等差数列与等比数列专题训练-2025届高三数学一轮复习题

等差数列与等比数列专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．4 D． 4．已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4045 B．4042 C．4041 D．4040 5．已知数列满足，设，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 6．已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 7．已知正项等比数列满足，若在中存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列的首项为1 B． C． D．数列的公比为 10．设是各项均为正数的等比数列，其公比为，正整数满足 ，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．若数列是递增数列，则 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为 三、填空题 12．已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 13．数列的首项，，令，则 ． 14．已知数列是公差为2的等差数列，是公比为3的等比数列，且，设，则 . 四、解答题 15．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 17．已知数列满足，． (1)求数列的前n项和； (2)设的前项和为，证明：． 18．在2和14之间插入3n个数构成一个等差数列，该数列的公差为，（>0）且所有项的和为，在1和4之间插入2n个数构成一个等比数列，其所有项的积为. (1)求 (2)不等式，对任意的恒成立，求数的最小值： (3)设，求数列的前32项和 19．已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《等差数列与等比数列专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C D B A BCD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】根据等差数列求和公式求出，再根据下标和性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 2．D 【分析】由等差数列前和公式与等差中项得到，判断A选项；由得到，结合等差中项，得到与0的大小关系，然后由的结果判断B选项；由与的大小关系得到数列的增减性，再对进行放缩得到结论，判断C选项；由与的正负情况建立不等式组，求得的范围，判断D选项. 【详解】因为，所以A不正确； ，所以， 又因为，所以，则，所以B不正确； 由，知，即为递增数列， 所以，所以C不正确； 由，得，所以D正确. 故选：D. 3．C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，， 代入直线方程得， 即，令，得， 故直线恒过，设，该点在圆内， 画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，，此时. 故选：C. 4．A 【分析】根据与的关系可得，当时，，进而得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得，进而求解即可. 【详解】当时，，解得：. 当时，， 则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 则， 则. 故选：A. 5．C 【分析】由递推公式可得，利用累加法计算可得，进而，结合等差数列前项和公式计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 以上各式相加，得， 又，所以，则， 所以数列的前项和为. 故选：C 6．D 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得， 则，化简可得，解得或， 故选：D. 7．B 【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，根据存在两项使得，可得，求得即可求解． 【详解】解：设正项等比数列的公比为， 满足：， 即，又， 所以， 解得， 存在两项使得， ，又 所以 ， ，的取值分别为，，，，， 当，的取值为则； 当，的取值为则； 当，的取值为则； 当，的取值为则； 当，的取值为则； 所以的最小值为； 故选：B 8．A 【分析】根据与的关系，即可求出数列的通项公式，再利用“和谐项”的定义得出，通过等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由，得， 所以，即，于是有 因为，所以， 所以数列是从起，公比为的等比数列， 所以， 当时，，所以此式不满足， 故的通项公式为所以， 因为，所以， 数列的所有“和谐项”的平方和为： . 故选：A. 9．BCD 【分析】根据得，不确定，故选项A错误，B正确；根据，得，选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】对于AB,设数列的公差为，由得， ∴，不确定，故A错误，B正确. 对于CD，设数列的公差为，由，得， ∴，∴，故 C正确，D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】根据条件，利用等比数列的性质得，再分和，即可判断出选项A和B的正误；再利用幂函数的性质和等比数列的单调性，得数列是单调数列，再分数列是递增数列和递减数列两种情况讨论，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由题意知且，由，得， ①当时，为递增数列，所以，从而， 则有，所以， 两边平方，得，整理得到，所以， 即，所以； ②当时，为递减数列，所以，从而，则有， 两边平方，得，整理得到，所以， 即，所以. 由①②可得，选项A正确，选项B错误； 根据幂函数的性质和等比数列的单调性，得数列是单调数列，即是递增数列，或是递减数列， 若数列为递增数列，则，则，所以， 两边平方得， 又，则，所以，得到， 若数列为递减数列，则，则，所以， 两边平方得， 又，则，所以，得到， 所以选项C，D均正确. 故选：ACD. 11．BCD 【分析】对于A，通过取，可得，即可求解；对于B，因为，根据条件，将问题转化成恒成立，即可求解；选项C，由得，再利用等比数列的前项和公式，即可求解；对于选项D，根据条件可得，即可求解. 【详解】对于选项A，取，则，此时是递增数列，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 则，又，数列是递增数列，则且， 且恒成立，则，所以选项B正确， 对于选项C，当时，， 则，所以选项C正确， 对于选项D，若，由选项B知，即，得到， 所以，即， 则， 所以使得成立的的最大值为10，故选项D正确， 故选：BCD. 12．21 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 13．/ 【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前项和． 【详解】因为， 所以，又， 所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 代入得， 设数列的前项和为， 则， 则. 故答案为： 14． 【分析】结合等差数列和等比数列通项公式求数列，的通项，再利用分组求和法出，由此可得结论. 【详解】因为数列是公差为2的等差数列，是公比为3的等比数列， 且， 所以，， 所以， 又， 所以 ， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据条件计算数列的首项和公差即可得到通项公式. （2）根据分组求和的方式计算数列的前项和即可得到结果. 【详解】（1）设数列公差为， 由，得，，解得 ∴. （2）由得， . 16．(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得解； （2）由，结合的公差计算可得. 【详解】（1）设数列的公差为d， 依题意可得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 则 . 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可得， 当时，即， 所以， 所以 . 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式与等比数列的性质即可求得等比数列所有项的积. （2）令，把恒成立问题转化为函数的最值即可. （3）先求出公差，得，所以，公式展开得，最后利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1） （2）令， 当为偶数时，且， 当，即； 当，即 所以偶数项中最大项为，最小项为． 当为奇数时，， 当；当． ， 当，即； 当，即 所以奇数项中最大项为，最小项为． 于是数列中最大项为，最小项为． 所以实数的最小值为． （3）因为，所以． 因为，所以， 即． 于是 ． 19．(1) (2)具有，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 （2）数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3）因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$