2025年中考数学一轮复习专题29 圆的有关性质讲义+练习

专题29 圆的有关性质 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•西山区校级期末）如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．4.5 2．（2024秋•石景山区期末）如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•莱芜区期末）如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•南关区校级期末）如图，是的直径，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•温岭市期末）如图，在中，所对的圆周角，则　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•延边州期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•顺义区期末）如图，在中，，为上两点，为的直径．如果，那么为　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•青铜峡市期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•河西区期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•临海市期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•鞍山期末）如图，四边形是圆的内接四边形，若，则的度数是 　　． 12．（2024秋•北川县期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则的度数是 　　． 13．（2024秋•鼓楼区期末）如图，以为直径的半圆经过△的顶点，，点在上，，若，则 　　． 14．（2024秋•涪城区期末）如图，、、为上三点，若，则度数为 　　． 15．（2024秋•房山区期末）如图，在中，为定弦，，为圆上动点，记弦所对的圆心角度数是，弦所对的圆心角度数是．若，则： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述选项中正确的是 　　．（填写所有正确选项的序号） 16．（2024秋•芙蓉区期末）如图，在中，直径于点，，，则的半径长为 　　． 17．（2024秋•东城区期末）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么　　． 18．（2024秋•凉州区期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是 　　． 19．（2024秋•中山区期末）如图，四边形内接于，为延长线上一点，，则的度数为 　　． 20．（2024秋•长沙县期末）如图，在半径为5的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为 　　． 三、解答题（共8小题） 21．（2024秋•建邺区期末）如图，在中，弦，相交于点，且．求证：． 22．（2024秋•南京期末）如图，在中，弦，垂足为，连接，．求证． 23．（2024秋•碑林区期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 24．（2024秋•康县期末）如图，是的直径，、是圆上的两点，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 25．（2024秋•延边州期末）自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，求的长． 26．（2024秋•分宜县校级期末）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点、． （1）若时，求证：； （2）若，时，求的度数； 27．（2024秋•白云区期末）如图，、、都是的半径，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 28．（2024秋•什邡市校级期中）如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知，． （1）求的半径． （2）若，求的长． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D D C B D D 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：是的直径，弦于点，，， ，， 由勾股定理得：， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ． ． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 四边形为内接四边形， ， ， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：， ， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：， ， ． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：由条件可知， ，， ， 在△中， ， 故选：． 9．【答案】 【解答】解：，于，于， ，，， 故、正确，不符合题意； ， ， ， 故正确，不符合题意； 只有时，， 故不正确，符合题意； 故选：． 10．【答案】 【解答】解：直径， ，，， ， 故选项、、的结论成立， 与的关系不能确定，故选项的结论不一定成立， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【解答】解：， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 12． 【解答】解：四边形内接于，， ， ． 故答案为：． 13．【答案】110． 【解答】解：如图，连接， 在△中，，， ， ， 是半圆的直径， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， 故答案为：110． 14．【答案】70． 【解答】解：， ． 故答案为：70． 15． 【解答】解：如图，延长交于点，连接， ①，， ，即， 由题意可得，， 在△和△中， ， △△， ， 为为直径， ，即， ，故①正确； ②，， ， ， △是等边三角形，即△是等边三角形，， ，故②正确； ③为弧的中点， ， 假设， △为等腰三角形， ， ，即， ， 只有时才成立，故③不一定正确； ④由上述可知， ，， 在△中，由勾股定理得， 即，故④正确． 故答案为：①②④． 16．【答案】5． 【解答】解：直径于点，，， ， 设的半径长为，则， 在△中，，即， 解得． 故答案为：5． 17．【答案】． 【解答】解：连接， 则， ， 点在上， ． 故答案为：． 18．【答案】． 【解答】解：是的直径， ， ， ， 故答案为：． 19．【答案】． 【解答】解：四边形内接于， ， ， ， 故答案为：． 20． 【解答】解：如图，过点作于，作于， ， ， 在△中，根据勾股定理得，， 同理， 、是互相垂直的两条弦，，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 21．【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：如图，连接， ， ， 由圆周角定理得：，， ， ． 22．【答案】见解析． 【解答】证明：如图，连接，，，， 弦， ， ， ， ， ， ， ． 23．【答案】5米． 【解答】解：根据题意得，垂直平分， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米， 在△中，， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为5米． 24． 【解答】解：（1）是直径， ， ． （2）， ， ， ． 25．【答案】 【解答】解：是的中点， ， ． 设 ，则． 在△中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为． 26． 【解答】（1）证明：和是外角， ，， ，， ； （2）解：连接， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， 即． 27．【答案】（1）见解析； （2）5． 【解答】（1）证明：，，， ； （2）解：过点作半径于点，连接， ， ，， ． ． ，， ，， 在 中，， ， 在中，， ， 解得， 即的半径是5． 28．【答案】（1）5； （2）6． 【解答】（1）解：如图，连接， 设圆的半径是， ， ，是的直径， ， ， ， ， 的半径为5； （2）解：， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29 圆的有关性质 模型1 圆的认识及相关概念 4 模型2 垂径定理及应用 6 模型3 弧、弦、圆心角的综合应用 11 模型4 圆周角、圆周角定理及应用 16 模型5 圆内接四边形的性质 20 模型归纳 1．圆 在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆． 圆心：固定的端点叫作圆心． 半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ⊙O”，读作“圆O”． 同时从圆的定义中归纳： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆． 2．弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角． （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 3．圆周角 （1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交． （2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． （3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （4）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆内接四边形的对角互补． 4．垂直于弦的直径 （1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴． （2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 方法归纳 1．垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形． 2．正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 3．圆中证明弧、弦、圆心角相等或倍分关系的方法： 在圆中证明弧、弦、圆心角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论． 4．注意： （1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． （2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化． （3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 模型1 圆的认识及相关概念 典例 （2024秋•泗洪县期中）如图，，为的两条弦，连接，，若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：连接， ， ， ， ， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．圆的概念 （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 2．与圆有关的概念 长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中． 【变式练1】　（2024秋•昆明期中）下列说法中，不正确的是　　 A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 【答案】 【解答】解：、直径是最长的弦，说法正确； 、同圆中，所有的半径都相等，说法正确； 、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； 、长度相等的弧是等弧，说法错误； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•广陵区校级期中）已知最长的弦是，则直径为 　　． 【答案】10． 【解答】解：直径是圆内最长的弦，最长的弦是， 圆的直径为， 故答案为：10． 【变式练3】　（2024秋•东海县月考）如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，求的度数． 【解答】解：如图，连接， 由，得，． 由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ． 由，得． 由，即． 解得． 模型2 垂径定理及应用 典例 （2024秋•淮北期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点，求的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）连接， ， ， ， ， ； （2）过作， ， 水面高度下降了， ， ， ， ． 此时水面截线减少． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．解题思路：将圆中有关线段的问题转化到直角三角形中解决． 解题方法：根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，连接半径，利用圆心到弦的垂线段、过弦端点的半径以及弦长的一半构造直角三角形，进而解决问题． 2．垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形． 3．垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【变式练1】　（2024秋•广州期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求△的面积． 【解答】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， ， ， ， ， △的面积． 【变式练2】　（2024秋•东湖区校级期末）如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【解答】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，为的弦， ，， ， 设的半径是， ， 解得， 的半径是5． 【变式练3】　（2024秋•城关区校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． （1）求桥拱的半径； （2）此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不需要采取紧急措施，理由见解答过程． 【解答】解：如图半径，， （1）设桥拱的半径是 ， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 模型3 弧、弦、圆心角的综合应用 典例 （2024秋•高坪区校级期中）如图，在中，，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，求长． 【解答】（1）证明：连接， ， ，又，， ， 在△和△中， ， ∴△≌△， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，， ， ， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【变式练1】　（2024秋•长春期末）如图，，是的两条直径，点、点是圆上的两个点，． 求证：． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：，是的两条直径， ， ， ， ， 即， ． 【变式练2】　（2024秋•北京期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：是的直径，， ， 即点为的中点； （2）解：是的直径，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【变式练3】　（2024秋•大庆月考）如图，是的直径，点，在上，，交于点，已知． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）是的直径，点在上， ， ， ， ， ， ； （2）设，则， ， ， ， ， △△， ， 即， ， ． 模型4 圆周角、圆周角定理及应用 典例 （2024秋•滨海新区期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， 是的直径， ， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 2．注意： （1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． （2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化． （3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 3．圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 【变式练1】　（2024秋•苏州期末）如图，上有三点，，，连接，，，，已知，那么的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，， ． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•琼中县期末）如图，四边形内接于，，． （1）求点到的距离； （2）直接写出弦所对的圆周角的度数． 【答案】（1）； （2）或． 【解答】解：（1）过点作于点， 则． ， ， 在中，， ． 点到的距离为． （2）连接． 由（1）知，在中，， ． ， ． ． ， ， 弦所对的圆周角的度数为或． 【变式练3】　（2024秋•东西湖区期末）如图，是的直径，，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，，求弦的长． 【答案】（1）见解答； （2）16． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又，， ， ， ， ； （2）解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 模型5 圆内接四边形的性质 典例 （2024秋•海城市期末）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 【答案】（1）； （2）6． 【解答】解：（1）， 又， ， 平分， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）由（1）知， ，为直径， ， ， ， 为直径， 垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， 即圆的直径为12， 所以圆的半径为6． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 圆内接四边形的性质： （1）圆内接四边形的对角互补； （2）四个内角的和是360°； （3）圆内接四边形的外角等于其内对角． 【变式练1】　（2024秋•瑞安市月考）如图，四边形是的内接四边形，，点在的延长线上，连结，，，且平分． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）四边形是矩形，证明见解析． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2）四边形是矩形． 理由如下，平分，， ， ， 为的直径， ， 又， ， 四边形是矩形． 【变式练2】　（2024秋•红旗区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，为延长线上一点，且平分． （1）如图①，若，求证：△为等边三角形； （2）如图②，若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为． 【解答】（1）证明：平分， ． ，， ， ， ， ， ， △是等边三角形． （2）解：如图，过点作于点，连接，， 由（1）知：， ， ，， ， ，垂直平分， ， 圆心在的垂直平分线上， ， 设的半径为， ， 解得：， 的半径为． 【变式练3】　（2024•合阳县二模）如图，四边形内接于，连接，，延长至点，使得，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：，， ，，， ，， ， ， 四边形内接于， ， ； （2）解：连接，则：， ，， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$