第15章 二元一次方程组（单元测试）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制）

第15章《二元一次方程组》 考试时间:120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（21-22七年级下·福建福州·期末）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20七年级下·安徽铜陵·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）下列方程组中，为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）方程组的解满足，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 6．（21-22七年级下·重庆黔江·期末）若关于，的方程组有非负整数解，则正整数为(     ) A．， B．， C．1，3 D．，3，7 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中记载了这样一道题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）用加减法解方程组下列解法正确的是（    ） A．消去 y B．消去 y C．消去x D．消去 x 9．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 10．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x、y的方程组．以下判断：①存在某个实数k值，使得，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论实数k取何值，；④代数式的最小值为19，正确的是（      ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）已知，则 ．（用含x的式子表示）． 12．（22-23七年级下·广东珠海·期中）请写出一个二元一次方程组 ，使它的解为． 13．（22-23七年级下·湖南郴州·阶段练习）在方程中，当时， 14．（2023·山东临沂·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 15．（22-23七年级下·福建福州·期末）若是关于，的二元一次方程，则 ． 16．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于的方程是二元一次方程，则 ． 三．解答题（共3题，每题6分，满分18分） 17．（18-19八年级上·山东济南·期末）解下列二元一次方程组 （1）. （2）． 18．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）解下列方程组： (1)  （代入法） (2)（加减法） 19．（2022·辽宁大连·二模）学校组织春游，每人车费4元．下面是一班的班长小明与二班的班长小红的对话． 小明：我们两班共93人． 小红：我们二班比你们一班多交了12元的车费． 根据上面对话，求一班和二班各有多少人． 四．解答题（共3题，每题8分，满分24分） 20．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊呢？ 21．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？ 22．（21-22七年级下·福建莆田·期中）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？ 五．解答题（共2题，每题9分，满分18分） 23．（2024·江西南昌·一模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 甲同学： 解：把方程变形为，再将代入方程①得，… 乙同学： 解：将方程的两边乘以3得，再将①+②，得到，… (1)甲同学运用的方法是________，乙同学运用的方法是________；(填序号) ①代入消元法；②加减消元法． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 24．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x+y＝1③，将③代入②得： (1)请你替小阳补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 六．解答题（满分12分） 25．（2024七年级下·全国·专题练习）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉．共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉共20台进行销售，请问有几种进货方案？请写出进货方案； (3)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉共20台进行销售，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，则m的值应为多少？ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章《二元一次方程组》 考试时间:120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（21-22七年级下·福建福州·期末）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】A.，含有两个未知数，但方程的最高次数是2次，此方程不是二元一次方程，故A错误； B.中含有分式，此方程不是二元一次方程，故B错误； C.中含有一个未知数，且方程的最高次数是2次，此方程不是二元一次方程，故C错误； D.中含有2个未知数，且方程的最高次数是1次，此方程是二元一次方程，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数（例如x和y），并且所含未知数的项的次数都是1的方程． 2．（19-20七年级下·安徽铜陵·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用含的式子表示，可先移项，再系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y． 3．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）下列方程组中，为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二元一次方程组的定义：含有两个未知数，未知项的次数为一次的方程组，判断即可． 【详解】解：A、方程组为二元二次方程组，不符合题意； B、方程组含有三个未知数，不符合题意； C、方程组为二元一次方程组，符合题意； D、方程组为二元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：，代入中， 解得：， ∴方程组的解为：， 故选D． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 5．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）方程组的解满足，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】先求解二元一次方程组，再把方程组的解代入，即可求出k的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握用加减消元法解二元一次方程组． 6．（21-22七年级下·重庆黔江·期末）若关于，的方程组有非负整数解，则正整数为(     ) A．， B．， C．1，3 D．，3，7 【答案】C 【分析】先解方程组，再根据非负整数解及正整数m求解． 【详解】解：， 由①+②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴ 原方程组的解为， ∵方程组有非负整数解， ∴8是的倍数， ∴取1或2或4或8， ∵m为正整数， ∴m取1或3或7， 当m=1时，y=2，符合题意； 当m=3时，y=0，符合题意； 当m=7时，y=-1，不符合题意； ∴正整数为1或3． 故选：C 【点睛】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，理解整除的意义是解题的关键． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中记载了这样一道题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设木长尺，绳长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可． 【详解】解：设木长尺，绳长尺，根据题意得： ， 故选：A． 8．（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）用加减法解方程组下列解法正确的是（    ） A．消去 y B．消去 y C．消去x D．消去 x 【答案】A 【分析】 根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答． 【详解】解：A、① × 2 + ② × 3，能消去y，故A选项正确，符合题意； B、，不能消去y，故B选项不正确，不符合题意； C、，不能消去x，故C选项不正确，不符合题意； D、，不能消去x，故D选项不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法, 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 9．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 【答案】C 【分析】将方程组的两个方程相加，得出，当，的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断正确；用表示出，解方程组得出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案． 【详解】解：， 得：， ∴， 当，的值互为相反数时，， ∴，故甲判断正确； 解方程组得出， ∴ ，故乙判断正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键． 10．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x、y的方程组．以下判断：①存在某个实数k值，使得，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论实数k取何值，；④代数式的最小值为19，正确的是（      ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【详解】解：已知关于x、y的方程组， 解得：， ①∵当，时，则， 解得不成立，∴①错误； ②∵当时，，代入， 得左边右边，∴②错误； ③∵当时，即，形为：无意义， ∵，③正确； ④∵， ∴当仅当时，取到最小值为19，④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）已知，则 ．（用含x的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将看作已知数，看作未知数是解题的关键． 将看作已知数，看作未知数，求出即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·广东珠海·期中）请写出一个二元一次方程组 ，使它的解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的解为，找到与的数量关系，然后列出方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是（答案不唯一）, 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组解的定义，根据方程组的解找出与的和差倍分数量关系是解答此题的关键． 13．（22-23七年级下·湖南郴州·阶段练习）在方程中，当时， 【答案】/ 【分析】由得，再代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：由得， 把代入， 得． 故答案为： 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是先求出的值，再代入方程． 14．（2023·山东临沂·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】先将②-①得，即可求得答案． 【详解】原方程组为， 由②-①得， ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 15．（22-23七年级下·福建福州·期末）若是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程是解题关键． 16．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1，根据含2个未知数得到，根据未知数的项的次数是1建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵未知数x的次数是1， ∴， ∴或（舍去）， ∵未知数y的次数是1， ∴， 故答案为：1． 三．解答题（共3题，每题6分，满分18分） 17．（18-19八年级上·山东济南·期末）解下列二元一次方程组 （1）. （2）． 【答案】(1) ;(2) . 【分析】根据加减消元法解方程组即可求解． 【详解】⑴ ①+②得：，解得：, 把 代入②式,解得：, 故方程组的解为   ⑵ ①×2－②得： , 把代入①式 ,解得： , 故方程组的解为 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟记用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤. 18．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）解下列方程组： (1)  （代入法） (2)（加减法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）按照代入法的步骤解二元一次方程组即可． （2）按照加减消元法的步骤解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 由①得：， 把代入②得： ， 解得：， ∴， ∴方程组的解为：． （2） 由①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解集为：． 19．（2022·辽宁大连·二模）学校组织春游，每人车费4元．下面是一班的班长小明与二班的班长小红的对话． 小明：我们两班共93人． 小红：我们二班比你们一班多交了12元的车费． 根据上面对话，求一班和二班各有多少人． 【答案】一班45人，二班48人 【分析】设一班x人，二班y人，根据“两班共93人”和“二班比你们一班多交了12元的车费．”列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设一班x人，二班y人， 则 ， 解得：， 即一班45人，二班48人． 答：一班45人，二班48人． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 四．解答题（共3题，每题8分，满分24分） 20．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊呢？ 【答案】甲有羊63只，乙有羊45只． 【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只． ∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍”． ∴； ∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多”． ∴． 联立两方程组成方程组． 解得． 答：甲有羊63只，乙有羊45只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？ 【答案】 【分析】设甲、乙两工程队分别整治了米和米， 根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天，列出关于和的二元一次方程，解出即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了米和米， 根据题意列方程得 ， 解得， 答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 22．（21-22七年级下·福建莆田·期中）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？ 【答案】用6 m3的木料做桌面，4 m3的木料做桌腿，恰好能配成方桌300张 【分析】问题中有两个条件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料=10；②4×桌面个数=桌腿个数．据此可列方程组求解． 【详解】解：设用x立方米的木料做桌面，y立方米的木料做桌腿，即做桌面50x个，做桌腿300y条，此时恰好能配成方桌50x张，根据题意得 解得 则能配成方桌（张） 故用6 m3的木料做桌面，4 m3的木料做桌腿，恰好能配成方桌300张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系． 五．解答题（共2题，每题9分，满分18分） 23．（2024·江西南昌·一模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 甲同学： 解：把方程变形为，再将代入方程①得，… 乙同学： 解：将方程的两边乘以3得，再将①+②，得到，… (1)甲同学运用的方法是________，乙同学运用的方法是________；(填序号) ①代入消元法；②加减消元法． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了代入消元法和加减消元法解二元一次方程组． （1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程； （2）用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：甲同学运用的方法是①，乙同学运用的方法是②；(填序号) ①代入消元法；②加减消元法 故答案为：①，②； （2）解：选择甲同学的方法， 把方程变形为， 再将代入方程①得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为； 选择乙同学的方法， 将方程的两边乘以3得③， 再将①+③，得到， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 24．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x+y＝1③，将③代入②得： (1)请你替小阳补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可； （2）利用整体代入法进行求解即可． 【详解】（1）解：由①得：， 将③代入②得：， 解得， 把代入①得， ， 解得， 故原方程组的解是； （2）整理得， ， 把①代入②得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， 故原方程组的解是． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 六．解答题（满分12分） 25．（2024七年级下·全国·专题练习）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉．共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉共20台进行销售，请问有几种进货方案？请写出进货方案； (3)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉共20台进行销售，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，则m的值应为多少？ 【答案】(1)甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价800元． (2)共有21种方案，详见解析． (3)若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，m的值为100． 【分析】（1）本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据已知条件找到等量关系列出二元一次方程组是解决问题的关键．设甲、乙的进价分别为元、元，根据已知的两种购买方式可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得甲、乙两种微波炉的进价． （2）本题考查了方案的分类，进货台数为20台，可用列举法，一一列举出不同数量组合的甲、乙型号微波炉，从而得到所有进货方案． （3）本题考查了根据已知条件列代数式，列出关于的代数式，要所获利润与无关，只要系数为0即可． 【详解】（1）解：设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，根据题意得 ， 解方程得 答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价800元． （2）解：设计划购入甲型号台，乙型号台， ∵微波炉共20台， ，，，都为非负整数， ，的取值可以如下，可列出21种方案如下： 1、；2、；3、；4、； 5、；6、；7、；8、； 9、；10、；11、；12、； 13、；14、；15、；16、； 17、；18、；19、；20、； 21、； （3）解：设总利润为w元， 出售甲型总利润为：， 出售乙型总利润为：, ， 总利润与无关， ， ． 答：若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，m的值为100． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$