第15章 二元一次方程组重难点题型复习（八大题型）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制）

第15章《二元一次方程组》 分层练习 考查题型一 二元一次方程的定义 1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）方框内，给出了两个判断，其中（    ） （1）方程是二元一次方程；（2）是二元一次方程． A．（1）对 B．（2）对 C．（1）、（2）均对 D．（1）、（2）均不对 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的有（   ） ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 4．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 考查题型二 二元一次方程组的判断 1．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知方程组：①；②；③；④．其中正确的说法是（      ） A．只有①，③是二元一次方程组 B．只有①，④是二元一次方程组 C．只有②，③是二元一次方程组 D．只有②不是二元一次方程组 3．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）在下列方程组:①,②,③,④中,是二元一次方程组的是（　　）． A．①③ B．①④ C．①② D．只有① 考查题型三 已知二元一次方程组的解求参数 1．（22-23七年级下·山东烟台·期中）方程组的解为，则被和遮盖的两个数分别为 ． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）当时，二元一次方程与有相同的解，则 ． 3．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 4．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，甲看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则 ． 考查题型四 解二元一次方程组 1．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）解方程组： (1)（用代入消元法解）； (2)（用适当的方法解）； 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程组： (1) (2) 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）解方程（组）： (1) (2) 4．（23-24七年级下·湖北·周测）解方程 (1) (2) 考查题型五 行程问题 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 2．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 3．（2024七年级下·全国·专题练习）一列火车通过某铁路桥，火车从上桥到完全离开桥共用，而整列火车在桥上的时间为．已知火车的速度为，求铁路桥长和火车的长． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？ 考查题型六 工程问题 1．（20-21八年级下·上海闵行·期中）威宁彝族回族苗族自治县，隶属于贵州省毕节市，是中国最贫困县之一，也是脱贫攻坚精准扶贫县．威宁县土地资源丰富，加上日照强、温差大的气候特点，很适宜发展高山冷凉蔬菜种植．蔬菜成熟季，威宁县冷冻蔬菜种植作业大队紧锣密鼓的开展采摘工作．据评估，如果甲乙两个作业队合作采摘，那么天可完成，如果甲队先做天后，剩下的采摘任务由乙单独承担，还需天才能完成．问甲乙两个作业队单独完成此项采摘工作各需多少天？ 2．（22-23七年级下·福建漳州·期中）某地需要将一段长为140米的河道进行整修，整修任务由两个工程队先后接力完成．已知工程队每天整修12米，工程队每天整修8米，共用时15天．求两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震，造成很多房屋损毁，急需大量棉被．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批棉被．如果按原来的生产速度，每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产480床棉被，刚好提前两天完成任务．请问规定时间是多少天？生产任务是多少床棉被？ 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 考查题型七 方案问题 1．（浙江省J12共同体联盟2023-2024学年下学期七年级数学期中试题）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ 2．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ (2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ (3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 3．（23-24八年级上·福建三明·期末）为提升学生综合素质，促进学生健康成长，某校组织八年级（1）班和（2）班学生到某景点开展综合实践活动，两个班级共102名学生，且（1）班的学生人数比（2）班的多．该景点的门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 70 60 50 如果两个班都以班级为单位分别购票，则两个班购票的总金额为6620元． (1)分别求这两个班级的学生人数； (2)活动当天，八（1）班有3名学生因特殊情况不能参加此次活动．请你设计一种购票方案，使得两个班购票的总金额最小． 4．（23-24八年级上·河南郑州·期末）为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小明家准备购买A，B两种型号的节能灯，若购买2只A型3只B型节能灯需要 80元，购买1只A型4只B型节能灯需要65元． (1)A，B两种型号节能灯的单价分别是多少？ (2)要求这两种节能灯都买，恰好用了200元，有哪几种购买方案？ 考查题型八 销售利润问题 1．（2023·贵州遵义·一模）某超市投入元的资金购进甲、乙两种饮料共箱，饮料的成本和售价如表所示： 类别单价 成本 售价 甲 元箱 元箱 乙 元箱 元箱 (1)该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？ (2)全部售完箱饮料，该超市共获得利润多少元？ 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）某电商销售A、B两种产品，相关信息如下表． 进价（元/件） 售价（元/件） A种产品 30 45 B种产品 40 60 (1)该电商十月份售出了A、B两种产品共840件，总利润是15600元，该电商十月份售出A、B两种产品各多少件？（利润售价进价） (2)该电商在“双十一”期间采取了以下优惠方案：A种产品实行“买五免一”的成组销售优惠活动（每5件商品为一组，每买5件商品，其中1件商品免费），B种产品打八五折． ①A种产品实行的“买五免一”优惠活动，相当于每件A种产品打______________折销售． ②该电商“双十一”期间售出了A种产品500件，B种产品若干件，且总利润比十月份增加了5000元，则该电商“双十一”期间售出了B种产品多少件？ 3．（23-24七年级上·浙江·期末）随着北京冬奥会的开展，带火了玩具市场．已知某玩具小商店，销售“冰墩墩”与“雪容融”两种玩具．以下是该商店两天的进货情况： 冰墩墩（件） 雪容融（件） 总费用（元） 第一天 10 10 140 第二天 20 30 330 根据上表提供的信息，请回答下列问题： (1)“冰墩墩”与“雪容融”每件进价各为多少元？ (2)如果进两种玩具的总费用是100元，有几种不同的进货方式？写出每种进货方式． (3)在第（2）小题的基础上，已知“冰墩墩”的售价为16元，“雪容融”的售价为10元，如果全部卖出，应选择哪种方式进货才能使收益最大？最大收益为多少？ 4．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ 1．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）【阅读理解】已知实数满足…①，……②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组则___________，___________. (2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元； (3)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． (1)学以致用 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 3．（21-22七年级下·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章《二元一次方程组》 分层练习 考查题型一 二元一次方程的定义 1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据二元一次方程的定义逐项判断即可，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故符合题意； B、不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，故不符合题意； C、不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，故不符合题意； D、不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）方框内，给出了两个判断，其中（    ） （1）方程是二元一次方程；（2）是二元一次方程． A．（1）对 B．（2）对 C．（1）、（2）均对 D．（1）、（2）均不对 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，注意掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.据此进行判断即可． 【详解】解：（1）方程不是二元一次方程； （2）不是二元一次方程． ∴（1）、（2）均不对 故选：D 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的有（   ） ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，牢记“只含有二个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫二元一次方程”是解题的关键．利用二元一次方程的定义，逐一分析各方程，即可得出结论． 【详解】解：①是二元一次方程，符合题意； ②是一元一次方程，不符合题意； ③含有两个未知数，最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； ④含三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； ⑤不是二元一次方程，不符合题意； ⑥是二元一次方程，符合题意； 综上，是一元一次方程的有①⑥，共2个， 故选：B． 4．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的定义； 根据二元一次方程组的定义：方程组中，含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.方程组中第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组； B.符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； C.方程组中第一个方程含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； D.方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组； 故选：B． 考查题型二 二元一次方程组的判断 1．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的概念．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可． 【详解】解：A、方程组中方程不是整式方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意． B、∵方程组中方程是二次方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； C、∵方程组含有三个未知数， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组是二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 2．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知方程组：①；②；③；④．其中正确的说法是（      ） A．只有①，③是二元一次方程组 B．只有①，④是二元一次方程组 C．只有②，③是二元一次方程组 D．只有②不是二元一次方程组 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，两个或多个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．据此即可求解． 【详解】解：①③④是二元一次方程组；②中共有三个未知数，故不是二元一次方程组； 故选：D． 3．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．含有三个未知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．是二元一次方程组，故本选项符合题意； C．第一个方程的最高次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．含有三个未知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）在下列方程组:①,②,③,④中,是二元一次方程组的是（　　）． A．①③ B．①④ C．①② D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“只有两个未知数,含未知数的项的最高次数都应是一次,两个方程都是整式方程”,继而选出本题答案． 【详解】解:①符合二元一次方程组定义,故是二元一次方程组， ②第一个方程含有两个未知数但含未知数的项的次数为,故不是二元一次方程组， ③不符合二元一次方程组定义,故不是二元一次方程组， ④符合二元一次方程组定义,故是二元一次方程组， 故是二元一次方程组的是①④， 故选:B． 考查题型三 已知二元一次方程组的解求参数 1．（22-23七年级下·山东烟台·期中）方程组的解为，则被和遮盖的两个数分别为 ． 【答案】2， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为2，． 故答案为：2，． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）当时，二元一次方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同解方程，根据题意，把代入方程，可求出的值，再把的值代入方程，即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴， 把代入方程得， ， 解得，， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值把代入原方程组即可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， ∴， 故答案为；． 4．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，甲看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的解，将错解代入错方程求解即可得到答案； 【详解】解：依题意，将代入②中，代入①得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4． 考查题型四 解二元一次方程组 1．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）解方程组： (1)（用代入消元法解）； (2)（用适当的方法解）； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）本题考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程的方法步骤，即可解题． （2）本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程的方法（代入消元法和加减消元法）步骤，即可解题． 【详解】（1）解： 由①得：③， 将③代入②中得：， ， ， ， 将代入中有， 综上所述，方程组的解为； （2）解：， 由得，， 解得， 将代入②中，有， 解得， 综上所述，方程组的解为． 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是： （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解： ，得， 解得， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）根据解一元一次方程的方法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得； （2）解：， 把①代入②得：， 把代入①得：， 则原方程组的解是． 4．（23-24七年级下·湖北·周测）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解答本题的关键． （1）运用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 由①，可得， 把③代入②，可得，解得， 把代入③，可得， ∴原方程组的解为； （2）解： 将①×5，可得， 将②×3，可得， ③+④，可得，解得， 把代入①，可得，解得， ∴原方程组的解为． 考查题型五 行程问题 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 【答案】(1)①；②； (2)这架飞机无风时的平均速度为，风速为 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用． （1）根据顺风速度=飞机速度+风速．逆风速度=飞机速度风速，即可解答； （2）根据路程=速度×时间，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为， 则风速度为；逆风速度为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为． 2．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 【答案】小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．利用“小明和小亮2小时路程和为20千米，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米”再建立方程组求解即可． 【详解】解：设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时． ， 解得： 答：小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）一列火车通过某铁路桥，火车从上桥到完全离开桥共用，而整列火车在桥上的时间为．已知火车的速度为，求铁路桥长和火车的长． 【答案】铁路桥长为，火车长为 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，设铁路桥长为，火车长为，根据火车从上桥到过完桥走过路程为桥长＋火车长，整列火车在桥上的路程为桥长－火车长，列出方程组解答即可． 【详解】解：设铁路桥长为，火车长为， 由题意，得， 解得， 答：铁路桥长为，火车长为． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？ 【答案】这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，根据“乘车千米，付了元；乘车千米，付了元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元， 由题意得：， 解得：， 答：这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元． 考查题型六 工程问题 1．（20-21八年级下·上海闵行·期中）威宁彝族回族苗族自治县，隶属于贵州省毕节市，是中国最贫困县之一，也是脱贫攻坚精准扶贫县．威宁县土地资源丰富，加上日照强、温差大的气候特点，很适宜发展高山冷凉蔬菜种植．蔬菜成熟季，威宁县冷冻蔬菜种植作业大队紧锣密鼓的开展采摘工作．据评估，如果甲乙两个作业队合作采摘，那么天可完成，如果甲队先做天后，剩下的采摘任务由乙单独承担，还需天才能完成．问甲乙两个作业队单独完成此项采摘工作各需多少天？ 【答案】甲队单独完成此项采摘工作需天，乙队单独完成此项采摘工作需天 【分析】根据题意，设甲的工作效率为，乙的工作效率为，由题目中的数量关系列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∴，解得，， ∴甲队单独完成此项采摘工作需天，乙队单独完成此项采摘工作需天． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握工程问题与二元一次方程组的综合运用是解题的关键． 2．（22-23七年级下·福建漳州·期中）某地需要将一段长为140米的河道进行整修，整修任务由两个工程队先后接力完成．已知工程队每天整修12米，工程队每天整修8米，共用时15天．求两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 【答案】工程队整修河道工作了5天，工程队整修河道工作了10天 【分析】设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天， 根据题意可得： ， 解得：， 答：工程队整修河道工作了5天，工程队整修河道工作了10天． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震，造成很多房屋损毁，急需大量棉被．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批棉被．如果按原来的生产速度，每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产480床棉被，刚好提前两天完成任务．请问规定时间是多少天？生产任务是多少床棉被？ 【答案】规定时间是12天，生产任务是4800床棉被 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组；设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的，每天生产480床棉被，刚好提前两天完成任务，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据题意得： ， 解得：， 答：规定时间是12天，生产任务是4800床棉被． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 【答案】(1)40，15 (2)6 (3)16 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则； （2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可； （3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天； （2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设还需要再合作天可完成此项工程的， 依题意得，， 解得，， ∴还要再合作6天可完成此项工程； （3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴甲工程队参加工作16天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． 考查题型七 方案问题 1．（浙江省J12共同体联盟2023-2024学年下学期七年级数学期中试题）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ 【答案】(1)型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人 (2)租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人． （2）解：设租用型辆，型辆， 可得：， 因为，为正整数，所以方程的解为：，， 方案一：型1辆，型8辆，费用：元； 方案二：型5辆，型5辆，费用：元； 方案三：型9辆，型2辆，费用：元； 所以租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元． 2．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ (2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ (3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． (3)方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车，所需费用最少，最少费用是元． 【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据题意，设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意，设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程，根据m，n均为非负整数，解出m，n，即可得到租车的方案； （3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨， 依题意有：， 解得：， 答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； （2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆， 依题意有：， ∴ ． ∵m，n均为正整数， ∴或 或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车； 方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． （3）方案1所需费用：（元）； 方案2所需费用：（元）； 方案3所需费用：（元）． ∵， ∴方案3所需费用最少，最少费用是元． 3．（23-24八年级上·福建三明·期末）为提升学生综合素质，促进学生健康成长，某校组织八年级（1）班和（2）班学生到某景点开展综合实践活动，两个班级共102名学生，且（1）班的学生人数比（2）班的多．该景点的门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 70 60 50 如果两个班都以班级为单位分别购票，则两个班购票的总金额为6620元． (1)分别求这两个班级的学生人数； (2)活动当天，八（1）班有3名学生因特殊情况不能参加此次活动．请你设计一种购票方案，使得两个班购票的总金额最小． 【答案】(1)八（1）班有52名学生，八（2）班有50名学生； (2)见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据计费方式正确列出方程组是解答本题的关键． （1）设八（1）班有名学生，八（2）班有名学生，先判断x小于100，然后根据两个班级共102名学生和两个班购票的总金额为6620元列方程组求解即可； （2）分两个班按99人联合购票和两个班联合购票并多买2张票两种情况计算即可得出结论． 【详解】（1）设八（1）班有名学生，八（2）班有名学生， 若，则两个班的购票总额为，不符合题意， 又因为，所以，． 依题意， 解得： 所以八（1）班有52名学生，八（2）班有50名学生． （2）八（1）与八（2）参加活动人数分别为49与50，均不超过50， 所以两个班级联合购票的总金额比分别购票的总金额更小． 给出以下两个方案： 方案①：两个班按99人联合购票， 购票总金额为（元）； 方案②：两个班联合购票并多买2张票， 购票总金额为（元） 因为，所以应采用方案二，使得两个班购票的总金额最小． 4．（23-24八年级上·河南郑州·期末）为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小明家准备购买A，B两种型号的节能灯，若购买2只A型3只B型节能灯需要 80元，购买1只A型4只B型节能灯需要65元． (1)A，B两种型号节能灯的单价分别是多少？ (2)要求这两种节能灯都买，恰好用了200元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A，B两种型号节能灯的单价分别是25元，10元 (2)购买6只A型号节能灯，5只B型号节能灯；购买4只A型号节能灯，10只B型号节能灯；购买2只A型号节能灯，15只B型号节能灯 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算． （1）设A，B两种型号节能灯的单价分别是x元，y元，根据购买2只A型3只B型节能灯需要 80元，购买1只A型4只B型节能灯需要65元列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的节能灯m只，购买B型号的节能灯n只，根据这两种节能灯都买，恰好用了200元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A，B两种型号节能灯的单价分别是x元，y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A，B两种型号节能灯的单价分别是25元，10元． （2）解：设购买A型号的节能灯m只，购买B型号的节能灯n只，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，，， 答：购买6只A型号节能灯，5只B型号节能灯；购买4只A型号节能灯，10只B型号节能灯；购买2只A型号节能灯，15只B型号节能灯． 考查题型八 销售利润问题 1．（2023·贵州遵义·一模）某超市投入元的资金购进甲、乙两种饮料共箱，饮料的成本和售价如表所示： 类别单价 成本 售价 甲 元箱 元箱 乙 元箱 元箱 (1)该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？ (2)全部售完箱饮料，该超市共获得利润多少元？ 【答案】(1)该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱； (2)该超市共获得利润元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该超市购进甲种饮料x箱，乙种饮料y箱，利用总进价=进货单价×进货数量，结合该超市投入12800元的资金购进甲、乙两种饮料共500箱，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每箱的销售利润×销售数量（进货数量），即可求出结论． 【详解】（1）解：设该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱； （2） 元． 答：该超市共获得利润元． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）某电商销售A、B两种产品，相关信息如下表． 进价（元/件） 售价（元/件） A种产品 30 45 B种产品 40 60 (1)该电商十月份售出了A、B两种产品共840件，总利润是15600元，该电商十月份售出A、B两种产品各多少件？（利润售价进价） (2)该电商在“双十一”期间采取了以下优惠方案：A种产品实行“买五免一”的成组销售优惠活动（每5件商品为一组，每买5件商品，其中1件商品免费），B种产品打八五折． ①A种产品实行的“买五免一”优惠活动，相当于每件A种产品打______________折销售． ②该电商“双十一”期间售出了A种产品500件，B种产品若干件，且总利润比十月份增加了5000元，则该电商“双十一”期间售出了B种产品多少件？ 【答案】(1)A种产品240件，B种产品600件 (2)①八；②1600件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设该电商十月份售出A种产品x件，则售出B种产品件．根据题意列一元一次方程求解即可； （2）①求出“买五免一”优惠活动每件A种产品的价格，再除以原价，即可得到答案； ②设该电商“双十一”期间售出了B种产品y件，根据“双十一”期间优惠活动，表示出两种产品的总利润，再列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该电商十月份售出A种产品x件，则售出B种产品件． 根据题意，得， 解得， ， 答：该电商十月份售出A种产品240件，B种产品600件． （2）解：①“买五免一”优惠活动，相当于花4件A种产品的价钱，买到5件A种产品， 所以每件A种产品的价格为元， ，即相当于每件A种产品打八折销售， 故答案为：八 ②设该电商“双十一”期间售出了B种产品y件， 所以“双十一”期间这两种产品的总利润为元， 因为“双十一”期间这两种产品的总利润比十月份增加了5000元， 所以， 解得． 故该电商“双十一”期间售出了B种产品1600件． 3．（23-24七年级上·浙江·期末）随着北京冬奥会的开展，带火了玩具市场．已知某玩具小商店，销售“冰墩墩”与“雪容融”两种玩具．以下是该商店两天的进货情况： 冰墩墩（件） 雪容融（件） 总费用（元） 第一天 10 10 140 第二天 20 30 330 根据上表提供的信息，请回答下列问题： (1)“冰墩墩”与“雪容融”每件进价各为多少元？ (2)如果进两种玩具的总费用是100元，有几种不同的进货方式？写出每种进货方式． (3)在第（2）小题的基础上，已知“冰墩墩”的售价为16元，“雪容融”的售价为10元，如果全部卖出，应选择哪种方式进货才能使收益最大？最大收益为多少？ 【答案】(1)“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元； (2)共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件； (3)应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（3）正确列式计算． （1）设“冰墩墩”每件进价为x元，“雪容融”每件进价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设“冰墩墩”的进货数量为m件，“雪容融”的进货数量为n件，根据题意得到，然后由m和n都是正整数求解即可； （3）根据题意分别求出两种方式的收益，进而比较即可． 【详解】（1）设“冰墩墩”每件进价为x元，“雪容融”每件进价为y元， 根据题意得， 解得 ∴“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元； （2）设“冰墩墩”的进货数量为m件，“雪容融”的进货数量为n件， 根据题意得， ∵m和n都是正整数 ∴当时，；当时，； ∴共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件； （3）方式①：收益为（元）； 方式②：收益为（元）； ∵ ∴应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元． 4．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元； (2)A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用： （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元． 1．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）【阅读理解】已知实数满足…①，……②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组则___________，___________. (2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元； (3)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，25 (2)共需36元 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用整体思想是解答的关键． （1）两方程相减可求得，两方程相加求得，进而求解即可； （2）设一支铅笔x元，一块橡皮y元，一本日记本z元，根据题意，列出方程求得，进而求解即可； （3）根据题中新运算结合已知求得，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得，则， ∴， 故答案为：，25； （2）解：设一支铅笔x元，一块橡皮y元，一本日记本z元， 根据题意，得， 得， ∴， 答：购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需36元． （3）解：∵，，， ∴， 得， ∴ 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． (1)学以致用 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． 3．（21-22七年级下·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$