，则在上有且只有一个零点，故. 【详解】令，其定义域为， 令，显然是奇函数， 则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称. 先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况， 因为，，， 所以，所以在上单调递减， 又时，，， 所以在上有且只有一个零点， 又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点， 且，即方程的所有实数解的和是2. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，得的图象关于点对称，利用对称性求零点和. 3．B 【分析】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【详解】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象，      令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 4．C 【分析】先将有两个不同的实数根，转化为与的图象有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在和内，即可得到和，然后两式相加即可求得的范围． 【详解】因为有两个不同的实数根，即函数与的图象有两个交点， 由题意，分别画和的图象如下所示： 由图可知在和分别有一个交点，不妨设，， 则在上有，即①，在有②， ①②两式相加有 ，即 故选：C． 5．C 【分析】将问题转化为与的图象的四个交点横坐标之和的范围，数形结合可得答案. 【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点， 作出的图象如下： 所以时，与的图象有四个交点， 令，解得或，令，解得或， 不妨假设，由图及函数性质知： ， 易知：的图象关于对称， 所以，又由得， 所以，且， 得，当且仅当时等号成立， 所以. 【点睛】方法点睛：数形结合是解决函数问题的重要方法，画出图象根据图象性质结合对称性和双勾函数的性质是解题的关键. 6．A 【分析】由为偶函数，图象关于轴对称，作出图象，令可得，然后由时可得，或或或，分类讨论的范围，结合函数的图象可求结论. 【详解】当时，， ∵为偶函数，图象关于轴对称，图象如下图所示， 令可得，∴时可得， 或或或， ①当时，结合函数的图象可知，有16个零点； ②时，结合函数的图象可知，有13个零点； ③时，结合函数的图象可知，有10个零点； ④时，结合函数的图象可知，有7个零点； ⑤时，结合函数的图象可知，有4个零点； 故选：A. 7．C 【分析】根据二分法的定义可得，解得即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的， 则由题可得，即，， 则至少等分的次数为7. 故选：C. 8．A 【分析】利用换元法化简方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质求解． 【详解】由题可知，方程化为， 令，由对勾函数的图象和性质知，或，（的图象如图） 原方程可化为，即， 原方程恰有3个不同的实数解且， 所以有两根，且，， 故，解得，代入， 得到，解得或， 由得，由，得，所以， 所以， 故选：A． 【点睛】方法点睛：对于复杂方程的根的问题的求解，可根据题目所给方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题进行求解，对勾函数、二次函数是函数问题中常见的函数，对其性质要注意总结． 9．BC 【分析】画出图象，令，由图象可得方程解的个数，则有4个不同实数解，相当于图象与直线交点个数之和为4，然后依次分析各选项即可. 【详解】 令，可得. 又，可得图象如图所示： 令，则方程解的个数为图象与直线交点的个数. 则时，解的个数为2； 时，解的个数为3； ，解的个数为2； 时，解的个数为1. ，此方程判别式大于0，则方程有两根， 由韦达定理，. 又有4个不同实数解，相当于图象与直线交点个数之和为4. 由以上分析可知，，，满足题意. A选项，因，，则， 由图可得，即，故A错误； B选项，由图象可得，故B正确； C选项，由图象可得， ，故C正确. D选项，当时，，可解得， 即此时不符合题意，故D错误. 故选：BC. 10．ABD 【分析】对于A项，通过作关于轴对称的函数的图象与的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断的范围，结合图象易得. 【详解】如图，依题意作出函数的图象， 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：，， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：将方程的解的个数转化为函数的零点个数，或转化为对应的两个函数的图象交点个数求解，再通过作出函数的图象，根据其对称性、单调性或值域等推导相应参数的范围. 11．BCD 【分析】画出的图象，根据图象再逐项计算可得正确的选项. 【详解】当时，，当时，， 结合可得的图像如图所示：    对于A，考虑函数的图像与直线的交点个数， 如下图所示，直线过，结合图像可得两图像交点个数为9个，故A错误；    对于B，结合函数的图象可得在上， 的图象在图象上或在下方，故即恒成立， 故B正确；    对于C，当时，，故时，， 而为奇函数，故时，， 故在上无解， 当，则， 且此时在上为减函数，在上为增函数， 而，结合图像可得： 当时，在均有两个不同解， 在上，仅有一个解， 而当时，，故此时无解 综上，共有个不同的解，故C正确； 对于D，即为或， 结合图像可得仅有一个解， 故有6个不同的解，且与2相异， 结合图像可得，故D正确.      故选：BCD. 【点睛】思路点睛：分段函数的零点问题，应该根据函数的图像来处理，而对于具有性质的函数，注意利用平移和伸缩来处理对应的图像. 12． 【分析】利用指数函数和对数函数图象来研究函数零点个数即可. 【详解】由函数的零点个数等价于方程解的个数， 又等价于与的交点个数， 作图： 由图可得与的交点个数为， 故答案为：. 13． 【分析】由方程进行因式分解，求得或，结合的图象来求得的取值范围. 【详解】由得或， 作出函数的图象， 易知当时，不符合题意；当时，， 结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解， 需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以. 故答案为： 14． 【分析】画出的图象，再数形结合分析参数的的范围，再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简，再利用对勾函数的性质求范围即可. 【详解】画出的图象： 因为方程即有四个不同解，，，， 故的图象与有四个不同的交点， 由图可知，所以实数的取值范围是. 又，不妨假设， 由图可知. 又由图可知，故， 故且，所以. 所以，由对勾函数性质可知在单调递减， 所以，所以. 故答案为：； 15．(1) (2) 【分析】（1）由偶函数得对恒成立，结合对数运算性质化简可求解； （2）化简，则，令，则命题等价于有且只有一个正根，结合判别式与韦达定理求解即可 【详解】（1）为偶函数， 对任意，有， 对恒成立. 对恒成立， 对恒成立， ； （2）由（1）知，， 由题意知有且只有一个实数根. 令， 则关于的方程（*）有且只有一个正根. 若，则，不合题意，舍去； 若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根. 方程（*）有两相等正根等价于，解得； 方程（*）的两根异号等价于，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 16．(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据相邻的最高点与最低点的距离为4求得，根据图象关于对称求得. （2）由解得的单调增区间. （3）探讨函数在上性质求出的取值范围． 【详解】（1）令函数的最小正周期为，由图象上相邻的最高点与最低点的距离为4， 得，而，解得，即，解得， 又的图象关于对称，即，，又，则， 所以，. （2）由（1）知， 由，得， 所以函数的单调增区间为. （3）当时，， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，函数值从增大到，在上单调递减，函数值从减小到， 而方程，依题意，函数在上的图象与直线有两个公共点， 则，所以的取值范围是. 17．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知可得，与联立即可求得与； （2）根据已知条件，分别计算与的值即可证明； （3）通过换元将方程变形为一元二次方程，根据题意讨论的取值范围，利用基本不等式求得取最小值时的值，代入方程解得方程的两个根，从而求得与的范围即可求解. 【详解】（1），①，， 是偶函数，是奇函数，，② 由②+①得，由②-①得. （2）， ， ， . （3）， ， 依题意：为方程两个不相等的实数根，且， 令， 在上单调递增， 当时，， ，， 代入方程得：， 为方程两个不相等的实数根，且，其中， ，解得：， ， ， 当且仅当即时等号成立，取到最小值. 将代入方程得，解得， 即， 在上单调递增， ， 又， ， . 18．(1)； (2)； (3)，3个零点为 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义列式求出值. （2）探讨函数的单调性，再结合偶函数性质求解不等式. （3）由（2）求出的值域，令并确定其根的情况，再将函数恰有3个零点转化为方程有1和大于1的两个根，进而求出及3个零点. 【详解】（1）函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 而不恒为0，所以. （2）由（1）知，， 当时，，函数在上单调递增，而在上单调递增， 于是函数在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增，又函数为偶函数， 不等式， 则，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为. （3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，， 函数的值域为，令，当且仅当时，；当时，有2个不等根， 函数，则， 由函数恰有三个零点，得关于的方程有1和大于1的两个根， 于是，解得，此时的两根为， 显然0是函数的一个零点，由，即， 解得，， 所以，该函数的3个零点为. 19．(1)单调增区间为， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数解析式判断单调性即可； （2）根据和两种情况分别讨论函数零点的个数即可求参； （3）先根据韦达定理得出，，再根据构造函数可解. 【详解】（1）时，， 则单调增区间为，. （2）设， 方程有3个不同的实根，，， 即为函数有3个不同的零点，，， 当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意； 当时，因为函数有3个不同的零点，，， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有1个根， 时，有2个根， 故，解得； 当时，当时，方程判别式， 可知无解，所以函数不可能有3个不同的零点，，， 所以不符合题意. 综上：的取值范围是. （3）由（1）知，，是方程的两个不等实根， 则，， 是方程的大根，即， 由，得， 记，则， 即等价于存在，使，即， 因为， 显然在上单调递增， 所以，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数结合函数的单调性得出参数范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$