精品解析：山西省忻州市三校2024-2025学年八年级上学期期末联考数学试题

2024-2025学年第一学期期末综合素养评价（卷） 八年级数学 （时间：120分钟；满分：120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 纳米材料多被应用于建筑、家电等行业，实际上，纳米(nm)是一种长度的度量单位：1纳米＝0.000000001米，用科学记数法表示0.12纳米应为(　　) A. 0.12×10－9米 B. 0.12×10－8米 C. 1.2×10－10米 D. 1.2×10－8米 4. 正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ） A. 1：3 B. 1：2 C. 2：1 D. 3：1 5. 如图，点在上，点在上，．下列条件中不能判断的是（　　） A. B. C. D. 6. 某校为了扩建劳动实践基地，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为a米的三条小路（阴影部分），其余部分（即空白部分）作为劳动实践基地．则劳动实践基地的总面积是（ ）平方米． A. B. C. D. 7. 将一副普通的直角三角尺和如图放置，点恰好落在边上，三角尺中，较长的边AEBC，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 10. 在中，，的外角平分线交的延长线于F，交斜边上的高的延长线于E，交的延长线于G，则下列结论：①；②；③，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝___________． 12. 化简：___________． 13. 已知是完全平方式，则的值是_________． 14. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 15. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适数作为的值代入求值. 18. 如图，，都等边三角形．求证： 19. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 20. 山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成． 计算结果 … 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． 问题1： 如图1，中，，，点线段上一点（不与、重合），连接． （1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）如图1，若，则、“和谐三角形”吗？为什么？ 问题2： （3）如图2，中，，，点是线段上一点（不与、重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 22 阅读下列材料，完成相应任务． 阅读材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值 解： ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴ ∵当时，有最小值为0 ∴当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列任务： 任务一：填空：__________（ ）2 任务二：探索：将变形为的形式，并求出的最小值． 任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为，第二个长方形边长分别是、，面积为，试用含的式子表示的值，并说明与的大小关系． 23. 在和中，，连接． 【发现问题】如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是______,的度数为_______． 【类比探究】如图2，若，延长相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末综合素养评价（卷） 八年级数学 （时间：120分钟；满分：120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A．t2与t4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．（3x2）3=27x6，故本选项不合题意； C．m8÷m4=m4，故本选项不合题意； D. ，正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 3. 纳米材料多被应用于建筑、家电等行业，实际上，纳米(nm)是一种长度的度量单位：1纳米＝0.000000001米，用科学记数法表示0.12纳米应为(　　) A. 0.12×10－9米 B. 0.12×10－8米 C. 1.2×10－10米 D. 1.2×10－8米 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】0.12纳米＝0.12×10－9米＝1.2×10－10米．故选C. 【点睛】此题考查科学记数法—表示较小的数，解题关键在于掌握表示形式 4. 正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ） A. 1：3 B. 1：2 C. 2：1 D. 3：1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解． 【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°， ∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1， 故选D． 【点睛】本题主要考查正多边形内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键． 5. 如图，点在上，点在上，．下列条件中不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 根据全等三角形的判定定理依次判断各个选项即可． 【详解】解：A、若，则依据，可得， 由，，，可得， 故A选项能判断； B、若，则不能得到， 故B选项不能判断； C、若，由，，则可得， 故C选项能判断； D、若，则由，，，可得， 故D选项能判断； 故选：B． 6. 某校为了扩建劳动实践基地，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为a米的三条小路（阴影部分），其余部分（即空白部分）作为劳动实践基地．则劳动实践基地的总面积是（ ）平方米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的应用，正确理解题意是解题关键．根据题意可得劳动实践基地的总面积为，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 平方米． 故选：C． 7. 将一副普通的直角三角尺和如图放置，点恰好落在边上，三角尺中，较长的边AEBC，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，结合，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案． 【详解】解：，， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据平行线的性质，求出，是解题的关键． 8. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 9. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：C． 10. 在中，，的外角平分线交的延长线于F，交斜边上的高的延长线于E，交的延长线于G，则下列结论：①；②；③，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】由平分得，易得，利用等角的余角相等得到，利用等腰三角形的判定即可得到①正确；由，利用平行线的性质得，则，易证，则，即可得到②正确；根据等腰三角形的性质易得垂直平分，所以③正确． 【详解】解：平分， ， 而， ， ，为高， ， ， 所以①正确； 又， ， ， 而， ， ， ， ， 所以②正确； 在中， ，平分， 垂直平分， , 所以③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，且它们的夹边也相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝___________． 【答案】3 【解析】 【分析】把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a方程，求出即可 【详解】解：把x=1代入得： , 此时分式无意义， ∴a-3=0， 解得a=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键． 12. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】分子分母因式分解后约分即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握因式分解和分式的基本性质是解题的关键． 13. 已知是完全平方式，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 14. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据∠BAC的角平分线AD交BC于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 15. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可. 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案； （2）先提取公因式()，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】（1） = =； （2） = = =． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用乘法公式进行二次分解，注意分解要彻底． 17. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 【答案】，当时，原式(或者选择当时，原式) 【解析】 【分析】先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键． 【详解】解： ， ∵或2时，分母为，分式无意义， ∴只能取或1， ∴当时，原式，（或者选择当时，原式）． 18. 如图，，都是等边三角形．求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等边三角形的性质得到，，，进而由得到，利用“”即可证明，得到，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可； （2）根据关于关于轴对称的点的坐标的特征写出答案即可； （3）根据轴对称的性质取点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求．由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得，点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【小问3详解】 如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求． 20. 山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成． 计算结果 … 【答案】支付给工人的总费用为1360元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设安排x名工人安装横杠，在安排名工人安装竖杠，根据每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根且两项安装任务同时开始，并在当天同时完成列出方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人安装横杠，安排名工人安装竖杠， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 元， 答：支付给工人的总费用为1360元． 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． 问题1： 如图1，中，，，点是线段上一点（不与、重合），连接． （1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）如图1，若，则、是“和谐三角形”吗？为什么？ 问题2： （3）如图2，中，，，点是线段上一点（不与、重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 【答案】（1）是“和谐三角形”，理由见解析；（2）、是“和谐三角形”，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】此题考查了角的和差计算、三角形的内角和定理等知识 （1）证明，即可得到结论； （2）在中，证明，则为“和谐三角形”；在中，得到，即可证明为“和谐三角形”；②分两种情况，分别进行解答即可． 【详解】解：（1）是“和谐三角形”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； （2）、是“和谐三角形”，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，∵， ∴， ∴为“和谐三角形”； 在中， ∵， ∴， ∴为“和谐三角形”； （3）若是“和谐三角形”，由于点是线段上一点（不与、重合）， 则． 当时，； 当时，，即， ∴． 综上，的度数为． 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 阅读材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值 解： ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴ ∵当时，有最小值为0 ∴当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列任务： 任务一：填空：__________（ ）2 任务二：探索：将变形为的形式，并求出的最小值． 任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为，第二个长方形边长分别是、，面积为，试用含的式子表示的值，并说明与的大小关系． 【答案】任务一：，；任务二：，－27；任务三：， 【解析】 【分析】任务一：根据完全平方式即可确定； 任务二：先配方成，进一步求出最小值； 任务三：分别表示出和，再计算，即可比较大小． 【详解】解：任务一：. 故答案为：，； 任务二：， 当时，的最小值为－27； 任务三：， ， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，多形式乘以多项式，熟练掌握是解题的关键． 23. 在和中，，连接． 【发现问题】如图1，若，延长交于点D，则与数量关系是______,的度数为_______． 【类比探究】如图2，若，延长相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想之间的数量关系，并说明理由． 【答案】发现问题：，； 类比探究：，理由见解析； 拓展延伸：，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识． 发现问题：设与交于点O，证明，则，.由三角形外角的性质即可得到的度数； 类比探究：证明，则，.由，，得到，再根据三角形外角的性质得到的度数； 拓展延伸：证明，则.，，，得到，即.由及等量代换即可得到结论． 【详解】发现问题：，， 理由如下：如图1所示，设与交于点O， ∵， ∴， 即. ∵，， ∴， ∴，. ∵，， ∴． 故答案为：，； 类比探究：，. 理由如下：如图2， ∵， ∴， 即. ∵，， ∴， ∴，. ∵，， ∴， ∴． 拓展延伸：， 理由如下：如图3， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴. ∵，，， ∴，即. ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$