精品解析：山西省临汾市侯马市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

侯马市2024-2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷的相应位置； 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效； 4．考试结束后，只提交答题卡，不提交试卷． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中逆命题是假命题的是（ ） A. 如果两个三角形的三个角都对应相等，那么这两个三角形全等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 4. 2023年10月26日“神舟十七号”载人飞船发射成功，这是载人航天工程立项实施以来的第30次飞行任务，也是第12次载人飞行任务．某学校数学兴趣小组计划了解航天员完成各项目数占总项目数的百分比，选用比较合适的统计方式是（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 统计表 5. 如图，中，已知，按如下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，射线交于点P；由作图可知的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. －7 B. －4 C. D. 7. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图中，，，点是延长线上一点，过点作，交延长线于点，点是的中点，若，，则的长是（ ） A. 7.5 B. 7 C. 6.5 D. 6 第Ⅱ卷 选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案写在题中的横线上） 11. 比较大小：______________．（填“”“”或“”） 12. 若代数式是一个完全平方式，则___________． 13. 如图，ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．若ABC的周长为16cm，AC＝6cm，则DC的长是______cm． 14. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 15. 如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，．若，则的长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知，、分别是射线，上的点． （1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中，连接，交于一点，求证：． 19. （1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 20. 某校在八年级（1）班学生中开展对于“我国国家公祭日（12月13日）”知晓情况的问卷调查．问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”；B类表示“比较了解”；C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”；班长将本班同学的调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）求该班参与问卷调查的人数． （2）把条形统计图补充完整． （3）求C类人数占参与问卷调查人数的百分比． （4）求扇形统计图中A类所对应扇形圆心角的度数． 21. 阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （3）【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 22. 在一次数学探究活动中，小云对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形的对角线与相交于点O，，则 （1）请帮助小云证明这一结论． （2）根据小云的探究老师又给出了如下的问题，如图2，分别以的直角边和斜边为边向外做正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证： ②计算的长． 23. 数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： （1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； （2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． （3）【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侯马市2024-2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷的相应位置； 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效； 4．考试结束后，只提交答题卡，不提交试卷． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：16的平方根是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算及合并同类项运算，根据同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算及合并同类项运算逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列命题中逆命题是假命题的是（ ） A. 如果两个三角形的三个角都对应相等，那么这两个三角形全等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误即可得出答案． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题； B、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行．是真命题； C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题； D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题． 故选C． 【点睛】此题考查了命题与逆命题的关系，解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误． 4. 2023年10月26日“神舟十七号”载人飞船发射成功，这是载人航天工程立项实施以来的第30次飞行任务，也是第12次载人飞行任务．某学校数学兴趣小组计划了解航天员完成各项目数占总项目数的百分比，选用比较合适的统计方式是（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 统计表 【答案】C 【解析】 【分析】根据三种统计图各自的特点选择即可得．本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． 【详解】解：依题意，∵某学校数学兴趣小组计划了解航天员完成各项目数占总项目数的百分比 ∴最合适的统计方式是扇形统计图， 故选：C． 5. 如图，中，已知，按如下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，射线交于点P；由作图可知的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知平分平分， ∴， ∴， 故选：B． 6. 若，，则的值为（ ） A. －7 B. －4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D： 7. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，故，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知 ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故选：B． 8. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等角对等边，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，得到，同理得到，进而得到的周长等于，即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴的周长； 故选D． 9. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用，先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故选：B． 10. 如图中，，，点是延长线上一点，过点作，交延长线于点，点是的中点，若，，则的长是（ ） A. 7.5 B. 7 C. 6.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，延长交于G，利用证明，得，，在中，利用勾股定理求得的长，即可得出答案． 【详解】解：延长交于G， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷 选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案写在题中的横线上） 11. 比较大小：______________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与3的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较与，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若代数式是一个完全平方式，则___________． 【答案】或10 【解析】 【分析】把写成，解答即可； 本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， 故将写成， 根据多项式对应项的系数相等，得到， 故答案为：或10． 13. 如图，ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．若ABC的周长为16cm，AC＝6cm，则DC的长是______cm． 【答案】5 【解析】 【分析】首先根据条件推出△ABD≌△AED，得到AB=AE，结合中垂线的性质，得到AB=EC，最终推出2DE+2EC=10cm，即可得出答案． 【详解】解：∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴△ABD≌△AED， ∴AB=AE， 又∵EF垂直平分AC， ∴AE=CE，则AB=EC， ∵△ABC周长16cm，AC=6cm， ∴AB+BC=10cm， ∴AB+BE+EC=10cm， 即2DE+2EC=10cm， ∴DE+EC=5cm， ∴DC=DE+EC=5cm， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 14. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 15. 如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，．若，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证明，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作的延长线于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及因式分解． （1）利用有理数的乘方法则，立方根及算术平方根的定义，绝对值的性质计算即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式、多项式除以单项式及化简求值，熟练掌握乘法公式及多项式除以单项式是解题的关键；因此此题先根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解： ； 把，代入得：原式． 18. 如图，已知，、分别是射线，上的点． （1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中，连接，交于一点，求证：． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求． （2） 证明：∵， ∴ 又∵ 由（1）得， 在与中， ， ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）过点B作，在射线上截取，使得，即可解决问题． （2）根据证明即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. （1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理和∠BCD=90°，，，可以先求出的长；再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 （2）在中， ∵米，米 ∴米 ∵米 ∴米 米 ∴船向岸边移动了米 20. 某校在八年级（1）班学生中开展对于“我国国家公祭日（12月13日）”知晓情况的问卷调查．问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”；B类表示“比较了解”；C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”；班长将本班同学的调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）求该班参与问卷调查的人数． （2）把条形统计图补充完整． （3）求C类人数占参与问卷调查人数的百分比． （4）求扇形统计图中A类所对应扇形圆心角的度数． 【答案】（1）50人； （2）补全条形统计图如下： （3）20%；（4）108° 【解析】 【分析】（1）利用样本估计总体，将D类型的人数与其所占的百分比相除即可； （2）用该班参与问卷调查的人数减去A、B、D类的人数即可； （3）用C类人数除以总调查人数再乘以100％即可； （4）求出A类人数占总调查人数的百分比，再乘以即可． 【详解】（1）20÷40%＝50（人）， 所以该班参与问卷调查的人数为50人； （2）C类人数为（人）， （3），所以C类人数占参与问卷调查人数的20%； （4），所以A类所对应扇形圆心角的度数为108°． 【点睛】本题考查了数据的收集与统计图，结合条形与扇形统计图准确的获取数据信息是解题的关键． 21. 阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （3）【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） ． ， ． 多项式的值总是一个正数． （3）为等边三角形， 理由如下： ， ． ． ，． ． 为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据示例即可求解； （2）将多项式配成完全平方+常数的形式，利用平方的非负性即可求证； （3）将分成分别配方即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查配方法的应用．掌握完全平方公式的结构形式是解题关键． 22. 在一次数学探究活动中，小云对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形的对角线与相交于点O，，则 （1）请帮助小云证明这一结论． （2）根据小云的探究老师又给出了如下的问题，如图2，分别以的直角边和斜边为边向外做正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证： ②计算的长． 【答案】（1） ， 由勾股定理，得， ， ； （2）①连接，， 在正方形和正方形中， ，，， ，即 在和中， ，，， ② 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理分别表示出，进行分析求证即可； （2）①连接连结，证明，②根据及正方形的性质，证明，再根据（1）的结论进行分析，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由（1）得，， ， ， ， ， ，，，， ，，， 由（1）得，， 即， 解得：， （负值舍去） 23. 数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： （1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； （2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． （3）【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】（1） （2）， ，理由如下， 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； （3） 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，而， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $