精品解析：陕西省西安市育才中学2024-2025学年高三上学期数学模考（一）

【高2025届】2024-2025学年度第一学期高三模考（一） 满分：150分 时长：110分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题所给的选项中，只有一个正确） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 4. 已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 5. 函数，的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数在区间上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题所给的选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中错误的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则 B. 设，为非零向量，若，则的夹角为锐角 C. 设，，为非零向量，则 D. 若点G为的外心，则 10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点可作曲线的两条切线 12. 已知函数，则下列说法正确的是：（ ）. A. 若，则的最大值为 B. 若，则函数始终有且仅有1个极值点且为极小值点 C. 若，则始终有且仅有1个零点 D. 若恒成立，则的最小值为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域为_______ 14. 已知且，则______． 15. 已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为_______． 16. 现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，则_______；设余弦曲线的曲率为K，则的最大值为_______． 四、解答题（本题共70分） 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求当时，的解析式； （2）求在上的值域. 18. 已知函数． （1）求函数的对称中心与对称轴； （2）当时，求函数的单调递增区间及的最值及取得最值时x的集合． 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 20. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 21. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高2025届】2024-2025学年度第一学期高三模考（一） 满分：150分 时长：110分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题所给的选项中，只有一个正确） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到，再由集合交集运算即可求解. 【详解】因为，当时， 所以 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将、余弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得: . 则 . 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 . 故， 故选：C. 4. 已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的对称性和基本不等式求解. 【详解】曲线 表示一个圆,则圆心为(2,1)圆， 因为曲线关于直线对称， 圆心(2,1)在直线 上,则 ,即 , 又 . 当且仅当 时,即 时取等. 故选:D. 5. 函数，的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、对称性，特殊值进行判断即可 【详解】由题意知，该函数为偶函数，所以 , 则 关于 对称，又 故排除B项； ，则，即， 只有A中图象符合， 故选：A 6. “”是“函数在区间上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，列出不等式求解的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可. 【详解】因为在区间上存在两个零点， 所以, 解得或, 因为集合是集合或的真子集， 所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义得出为偶函数，当时，令，由导数判断其单调性进而得出在上单调递增，根据抽象函数不等式解法求解即可． 【详解】由题意得，的定义域为，， 因为， 所以为偶函数， 当时，令，则， 因为和在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，得，所以， 两边平方并整理，得，解得． 故选：B． 8. 函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况和 的情况求解即可 【详解】当时，单调递减，且，所以， 因为，所以 为偶函数， 作出的图象如图： 由， 得 ， 因为关于x的方程有4个不同的根， 且 有两个不同的实数根，所以有两个不同的实数根， 则 ，且 ， 所以a的取值范围为. 故选：D. 【点睛】利用函数的奇偶性结合一元二次方程根的情况求解是关键，要学会使用复合函数的根的求法. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题所给的选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中错误的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则 B. 设，为非零向量，若，则的夹角为锐角 C. 设，，为非零向量，则 D. 若点G为的外心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错.    故选：BCD 10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，由可得选项A错误；由可得选项B错误；根据图象平移“左加右减”的原则可得选项C错误；数形结合可得选项D正确. 【详解】由图象可得，，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴. 当时，，选项A错误. 当时，，选项B错误. 将函数的图象向左平移个单位得到函数 的图象，选项C错误. 当时，， ，， 函数在上的图象如下： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 即方程在上有两个不相等的实数根，选项D正确. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点可作曲线的两条切线 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，分析函数的单调性即可得出极点个数；B项，利用零点定理即可得出零点个数；C项，构造并分析奇偶性，利用是图象的对称中心得出点是曲线的对称中心；D项，设出切点并得出切线方程，将代入切线方程即可得出过点的切线. 【详解】由题意， 在中，． 令，得或， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是极值点，A正确． 由的单调性且极大值，极小值， 又，， 所以函数在定义域上有3个零点，B错误． 令， 因为，则是奇函数， 所以是图象的对称中心， 将的图象向上移动1个单位长度得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，C正确． 设切点为， 则切线的方程为， 代入，可得，解得． 所以过点的切线有1条，D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法求单调性，零点定理，函数的切线，考查学生分析和处理问题的能力，具有较强的综合性. 12. 已知函数，则下列说法正确的是：（ ）. A. 若，则的最大值为 B. 若，则函数始终有且仅有1个极值点且为极小值点 C. 若，则始终有且仅有1个零点 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，则，利用导数分析单调性，最值，即可判断A；若，，求导，结合图象分析导数的正负情况，即可判断B；若，求导分析单调性可得，由选项的结论可得，即可判断C；恒成立，即恒成立，当是的切线时，的值最小，设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得，构造函数，利用导数求出最小值，即的最小值，即可判断D. 【详解】，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 则，故A正确； ，， 作出与的图象， 由图可得，两支图象始终有且仅有一个交点， 即函数始终有且仅有1个极值点， 当时，在极值点左侧，的图象在的上方， 则，即，单调递减， 在极值点右侧，的图象在的下方， 则，即，单调递增， 故该极值点为极小值点，故B正确； ，， 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，则， 则， 由A项可知：的最大值为-2，故， 无零点，故C错误； 恒成立，即恒成立， 对于，要使较小，则减小，体现为直线向下平移至与相切， 所以当是的切线时，的值最小， ，， 设切点横坐标为，则， ，即， 则， 令，， 则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：当方程无法求解时，可利用函数与方程的关系，将方程的解转化为函数图象的交点来分析.如本题B选项中，无法求出方程的根，移项可得，方程的根可转化为函数与的图象的交点，借助图象关系来分析的正负情况. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域为_______ 【答案】且 【解析】 【分析】利用函数有意义列不等式求解. 【详解】由题意得 ， 则函数定义域为 且. 故答案为且. 14. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 15. 已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程． 【详解】∵，∴.    设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 16. 现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，则_______；设余弦曲线的曲率为K，则的最大值为_______． 【答案】 ①. ； ②. 1 【解析】 【分析】根据曲率的定义求得 ,从而求得 ,求得 的表达式,结合导数求得 的最大值. 【详解】因为 ,所以 , 所以 ,所以 . 因为 ,所以 . 所以 ,所以 , 所以 . 因为 ,所以 ,则 , 所以 . 令则因为 所以在上单调递增， 当即时，有最大值所以 故答案为： 四、解答题（本题共70分） 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求当时，的解析式； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解即可； （2）先求出时的函数值域，再结合，根据奇函数性质求得值域即可. 【小问1详解】 ∵当时，， ∴当时，，， ∴. 【小问2详解】 ∵当时，单调递增，∴， 由奇函数性质可得，当时，， 又， ∴在上的值域为. 18. 已知函数． （1）求函数的对称中心与对称轴； （2）当时，求函数的单调递增区间及的最值及取得最值时x的集合． 【答案】（1）对称中心为，，对称轴为，， （2）的单调递增区间为和,当时，取最大值为1, 时，取最小值为. 【解析】 【分析】（1）用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式及辅助角公式化简为，再用整体的思想求解函数的对称中心与对称轴; （2）先求在的上的单调递区间，再取与区间上的交集部分即可.先求的范围，再结合正弦函数的图象求函数的最值； 【小问1详解】 ∵ ， 令，解得， 所以对称轴为； 令，解得， 所以对称中心为. 【小问2详解】 由（1）得， 令， 得， 又因为，所以的单调递增区间为和. ∵， ∴， ∴， 所以的最大值1，最小值. 当时，时，取最大值为1,此时的集合为， 当时，时，取最小值为.此时的集合为. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2） 当时， 的单调减区间是，无单调增区间； 当时，的单调减区间是，单调增区间是. 【解析】 【分析】（1）根据，求导，因为，求得，写出切线方程； （2）由（1）知，分， 两种情况，按照求单调区间的步骤求解. 【小问1详解】 因为. 所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，在上单调递减， 当时，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：当时， 的单调减区间是，无单调增区间； 当时，的单调减区间是，单调增区间是. 20. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 21. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）将函数求导并分解因式，根据参数进行分类讨论函数的单调性即得； （2）将不等式进行等价变形得到在上恒成立，接着通过构造函数，求其在上的最大值，其间，先分析推出其在时取得最大值，为，由，变形求对数，并利用同构思想和函数单调性推出，从而求得，即得的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得函数，. ①当时， 当时，，时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，当时，， 或时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增； ④当时，当时，，或时，； 则在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意，恒成立，因，即恒成立. 即需求在上的最大值. 令，，则， 令，，则， 即在上单调递减， 又，所以在上存在唯一的使（*）， 当时，，即则在上单调递增； 当时，，即则在上单调递减. 故在时取得最大值，为， 又由（*）可得，，故， 两边取对数得：， 令，由知在定义域内单调递增， 故由可得，，即， 所以， 故，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $