精品解析：广西南宁市2024-2025学年九年级上学期数学期末试题

2024~2025学年度秋季学期期末义务教育质量监测 九年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 4. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 8. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 9. 小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 5 11. 小州与小冬在解方程时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是和，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是和，则与的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次函数的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）． 14. 图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为______度，旋转后的风车能与自身重合． 15. 某乒乓球生产厂从一批乒乓球中，抽取部分进行质量检测，结果如下表： 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 476 954 1902 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.952 0.954 0.951 根据频率的稳定性，从这批产品中任意抽取一个乒乓球，估计抽到优等品的概率是______（结果保留小数点后两位）． 16. 如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程：． 18. 如图，E是正方形中边上一点，把绕点A顺时针旋转． （1）旋转后点D与点______重合； （2）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点E的对应点为点F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）若，求的度数． 19. 如图，直线经过上的点C，并且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 20. 广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． （1）请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； （2）若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 21. 樱桃番茄又称圣女果，果皮颜色有红、黄色之分，因维生素含量高而广受喜爱．某农科所希望通过杂交育种的方式培育需要的圣女果品种． 【知识理解】 根据遗传学知识，红色果皮圣女果的基因组成是或，黄色果皮圣女果的基因组成是．若将一株红色果皮圣女果作为父本，与一株黄色果皮圣女果作为母本进行杂交，我们可以通过列表法或树状图法表示子一代圣女果的基因组成． 列表法 父本基因组成 母本基因组成 A A a Aa Aa a Aa Aa 【知识应用】 （1）若实验员将一株红色果皮圣女果与一株黄色果皮圣女果进行杂交，请通过列表法或树状图法，求子一代圣女果是红色果皮的概率． （2）农科所计划扩大圣女果杂交规模．将基因组成与基因组成的圣女果进行杂交（排除其他因素干扰），培育得到5000株后代，请估计圣女果是红色果皮的有多少株？ 22. 综合与实践 园林美化工程项目改造 背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1． 素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆； 操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为； 改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为． 任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）． 23. 已知：二次函数． （1）当时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围； （2）将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度秋季学期期末义务教育质量监测 九年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义判断即可得． 【详解】解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是2， 故选：B． 4. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 5. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 6. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率公式计算随机事件的概率是解题的关键． 找出骰子出现点数的结果与可能出现5的结果，再运用概率公式计算即可． 【详解】解：骰子出现点数的结果有6种，可能出现5的结果有1种， ∴向上一面的点数为5的概率是， 故选：A ． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的两个实数根，掌握“当时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的两个实数根． 故选：B． 8. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A ． 9. 小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：年平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 10. 的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 则， 解得：， 故选：C． 11. 小州与小冬在解方程时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是和，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是和，则与的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是解题的关键． 根据，结合题意即可求解． 【详解】解：小州写错了常数项，得到方程的两个根是和， ∴小州的一次项系数是正确的， ∴， ∴， 小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是和， ∴小冬的常数项是正确的， ∴， ∴， 故选：B ． 12. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，自变量、函数值的计算是解题的关键． 根据二次函数图象及解析式，代入计算即可求解． 【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，小球飞行的最大高度为，故C选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或， ∴小球从飞出到落地要用，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次函数的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：∵二次函数，， ∴二次函数的图象开口方向向上． 故答案是：向上． 14. 图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为______度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合， 故答案为： ． 15. 某乒乓球生产厂从一批乒乓球中，抽取部分进行质量检测，结果如下表： 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 476 954 1902 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.952 0.954 0.951 根据频率的稳定性，从这批产品中任意抽取一个乒乓球，估计抽到优等品的概率是______（结果保留小数点后两位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是明确题意，利用频率估计概率解答． 根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右由此即可估计概率． 【详解】解：根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右 估计抽到优等品的概率是， 故答案为： ． 16. 如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解一元二次方程，正确计算，灵活选择一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先算乘除，后算加减即可； （2）选择配方法解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ， ， ， ． 18. 如图，E是正方形中边上一点，把绕点A顺时针旋转． （1）旋转后点D与点______重合； （2）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点E的对应点为点F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）若，求的度数． 【答案】（1）B （2）解：如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形中的两个锐角互余，尺规作图，熟练掌握旋转的性质和尺规作图的方法是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，即可得到旋转后点与点重合； （2）延长，在的延长线上截取线段，连接，即可得到旋转后的图形； （3）根据旋转的性质得出，再根据直角三角形中的两个锐角互余，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：正方形， ，， 绕点A顺时针旋转， 旋转后点与点重合， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ． 19. 如图，直线经过上的点C，并且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，， ， 为的半径， 直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． （1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的判定即可得出答案； （2）根据勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在中，由勾股定理，得： ． 20. 广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． （1）请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； （2）若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 【答案】（1）米；米 （2）1米 【解析】 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程解实际问题，理解图示，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示信息用代数式表示即可； （2）根据面积公式的计算列式，求一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：挂画的长为：米； 挂画的宽为：米； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 解方程，得：，（不合题意，舍去）． 答：锦缎边饰的宽度为1米． 21. 樱桃番茄又称圣女果，果皮颜色有红、黄色之分，因维生素含量高而广受喜爱．某农科所希望通过杂交育种的方式培育需要的圣女果品种． 【知识理解】 根据遗传学知识，红色果皮圣女果的基因组成是或，黄色果皮圣女果的基因组成是．若将一株红色果皮圣女果作为父本，与一株黄色果皮圣女果作为母本进行杂交，我们可以通过列表法或树状图法表示子一代圣女果的基因组成． 列表法 父本基因组成 母本基因组成 A A a Aa Aa a Aa Aa 【知识应用】 （1）若实验员将一株红色果皮圣女果与一株黄色果皮圣女果进行杂交，请通过列表法或树状图法，求子一代圣女果是红色果皮的概率． （2）农科所计划扩大圣女果杂交规模．将基因组成与基因组成的圣女果进行杂交（排除其他因素干扰），培育得到5000株后代，请估计圣女果是红色果皮的有多少株？ 【答案】（1） （2）2500株 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）先画树状图，再根据树状图计算概率即可； （2）根据概率计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：利用树状图求概率如下： 由图可知，子一代的基因组成结果共有4种，这些结果出现的可能性相等，恰好是红色果皮的结果有2种， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，基因组成与基因组成的圣女果进行杂交，后代是红色果皮的概率为． 红色果皮的有（株）． 答：估计是红色果皮的有2500株． 22. 综合与实践 园林美化工程项目改造 背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1． 素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆； 操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为； 改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为． 任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）． 【答案】 （1）证明：如图所示， 四边形是矩形， ，，， ， 四个点在以点为圆心的同一个圆上． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合圆的半径的知识即可求解； （2）经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点，根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高，在中，由勾股定理得，，根据为中点，是的中点，得到，，由即可求解； （3）根据可得，则优弧的圆心角为，圆的半径，，由门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2， 经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点， 根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高， ， ， 在中，由勾股定理得，， 为中点，是的中点， ， ， ， 答：圆弧形门洞的拱高为． （3）解：如图所示， 在中，，， ， ， ∴优弧的圆心角为，圆的半径，， ∴门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积， 改造后的门洞扩大面积 ， 答：改造后扩大的门洞面积为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算，掌握矩形的性质，圆的基础知识，扇形面积的计算是解题的关键． 23. 已知：二次函数． （1）当时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围； （2）将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值． 【答案】（1）（1）①； ② （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数顶点式的特点，最值的计算方法，对称性是解题的关键． （1）①把代入得到二次函数解析式，再配方得到顶点式，由此即可求解；②把点点与代入抛物线得到，，根据题意可得，解得，再根据点在该抛物线对称轴两侧的图象上，得到，解得，由不等式解集的取值方法即可求解； （2）根据二次函数平移的规律可得平移后的二次函数的解析式为， 分类讨论：若，①当时，由对称性可得，当时，y有最大值；②当时，由对称性可得，当时，y有最大值；若，当时，在的范围内y的最大值是，而不是；由二次函数最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：①当时， 二次函数的解析式为， 配方可得：， 对称轴是直线； ②点与分别在该抛物线的图象上， ，， ， ， 解得：， 点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ， ， ． 【小问2详解】 解：二次函数的解析式为，配方可得：， 将二次函数图象向右平移个单位长度， 平移后的二次函数的解析式为， 若， ①当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； ②当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； 若， 当时，在的范围内y的最大值是，而不是， 不符合题意，舍去． 综上，k的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $