17.3 一元二次方程根的判别式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.3 一元二次方程根的判别式 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 熟练掌握运用一元二次方程根的判别式判别方程是否有根及两根是否相等； 2. 理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况； 3. 经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性； 4. 通过探索一元二次方程根的判别式与根个数关系，使学生感受到数学知识间的联系，提升数学的学习兴趣. 情景导入 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ (a≠0) 主要方法: (1)直接开平方法 (2)配方法 (3)公式法 (4)因式分解法 求根公式 （b2－4ac≥0） 新知探究 交流 在前面的学习中，你是否注意到：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 前面，通过配方得到了一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的求根公式 因为 a ≠ 0，所以 （1）当 b2 – 4ac ＞ 0 时， 是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根： 新知探究 （2）当 b2 – 4ac = 0 时， ，因此，方程有两个相等的实数根： （3）当 b2 – 4ac < 0 时， 在实数范围内无意义 ，因此方程没有实数根. 知识归纳 可见，一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）根的情况由b2 – 4ac来确定．我们把 b2 – 4ac 叫做一元二次方程 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）根的判别式. 通常用符号“Δ”来表示，即Δ= b2 – 4ac . 一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0）， 当 Δ ＞ 0 时，有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，有两个相等的实数根； 当 Δ ＜ 0 时，没有实数根. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的步骤： (1)把所给的一元二次方程化为一般形式； (2)确定 a， b， c 的值； (3) 计算 b2－4ac的值； (4) 根据 b2－4ac 的值与 0 的大小关系判别 . 例题讲解 课本例题 例 不解方程，判别下列方程根的情况： (1)5x2−3x − 2＝0； (2)25y2+4＝20y； (3)2x2+x+1＝0. 解（1）因为 Δ =（–3）2 – 4×5×（–2）= 49 ＞ 0， 所以原方程有两个不相等的实数根. （2）原方程可以变形为 25y2 – 20y + 4 = 0. 因为 Δ = （–20）2 – 4×25×4 = 0， 原方程有两个相等的实数根. （3）因为 Δ =（）2 – 4×2×1 = – 5 ＜0， 所以原方程没有实数根. 需先将方程化为一般形式 解题秘方：紧扣利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的步骤解答，计算根的判别式是关键 . 例题讲解 补充例题 例 关于 x 的一元二次方程(a ＋ 2) x2－3x＋1=0 有实数根，则 a 的取值范围是( ) A. a ≤ 且 a ≠ －2 B. a ≤ C. a< 且 a ≠ －2 D. a< 解：∵关于 x 的一元二次方程 (a ＋ 2) x2 － 3x ＋ 1=0 有实数根， ∴ Δ ≥ 0 且 a ＋ 2 ≠ 0. ∴(－ 3) 2 － 4(a ＋ 2)×1 ≥ 0 且a ＋ 2 ≠ 0，解得 a ≤ 且 a ≠ － 2． A 课堂练习 1. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1)2x2 − 5x − 4=0； (2)7t2 − 5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 y. 解：(1)因为∆ =(− 5)2 − 4×2×(− 4)=57＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)因为∆=(− 5)2 − 4×7×2= − 31＜0， 所以原方程没有实数根. (3)原方程可变形为x2+x − 3=0， 因为∆=12 − 4×1×(− 3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (4)原方程可变形为3y2－10y+25=0， 因为 ∆=(10)2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根. 2. 已知关于x的方程x2 − 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解：因为 ∆=(− 3)2 − 4×1×k=9 − 4k， ∆=0，即：时，方程有两个相等的实数根； ∆＞0，即：时，方程有两个不相等的实数根； ∆＜0，即：时，方程无实数根. 分层练习 基础题 1.［知识初练］方程 化为一般形式 后，,____, ___, _______. 8 2.方程 的根的判别式的值是____. 37 3.一元二次方程 的根的判别式的值是( ) C A.53 B.28 C.17 D. 4.一元二次方程根的判别式，则 的 值为( ) C A. B. C. D. 5.已知一元二次方程 的判别式的值为____， 它___0(填“ ”“ ”或“ ”)，故这个方程根的情况为____________. 没有实数根 6.[2024·上海中考] 以下一元二次方程有两个相等实数根的是( ) D A. B. C. D. 7.以下一元二次方程没有实数根的是( ) C A. B. C. D. 8.[2024自贡] 关于的一元二次方程 的根的情 况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 9.不解方程，直接判断下列方程根的情况： (1) ; 解：因为 , 所以方程有两个不相等的实数根. (2) ； 解：方程可化为 . 因为 ， 所以方程有两个相等的实数根. (3) ； 解：方程可化为 . 因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根. (4) . 解：因为 ， 所以方程没有实数根. 10.[2024·北京中考] 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根()，则实数 的值为( ) C A. B. C.4 D.16 11.已知关于的一元二次方程() 没有 实数根()，那么 的取值范围是_______. . . 12.[2024临沂模拟] 已知关于的方程 至少有 一个实数解，则 的取值范围是________. 【点拨】当时，原方程为 ，则方程为一元 一次方程，有一个实数解；当 时，方程 是一元二次方程，则当 时，方程有实数解， 解得.综上，的取值范围是 . 13.已知关于的一元二次方程 有两个实数根. （1）求 的取值范围； 【解】 方程有两个实数根， ，即 . （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根. 方程的一个根为2, 将代入方程，可得 . 原方程可化为,即 . ，,即方程的另一个根为 . 14.已知关于的方程 . (1)当该方程的一个根为1时，求 的值； 解：将代入方程,得 ， 解得 . (2)求证：不论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 证明：因为，而 ，所 以，即，所以不论 取何实数，该方程都有 两个不相等的实数根. 15.[2024广安] 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( ) A A.且 B. C.且 D. 【点拨】 关于的一元二次方程 有 两个不相等的实数根， 解得且 . 综合应用题 16.[2024·潍坊中考] 已知关于 的一元二次方程 ，其中,满足 ， 关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) C A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 17.[2024·广州模拟] 若一元二次方程 无实数 根，则一次函数 的图象不经过( ) D A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 18.[2024·芜湖月考] 若一元二次方程 有两 个相等的实数根，则 的最小值为___. 1 19.[2024湖州一模] 关于 的一元二次方程 的根的情况，有以下四种表述： ①当，， 时，方程一定没有实数根； ②当，， 时，方程一定有实数根； ③当， 时，方程一定没有实数根； ④当，， 时，方程一定有两个不相等的 实数根.其中表述正确的序号是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 【点拨】①当，，时，满足 ， ， ，此时， 方程有两个不相等的实数根，故原说法错误. ，， .又， . 方程一定有实数根，故原说法正确. ③当，，时，满足， ， 此时， 方程有两个不相等的实数根，故原说法错误. ， ，， . 方程有两个相等的实数根，故原说法错误.故选B. 20.[2024·安庆期中] 已知关于 的一元二次方程 . (1)求证：方程有两个不相等的实数根； 证明：因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根. (2)若的两边、 的长是方程的两个实数根，第三边的长 为4，当是等腰三角形时，求 的值. 解：由 ， 得 ， 所以, . 记，的长分别为， . 当时， ，满足三角形构成条件； 当时，，解得 ，满足三角形构成条 件.综上所述，或 ． 21.[2024蚌埠期中] 若关于 的方程 是一元二次方程. （1）求 的值； 【解】 关于的方程 是一元二次 方程， 由①得，由②得或 . . （2）若该方程有两个相等的实数根，求 的值. ， 一元二次方程 可化为 . 该方程有两个相等的实数根， ，解得 . 22.[2024宁波模拟预测] 我们规定：对于任意实数，， ， ，有 ，其中等式右边是通常的乘法 和减法运算，如： . （1）已知，求 的值； 【解】根据题意，得，解得 . （2）已知关于的方程 有两个 不相等的实数根，求 的取值范围. 根据题意,得 ， 整理得 . 关于的方程 有两个不相等的 实数根， 且 ， 解得且 . 创新拓展题 23. 对于实数， ，定义一种运算“☆”：☆ . (1)求2☆5与2☆ 的值； 解：2☆ ， 2☆ . (2)如果关于的方程☆☆ 有两个相等的实数根，求实数 的值. ☆☆☆ . 整理,得 . 因为关于的方程☆☆ 有两个相等的实数根，所 以 所以 . 24. 已知关于 的方程 . （1）求证：无论 取何值,这个方程总有实数根； 【证明】 , 无论 取何值，这个方程总有实数根. （2）若等腰三角形的一边长,另两边长, 恰好是这 个方程的两个根,求 的周长. 【解】若为等腰三角形的底边长，则, 为等腰三角形 的两腰长， ,即方程有两个相等的实数根.,即，解得 . 方程为,解得 . 即 ,不符合三角形的三边关系，故舍去. 若为等腰三角形 的一腰长，由题意知,4是方程的一个根， ,解得 . 方程为,解得, ，符合题意. 的周长为 . 习题 1．不解方程，判别下列方程根的情况： （1）4y (y – 1) + 1 = 0；（2）0.2x2 – 5 = x； 解：（1）4y2 – 4y + 1 = 0，∵ Δ = (– 4)2 – 4×4 = 0， ∴方程有两个相等的实数根. （2）0.2x2 – x – 5 = 0，∵ Δ = (– )2 – 4× 0.2×(–5)＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. （3）2y2 + 4y + 35 = 0；（4）x2 + 0.09 = 0.6x. （3）∵ Δ = 42 – 4×2×35＜0，∴方程没有实数根. （4）x2 – 0.6x + 0.09 = 0，∵ Δ = (– 0.6)2 – 4×0.09 = 0， ∴方程有两个相等的实数根. 2．求证：关于 x 的方程 x2 + (2k + 1)x + k – 1 = 0 有两个不相等的实数根． 证明：∵ Δ = (2k + 1)2 – 4(k – 1) = 4k2 + 5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. 3．k 取什么值时，关于 x 的方程 4x2 – (k + 2)x + k – 1 = 0 有两个相等实数根？求出这时方程的根. 解：令 Δ = (k + 2)2 – 4×4(k – 1) = 0， 解得 k1 = 2，k2 = 10． ∴ 当 k = 2 或 k = 10 时，方程有两个等根． 当 k = 2 时，4x2 – 4x + 1 = 0，解得 x1 = x2 = ； 当 k = 10 时，4x2 – 12x + 9 = 0，解得 x1 = x2 = . 4．关于 x 的一元二次方程 (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 有实数根，求 m 的取值范围. 解：依题意得 m – 1 ≠ 0，且 Δ = 4m2 – 4m (m – 1)≥0， 解得 m≥0，且 m ≠ 1． 5．求证：关于 x 的方程 + (m + 1)x + m2 + m + 1 = 0 没有实数根． 证明：∵ Δ = (m + 1)2 – 4× (m2 + m + 1) = – m2 – 1＜0， ∴方程没有实数根. 课堂小结 一元二次方程根的判别式Δ= b2 – 4ac 当Δ ＞ 0 时，有两个不相等的实数根； 当Δ = 0 时，有两个相等的实数根； 当Δ ＜ 0 时，没有实数根. 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$