【新高考地区专用】2025届高三第二轮复习考前数学小题训练（三）-2025年人教A版2019高三第二轮复习小题练习题集

2025届新高考 考前小题训练（三） 数 学 时量：50分钟 满分：75分 整体难度系数：★★★ 班级：___________ 姓名：__________ 分数：___________ 一、选择题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （2023-2024·山东·高三上期末·★） 已知集合，集合，则 （      ） A． B． C． D． 2. （2024-2025·山西·高三上阶段练习·★★） 已知向量，，若，，则 （     ） A．1 B． C．2 D． 3. （2024-2025·四川·高三二模·★★） 已知，且，则在的展开式中，的系数为 （     ） A．5 B．10 C．15 D．20 4. （2024-2025·重庆·高二上期中·★★） 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 5. （2022-2023·邵阳·高二下期中·★★★） 一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为 （     ） A． B． C． D． 6. （2023-2024·上海·高一下阶段练习·★★★） 已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则 （     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7. （2024-2025·湖北·高三模拟预测·★★★） 已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为 （     ） A． B． C． D． 8. （2023-2024·安徽·高三上阶段练习·★★★★） 直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为 （     ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的选得0分） 9. （2024-2025·广东·高三上阶段练习·★★） 关于复数，下列说法正确的是 （     ） A． B．若，则的最小值为 C． D．若是关于的方程：的根，则 10. （2024-2025·安徽·高三上期中·★★★） 对任意正整数，设是使成立的正整数的最小值，数列的前项和为，则（     ） A．， B．， C． D． 11. （2021-2022·湖北·高三上阶段练习·★★★★） 已知为椭圆外一点，分别为椭圆的左､右焦点，，线段分别交椭圆于，设椭圆离心率为，则下列说法正确的有 (     ) A．若越大，则越大 B．若为线段的中点，则 C．若，则 D． 三、填空题（本大题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. （2022-2023·江苏·高三上期末·改编·★★） 为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为_________m. 13. （2020-2021·浙江·高二下期中·改编·★★★） 将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是 . 14. （2023-2024·湖南·高三上开学考试·改编·★★★★） 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，若关于的方程有4个不同实根，则实数的取值范围是 . 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高考 考前小题训练（三） 答案解析 数 学 时量：50分钟 满分：75分 整体难度系数：★★★ 班级：___________ 姓名：__________ 分数：___________ 一、选择题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （2023-2024·山东·高三上期末·★） 已知集合，集合，则 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求集合，再求. 【详解】，解得：， 所以，又，所以. 故选：D 2. （2024-2025·山西·高三上阶段练习·★★） 已知向量，，若，，则 （     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，又，解得. 故选：A 3. （2024-2025·四川·高三二模·★★） 已知，且，则在的展开式中，的系数为 （     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先根据正态分布的对称性求出，在利用二项式定理求的系数. 【详解】因为，且， 则，得， 则，其含的项为， 即的系数为. 故选：B. 4. （2024-2025·重庆·高二上期中·★★） 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，确定渐近线倾斜角的范围，再根据渐近线的斜率的范围表示双曲线的离心率的范围. 【详解】由知；两条渐近线之间的夹角小于，故；故离心率. 故选：B 5. （2022-2023·邵阳·高二下期中·★★★） 一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式先求出抽到的是次品的概率，再结合次品来自制造厂C概率，根据条件概率公式即可求得答案. 【详解】设事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于A制造厂， 事件：抽到的配件来自于B制造厂，事件：抽到的配件来自于C制造厂， 则， , 故 ， 则抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为, 故选：A 6. （2023-2024·上海·高一下阶段练习·★★★） 已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则 （     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由题意可得，，从而可求的m的值，举例可得n的值，即可得出答案. 【详解】因为、、为锐角， 则，当且仅当时取等号， 同理可得， 故不可能有3个数都大于，所以最多2个数大于， 所以，例如； 例如，则， 即三个数均可能小于，则； 所以. 故选：C. 7. （2024-2025·湖北·高三模拟预测·★★★） 已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，利用导数可得，再根据等积法可，故可求圆的面积的最小值. 【详解】由题设有，设，则， 设，则， 因为为上的增函数，故为上的增函数， 而，故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故， 由等积法可得， 故， 故， 故圆的面积的最小值为， 故选：B. 8. （2023-2024·安徽·高三上阶段练习·★★★★） 直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析10个小球在正四面体内的位置情况，把正四面体的高用小球半径与正四面体的棱长表示，列等式即可求解. 【详解】我们先来证明如下引理： 如下图所示： 设正四面体棱长为，面，， 所以，， 显然为面的重心，所以，由勾股定理可得面, 所以正四面体的高等于其棱长的倍. 接下来我们来解决此题： 如下图所示： 10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个， 当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切， 任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 则该正四面体的棱长为，可求得其高为， 所以正四面体的高为， 进而可求得其棱长a的最小值为． 故选：B. 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的选得0分） 9. （2024-2025·广东·高三上阶段练习·★★） 关于复数，下列说法正确的是 （     ） A． B．若，则的最小值为 C． D．若是关于的方程：的根，则 【答案】BD 【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项. 【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误； 设， B选项：由，则，且， 则，， 又，所以当时取最小值为，B选项正确； C选项：，，， 所以，C选项错误； D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足， 且与互为共轭复数，由可知， 则，即，D选项正确； 故选：BD. 10. （2024-2025·安徽·高三上期中·★★★） 对任意正整数，设是使成立的正整数的最小值，数列的前项和为，则（     ） A．， B．， C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知的通项公式，进而可判断A项、B项、C项，由分组求和及等差数列前项和公式计算可判断D项. 【详解】由题意知，，是使得成立的正整数的最小值， 所以当为奇数时，为正整数，所以，所以， 当为偶数时，不是正整数，所以，所以， 所以， 对于A项，，，所以，故A项错误； 对于B项，，，所以，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项， ，故D项错误. 故选：BC. 11. （2021-2022·湖北·高三上阶段练习·★★★★） 已知为椭圆外一点，分别为椭圆的左､右焦点，，线段分别交椭圆于，设椭圆离心率为，则下列说法正确的有 (     ) A．若越大，则越大 B．若为线段的中点，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】由题意可知，过作直线的垂线，结合，利用余弦定理求出；结合椭圆离心率的概念判断A选项说法是否成立；当时，连接，在中，根据余弦定理及椭圆定义，可计算出离心率即可判断C是否正确；当为线段的中点时，连接，在中，根据余弦定理及椭圆定义，可计算出离心率，即可判断B是否正确；在中，由余弦定理表示出，结合椭圆定义推出，在中，根据余弦定理计算，推出，最后计算，即可判断D是否正确． 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 过作直线的垂线，垂足为，在中，所以， 所以，所以， 所以，所以， 在中， ， 所以，所以； 对于A选项：因为椭圆离心率， 所以椭圆离心率e越大，椭圆越扁，越小，故A错误； 对于B选项：若为线段的中点，即， 连接，在中，， 根据余弦定理可知：， 因为，所以， 所以，故B选项正确； 对于C选项：若，因为，所以为靠近的三等分点， 连接，在中，， 根据余弦定理可知：， 又，所以， 所以，故C选项正确； 对于D选项：因为，所以， ， 又，所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以， 因为，所以， 在中，， 根据余弦定理可知：， 因为， 所以， 所以， 所以，所以，故D不正确． 故选：BC. 三、填空题（本大题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. （2022-2023·江苏·高三上期末·改编·★★） 为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为_________m. 【答案】A 【分析】根据画出图形，设，结合条件可得，，然后根据余弦定理即得. 【详解】设，则，， ∴， 在中，由余弦定理可得 ， ∴， ∴(负值舍去)，即直塔AB的高为100m. 故答案为：100. 13. （2020-2021·浙江·高二下期中·改编·★★★） 将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是 . 【答案】 【分析】通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果 【详解】解：设是从上往下数第行的最大数，设的概率为，最大数在第行的概率为， 在任意排好第行后余下的个数排在前行符合要求的排列的概率为， 所以，以此类推， ， 所以当时，， 故答案为： 14. （2023-2024·湖南·高三上开学考试·改编·★★★★） 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，若关于的方程有4个不同实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件探讨函数f(x)的性质，进而探求函数g(x)的性质，作出图象数形结合求解. 【详解】依题意得：，，所以函数关于原点对称， 又为偶函数，所以，即， 所以函数关于直线对称， 由得， 所以是周期为8的周期函数， 当时，，作出函数的部分图象如图， 令， 则， 故函数是上的偶函数，讨论的情况，再由对称性可得的情况， 因为， 所以也是周期为8的周期函数， 当时，， 当时，； 当时，. 关于的方程有4个不同实根， 即直线与的图象有4个公共点，作出函数的部分图象如图： 观察图象知，当直线过原点及点，即时， 直线与的图象有3个公共点； 当直线过原点及点，即时， 直线与的图象有5个公共点； 当直线绕原点逆时针旋转到直线时， 旋转过程中每个位置的直线（不含边界）与的图象总有4个公共点， 于是得：当时，关于的方程有4个不同实根，有. 由对称性知，当时，关于的方程有4个不同实根，有. 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$