2021年小升初奥数22讲-第14讲 相反数与绝对值

第14讲 相反数与绝对值 知识要点 与互为相反数，数轴上互为相反数的两个数关于原点对称。 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. ， 当时； 当时； 当时. 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关，在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值. 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数.反之，相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数. 典例精讲 典例 1已知.求的值. 解 由知，故，. 故所求的式子为. 典例2 若与|x+y-2007|互为相反数，求的值. 解 依题意|x-y+3|=.因为任何一个实数的绝对值是非负数，故有，可得，.于是. 典例3 已知，化简：. 分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号. 解 原式=（因为） （因为） 典例4 化简：. 分析 本题是两个绝对值和的问题，解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉两个绝对值符号，则是很容易的事.例如，化简，只要考虑的正负，即可去掉绝对值符号.这里我们是分与两种情况加以讨论的，此时是一个分界点.类似地，对于而言，是一个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点和标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图14-1所示)，即 ，，. 这样我们就可以分段讨论化简了. 解（1）当时，原式； （2） 当时，原式； （3） 当时，原式. 即 当时； 当时； 当. 说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量的值，即先求出条个分界点.然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分.根据变量的这些取值范围分段讨论化简，这种方法又称为“零点分段法” 典例5已知，求的最大值. 分析 首先使用“零点分段法“将化简，然后在各个取值范围内求出的最大值.再加以比较，从中选出最大者. 解 有三个分界点：-3、1、. (1)当时，.由于，所以.的最大值是； (2)当时，.由于，所以，的最大值是6； (3)当时，.由于，所以，的最大值是6； （(4