精品解析：安徽省安庆市外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

安庆市外国语学校2024—2025学年第一学期 九年级期末考试数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，正确掌握“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 2. 若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式，列出关于a的方程即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，记住二次函数的对称轴公式是解题的关键． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点的坐标代入求解，根据坐标关于原点的对称规律直接求解即可． 【详解】将代入，则，那么， 则点关于原点对称的点的坐标 故选：D 【点睛】此题考查反比例函数上的点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的点的坐标规律． 4. 已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据成比例线段的性质，即可求解． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是一组成比例线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 5. 将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得到的抛物线为．   故选：A ． 6. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，得到∠A=50°，再根据圆内接四边形的对角互补可求得∠C． 【详解】解： ∠BOD＝100°， ， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ． 故答案为：D． 7. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中， tan∠ABC=， ∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为=． 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 8. 如图，在中，，，以点C为圆心，以的长为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E．则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，，从而证明，进而可得，设，，从而进行计算即可解答． 【详解】 由题意得：平分， ， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值舍去）． ∴， 故选B． 9. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据一次函数、反比例函数的图象得到、的符号，从交点个数可以判断时有两个不相同的实数根，进而由判断出抛物线与坐标轴的交点位置、对称轴位置，开口方向，即可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象可得 由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得 反比例函数与一次函数的图象的交点有2个 有两个不相同的实数根 即有两个不相同的实数根 的图象与轴有两个交点 的图象与轴的交点为， 二次函数与轴的交点在轴的正半轴上 抛物线的对称轴 抛物线的对称轴位于轴的右侧 又 抛物线开口向上 故选：B． 10. 在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，连接，由是直径得，即得，得到点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，利用勾股定理求出即可求解，找到点P的运动轨迹是圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为． 12. 如图，中，，，的面积是1，那么的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积是1， ∵． ∴． 故答案为：． 13. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题． 利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得  ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得  ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： ， 故答案为： 14. 如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． （1）延长交轴于点，求得，，据此即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图象上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图象上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：（1）延长交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图象上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 三．（本题共2小题，每题8分，共16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．根据有理数的乘方、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算化简各项，再计算乘法，最后计算加减，即可解题． 【详解】解：原式． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心作，使它与的位似比为； （2）在图2中，在AC边上找一个点E，使． 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了网络作图，熟练掌握位似三角形性质，相似三角形性质，是解题的关键． （1）在延长线取点，在延长线上取点，使，连接，即得； （2）根据，得，得，结合，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求y的最小值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为； （2）当时，y的最小值是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． （1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 18. 如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC． 【答案】 证明：∵AD•AC＝AB•AE， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC． 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键． 五．（本题共2小题，每题10分，共20分） 19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）厘米 （2）7.9厘米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴， ∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约． 20. 如图1，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，为的切线，点F在延长线上， （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ （2）． 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理等知识． （1）连接，证明，则，由为的切线，得到，则，进一步证明，即可得到结论； （2）设，则，在中，，解得，得到，，则，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 六．（本题12分） 21. 如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为； （2）点E坐标为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键． （1）由平移的性质可得点B的坐标为，结合点、B都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可； （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意点B的坐标为， ∵点、B都在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵点A坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数图象上， ∴， 解得，， 因为点A坐标为， 所以舍去，所以点E坐标为． 七．（本题12分） 22. 问题背景： 如图（1），在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求证：． 问题探究： 如图（2），在四边形中，，点E是的中点，点F在边上，与交于点G，求证：． 【答案】问题背景： 证明：∵四边形是矩形， ，， ∵，分别是，的中点， ， 即， ； 问题探究： 证明：如图2，取的中点，连接、， ∵E是的中点，是的中点， ，， 又∵， ， ∵， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又∵，是的中点， ， ， ， 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，，根据点，分别是，的中点，可得，即可求证； 问题探究：取的中点，连接、，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证 【详解】问题背景：略； 问题探究：略． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键． 八．（本题14分） 23. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）求函数的等值点坐标； （2）若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）函数的等值点坐标为， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． （1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可； （2）根据“等值点”的定义建立方程，再根据图象上只有一个等值点求解即可； （3）由函数的等值点坐标为，，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【小问1详解】 解：在中，令， 解得，， 函数的图象上有2个“等值点”，为，； 【小问2详解】 解：令， 整理得， 函数的图象上只有一个等值点， ， 解得或； 【小问3详解】 解：①当时，由（1）知，，两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：，在上，若，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则上无“等值点“， 由：沿直线翻折后的图象记为，可得的解析式为， 在中，令得：， 整理得：， ， ， 解得， 此时； ②当时，，两部分组成的图象上有3个等值点：，，； ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”； ④当时，，两部分组成的图象上只有1个“等值点”：； ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市外国语学校2024—2025学年第一学期 九年级期末考试数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 已知点在反比例函数的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 7. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，以点C为圆心，以的长为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E．则的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 10. 在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知，的值为______． 12. 如图，中，，，的面积是1，那么的面积是______． 13. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于______米． 14. 如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 三．（本题共2小题，每题8分，共16分） 15. 计算： 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心作，使它与的位似比为； （2）在图2中，在AC边上找一个点E，使． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求y的最小值． 18. 如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC． 五．（本题共2小题，每题10分，共20分） 19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 20. 如图1，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，为的切线，点F在延长线上， （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求的长． 六．（本题12分） 21. 如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 七．（本题12分） 22. 问题背景： 如图（1），在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求证：． 问题探究： 如图（2），在四边形中，，点E是的中点，点F在边上，与交于点G，求证：． 八．（本题14分） 23. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）求函数的等值点坐标； （2）若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $