空间向量与立体几何专题训练-2025届高三数学一轮复习题

空间向量与立体几何专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，若共面，则z等于（   ） A． B．9 C． D．5 2．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 3．如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知P、A、B、C为空间中的四点且任意三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A． B． C． D．直线与平面不相交 6．在空间直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（   ）    A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形 B．存在点，使得直线与平面垂直 C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等 D．点到平面的距离不超过 二、多选题 9．关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若共线，则 B．已知，，若，则 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底 10．设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若的夹角为，则 11．如图，正方体的体积为8，E，F，G，M分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于平面 B．向量在向量上的投影向量为 C．点M到直线的距离为 D．点P为线段上一点，则直线与直线所成角的范围是 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 13．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，则直线BD1与直线DC所成角的余弦值为 . 四、解答题 15．如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点E，F，G分别为，，的中点，平面棱． (1)求证：； (2)求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值． 16．如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为直角梯形， ，，且． (1)当时，求证：； (2)当点在线段上（包含端点），时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 17．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 18．如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的大小. 19． 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且． (1)证明：． (2)若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《空间向量与立体几何专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C D C A B BCD BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】共面，设，则，解得， 故选：B． 2．C 【分析】根据空间向量加减法法则计算． 【详解】由题意， 故选：C． 3．A 【分析】将转化为，再利用数量积的定义求解. 【详解】由题意可知：. 故选：A 4．C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 5．D 【分析】由方向向量与法向量关系可判断直线与平面关系. 【详解】对于AB，因为，则可能与平面平行，也可能在内，因题目条件不足，故AB选项正误无法判断； 对于C，注意到与不共线，则与不垂直，故C错误； 对于D，由AB分析可知，直线与平面不相交，故D正确. 6．C 【分析】由点的坐标写出向量坐标，由空间共面向量定理得到的等式，利用基本不等式求出的最小值，从而求得的最小值. 【详解】， ， 又因为D在平面内，所以，即， 所以，当且仅当时取等号. 所以. 故选：C. 7．A 【分析】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可. 【详解】， ∴， ∴. 故选：A. 8．B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用过正方体中心的截面分正方体所成两部分体积关系判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 对于A，，即，而直线，则， 又，因此四边形为平行四边形，又， 则四边形为菱形，当点与重合时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A正确； 对于B，，，即与不垂直， 而平面，因此直线与平面不垂直，B错误； 对于C，线段的中点为正方体的中心，平面过该正方体的中心， 由对称性，平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确； 对于D，当点时，，，则， 即，，平面，于是平面， 此时点到该正方体中心的距离即为点到平面的距离， 是点到过的所有截面距离最大值，因此点到平面的距离不超过，D正确. 故选：B 9．BCD 【分析】根据共线向量定义、向量垂直的坐标表示、空间向量共面定理、空间基底的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当同向时，；当反向时，；A错误； 对于B，，，解得：，B正确； 对于C，，，四点共面，C正确； 对于D，假设存在实数，使得， ，，方程组无解， ，，不共面，可以构成空间的一组基底，D正确. 故选：BCD. 10．BC 【分析】根据向量的位置关系，可得空间线面位置关系，可得答案. 【详解】对于A，当时，直线可能平行也可能重合，故A错误； 对于B，当时，在平面内一定存在与直线平行的直线，则或，故B正确； 对于C，当时，直线与平面的垂线平行或重合，则，故C正确； 对于D，当的夹角为，其法向量的夹角为或，则或，故D错误. 故选：BC. 11．ABC 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，对于A，利用空间向量证明线面平行即可；对于B，求出向量在向量上的投影向量即可；对于C，利用向量法求出点M到直线的距离即可；对于D，利用向量法求出直线与直线所成角的余弦值范围即可. 【详解】因为正方体的体积为8，所以棱长为2， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 对于A，平面的法向量为，又，所以，又平面，所以平行于平面，故A正确； 对于B，，所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，所以M点到直线的距离为，故C正确； 对于D，记直线与直线所成角为，因为点P为线段上一点，设，则， 所以， 令，则， ， 当时，取得最大值1；当时，取得最小值； 所以，故D错误； 故选：ABC. 12．（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 13．10 【分析】利用空间向量基本定理可得，由题设条件推得方程组，求解即得. 【详解】因向量，，共面，且，，是三个不共面的非零向量， 则存在，满足， 即， 则有，解得. 故答案为：10. 14．/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得直线BD1与直线DC的方向向量，利用线线角的空间向量坐标公式计算即可. 【详解】 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线BD1与直线DC所成角为，则， 故答案为：. 15．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证平面，再由线面平行的性质定理得证线线平行； （2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角． 【详解】（1）分别是中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面棱．所以平面平面， 又因为平面，所以； （2）底面，又底面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 又点E，F，G分别为，，的中点，所以， ， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 显然平面的一个法向量是， ， 所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为． 16．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关的点的坐标，证明为0即可证明； （2）由题意可求出，进而可求出平面的法向量，假设，进而可求出平面的法向量，运用空间角的向量求法求解即可. 【详解】（1）取的中点的中点，连接 ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 平面， 分为的中点， ， 平面，易知， 因为，所以， 以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角生标系， ， ，设. 则 ， . （2）， ， ，， 因为点M在上，可设， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则 设平面的一个法向量为， 则， 令，则 ， 假设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 令，，， ， ， ，， ， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面可得到； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式解出，再由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接BD，在直角梯形ABCD中，易得， 又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面平面， ，又，平面， 平面平面， . （2）如图，取的中点的中点，连接， 由题意可得， 平面平面平面平面，平面， 平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得， 又平面平面的一个法向量， ，令，解得或（舍）. 即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为， 平面，且， 到平面的距离为，又四边形的面积为3， 四棱锥的体积. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小. 【详解】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因为且，为的中点，则且， 所以，且，则四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2）因为平面，平面，则， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，所以，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角的大小为. 19．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先证明平面，可得，连接，再证明平面，进而可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【详解】（1）依题意，，而，平面， 则平面，又平面，则， 由，，得，， 连接，则，而，平面PCE， 因此平面，又平面， 所以． （2）由（1）知两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$